2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题

1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是

．

2、四面体ABCD 中，ABC ∆是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥，

AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为

．3、若对于所有的正数,x y x y x y +≤+，则实数a 的最小值是．

4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则

22tan tan αβ+=

．5、等差数列2,5,8,,2015 与4,9,14,,2014 的公共项（具有相同数值的项）的个数

是．

6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是

．

7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33⨯方格表的九个格子中，使得每行

三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是

8、

把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是．

9、（14分）如图，CD 是椭圆22

221x y a b

+=的一条直径，过椭圆长轴的左顶点A 作CD 的平行

线，交椭圆于另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，证明：AM AN CO CD ⋅=⋅．

10、

（15分）如图，D 是ABC ∆的旁心，点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明：(1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E 四点共圆．

11、（15分）设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明：22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )

12、

（20分）设集合{}1,2,,2016A = ，对于A 的任一个1008元子集X ，若存在,x y X ∈，满足,x y x y <，则称X 为“好集”，求最大的正整数a ，（a A ∈），使得任一个含a 的1008元子集皆为“好集”．

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题答案

1.答案：1616a -<<．

解：由值域y R +

∈，2

651x ax ∴-+>，2

640

x ax ⇒-+>24640a ∴∆=-⋅<，∴1616a -<<.

2.答案：

233

．解：如图，据题意得，22

22AB AD BD =+=，于是22BC CA AB ===，

222CD AC AD =-=，

因222

BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D

为顶点的三面角是三直三面角，

四面体体积14

33BCD V AD S ∆=⋅=，而23234

ABC S AB ∆=

⋅=，若设D 到面ABC 的距离为h ，则12333ABC V h S h ∆=⋅=，由23433h =，得到23

3

h =．

3.答案：2．

解：由2

2

1y x x y x y ⎛⎫⎛

⎫+=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得2y x x y x y +≤++，

当x y =时取等号．4.答案：8．

解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222

x y r +=，

则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----，

若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线,,,PA PB PC PD 的斜率分别为

1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ

--==--+，

所以2

22

tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭

，

2

22tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ⎛⎫

-==+ ⎪+⎝⎭

，由此立得22tan tan 8αβ+=．

解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=，

这时，2tan cot 2tan 1

αγβ====，2222

tan tan 228

αβ∴+=+=5.答案：134．

解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016 与等差数列

5,10,15,,2015 的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M = 中的全体能被3整除的数，后

者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项是M 中的全体能被15整除的数，这种数有

201613415⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

个．6.答案：

43

9

．解：由22sin cos y x x =，得242222

4sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--⋅3

3

222(1cos )(1cos )2cos 216

223327x x x ⎛⎫-+-+⎛⎫≤=⋅=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以439

y ≤．当2

1cos 3x =时取得等号．

7.如右图

8.答案：15．

例如，排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n = ，由于1n >，

则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件

的三个数段：

(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为

(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M = 时，可排出上面的情形：

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

9.证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==，

点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θ

θ=-+⎧⎨=⎩

，……

3'

代入椭圆方程得到222222

(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=，22

222

2cos cos sin ab AN t b a θ

θθ

==+，()cos 2a AM πθθ=≠，……6'因此22

22222cos sin a b AM AN b a θθ

⋅=+，……9'

9

8

765

4321