2014年高考广东省文科数学试题(有答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填
写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式1
3
V sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一组本数据12,,
,n x x x 的方差，2222121
[()()()n s x x x x x x n
=-+-++-，其中x 表示这
组数据平均数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知集合，，则
A.
B.
C.
D.
2、已知复数满足，则
A.
B.
C.
D.
3、已知向量，则
A.
B.
C.
D.
4、若变量满足约束条件，则的最大值等于
A.7
B.8
C.10
D.11 5、下列函数为奇函数的是 A.
B.
C.
D.
6、为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为
A.50
B.40
C.25
D.20 7、在
中，角
所对应的变分别为
，则
是
的
8、若实数满足，则曲线与曲线的
A.实半轴长相等
B.虚半轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等 9、若空间中四条两两不相同的直线满足
，则下列结论一定正确的是
A.
B.
C. 既不平行也不垂直
D.
位置关系不确定 10、对任意复数，定义
，其中
是
的共轭复数.对任意复数
，
有如下四个命题： ① ②
③
④
则真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一）必做题（11-13题）
11.曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为
12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为
13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++＝ （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为
2sin cos ρθθ=和
sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2
C 交点的直角坐标为_________.
15.（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则
=∆∆的面积
的面积
AEF CDF
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分） 已知函数
5()sin(),,(
)3
122
f x A x x R f π
π=+∈= （1）求A 的值；
（2
）若()()(0,),2f f π
θθθ--=∈，求()6
f π
θ-. C
A
F
D
17．（本小题满分13 分）
某车间20名工人年龄数据如下表：
（1）求这20（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （1）求这20名工人年龄的方差；
18. (本小题满分13分)
如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕 EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ， 并且MF ⊥CF .
（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积 A B
C
D
F
P
M
P
E
D
C
B
A
设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈ (1)求1a 的值;
(2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有112211
11
(1)(1)
(1)3
n n a a a a a a ++
+
<+++
20.(本小题满分14分)
已知椭圆
22
22:1(0,0)x y C
a b a b
+=>>的一个焦点为
)
, (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程
已知函数321()1()3
f x x x ax a R =+++∈. (1)求函数()f x 的单调区间;
(2)当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫
⎛⎫
∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,使得01()()2f x f =
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
1. 答案:B
2. 答案:D 2525(34)25(34)
:=34,.34(34)(34)25
i i z i D i i i ++=
==+--+提示故选 3. 答案:B
4. 答案:C 提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C.
5. 答案:A
111:()2,(),()22(),222(), A.
x x x
x x x
f x f x R f x f x f x --=-
-=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选
1000
6.::25.40C =答案提示分段的间隔为
7.
::,,,sin ,sin ,sin sin .
sin sin a b
A a b A
B a b A B A B =∴≤⇔≤答案提示由正弦定理知都为正数8.
05,50,160,16(5)21(16)5,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+提示:从而两曲线均为双曲线,
又故两双曲线的焦距相等,选D.
1231231323132312312312312131213123123123123123:()()()()()();()()()()()()();(),()()9.
(),,B
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠10.答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左答案边=*=右边*左边:右边D
③错12122121;,,,z z z z z z z z ==≠ ④左边=*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.
''
142521222324252524232221215211.:520:5,5,25,520.
242
12.::5105
13.
:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,x x x y y e y y x x y C P C S a a a a a S a a a a a S a a =++==-∴=-∴+=-++====
=++++=++++∴===∴答案提示所求切线方程为即答案提示答案提示设则22
212125.
14.
:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,
1,,(1,2).
S C y x C x C C ρθθρθρθ====∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.:3:, 3.C D F C D E B A E
C D F A E F A E F A E A E
∆+∆∆∴==
=∆的周长答案提示显然的周长
553:(1)(
)sin()sin 3.12123422
(2)(1):()3sin(),
3
()()3sin()3sin()
33
3(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos
3sin 3
sin (0,3f A A A f x x f f πππππ
ππ
θθθθπ
πππ
θθθθπ
θθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=
∈16.解由得
又),cos 23
()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-=== 17.
:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:
()
2222222
(1928329330531432340)
3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011
(121123412100)25212.62020
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣
⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为
1 9
2 8 8 8 9 9 9
3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
4 0
00:(1):,,,,,,,,,,,,,
.
11
(2),,60,30,==,
22
,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD EF DC ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴18.解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而
∥21
12,,2211.
3316
CDE M CDE CDE DE CF DE PE S CD DE DP CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==
221111*********
2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,
0,2, 2.
(2)(3)3()0,:(3)()0,
0(),0,30,,
2,(1)(1n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+∴≥=-=+--+-19.解令得即即由得从而当时1221122)2,
221,2().313
(3):,()(),221644
111111113(1)2(21)44()()()
24411111
111144(1)()(1)444411(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎡⎤=⎣⎦==⨯∴=∈∈+
>+-=-+∴==⋅<⋅
+++-+⎡⎤
⎢⎥=⋅=⋅-
⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∴++++又解法一当时1(1)
1111111
()()11111141223(1)444444111111().1143433
1(1)44111111
:(),.
(1)2(21)(21)(21)22121(:)
n n k k a a n n n n a a k k k k k k ++⎡⎤
⎢⎥<-+-++-
⎢⎥⎢⎥
-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案
222
22
00
22
00
22
20.:(1)3,954,
3
1.
94
(2),,4
(3,2),(3,2).
(),
(),1
94
(94)18
c
c e a b a c
a a
x y
C
x y
y y k x x
x y
y k x x y
k x
====∴==-=-=
∴+=
-±±
-=-
=-++=
++
解
椭圆的标准方程为:
若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,
它们的坐标分别为
若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为
即将之代入椭圆方程中并整理得:
2
0000
222222
000000
2
2220
0000122
22
00
()9()40,,0,
(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,
4
(9)240,,1,:1,
9
13,(3,2),(3,2)
k y kx x y kx
k y kx y kx k y kx k
y
x k x y k y k k
x x y
⎡⎤
-+--=∆=
⎣⎦
⎡⎤
----+=--+=
⎣⎦
-∴--+-=∴=-=-
-∴+=-±±
依题意
即:即
两切线相互垂直即
显然这四点也满足
22
,
13.
P x y
∴+=
以上方程
点的轨迹方程为
32
00
1
21.()1().
3
(1)();
111
(2)0,(0,)(,1),()=().
222
f x x x ax a R
f x
a x f x f
=+++∈
<∈
已知函数
求函数的单调区间
当时试讨论是否存在使得
3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222
111111
()()()()()3224222
11111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤
-=+++-+++⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-
解法一2000020020014712)
111
(0,)(,1),()(),
222
11
4147
120(0,)(,1).
2
2
0,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x x a x f x f x x a a a a x x +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<
<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,
1212
155,,,,
24425557111
(,)(,),(0,)(,1)()().
124
41222225
7511(,]
[,0),(0,)
(,1)(1212422a a a x a a x f x f a x f x ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫
∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().
2f =
00:0,10,
()3,11,(1)()(0,1),
11
1
(0,)(,1),
()=();
222
()30,()
(0,1,
(1,
511
1),()(0,),(,1),422
a i a f x x f x f ii a f x a f x <∴-≤--∈-<<-+-+=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;
51
2)3,11,,(14212525255
(1)()0,0,,;
222412124
51
3)0,01,,(0,142
1775(0)()0,0,,2224124x a x x a f f a a x a x x a f f a -<<-<-∈-+->+>>--<<--<<<-+∈-+->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007
.
12
:
25557111
(,)(,),(0,)(,1)()().
1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().
12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫
∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。