函数表示法(2)
函数的表示法 第二课时
• 作业：P25
3
f
3 32 13 － ＝1＋－ ＝ .所以 4 2 2
f
1 13 f ＝ . 4 2
(2)若 x≥0，由 x＋1＝2，得 x＝1； 1 1 1 若 x<0，由 ＝2，得 x＝± ，由于 >0，舍 x＝ |x| 2 2 1 1 ，所以 x＝－ . 2 2 1 故 x＝1 或－ . 2
误区解密
因忽视分段函数自变量的范围而出错
x2－1 f(x)＝ 2x＋1
【例 4】 已知函数 若 f(x)＝3，求 x 的值．
x≥0 ， x<0
错解：由x2－1＝3得x＝±2； 由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1. 错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决 此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义 域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函 数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围．
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x， 2
1 ∴f(x)＝ 1－x
0≤x≤2 . －2<x<0
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
点评：1.对含有绝对值的函数，要作出其图象， 首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式 不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分．
教案8 函数的表示法(二)
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={ 是数轴上的点}，B=R，对应关系 ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ 是平面直角坐标中的点}， 对应关系 ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
A开平方B A求正弦B
（1）（2）
A求平方B A乘以2 B
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1） ，对应法则是“乘以2”；
（2）A= ＞ ，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3） ，对应法则是“求倒数”；
2、23页4题
教
学
小
结
怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？
课后
反思
3
5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；
（2）求正弦；
映射的概念
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数 ，数轴上都有唯一的点 和它对应；
函数的表示法 教案 (2)
3.1.2 函数的表示方法教学设计教 学 过 程知 识 师生活动设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容）题目:画出下列函数.54;22--=-=x x y x y 二、新授课 （一）创设情景，启发思考 活动一 教材例题 表3.1-4是某校高一 （1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 表3.1-4 姓名 测试序号 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 8 .278.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.思考：可以用什么函数表示方法分析问题？解：从表3.1-4中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的 “成绩”与 “测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为６个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级教师展示题目，学生作答。
教师组织，学生思考。
学生口述，教师总结评价。
回忆上节课所学知识点。
建立联系。
通过具体例题，巩固函数表示方法的特征。
加深理解并巩固函数表示法特征。
（2）小王全年综合所得收入额为189６00元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8％，2％， 1％，9％，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是45６0元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据②计算出应纳税所得额t ；第二步，由t 的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数；第三步，根据①计算出个税税额y 的值. 由于不同应纳税所得额t 对应不同的税率与速算扣除数，所以y 是t 的分段函数.解：（1）根据表3.1-5，可得函数y ＝f （t ）的解析式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<-≤<-≤<-≤<-≤≤=.960000,18192045.0,960000660000,8592035.0,660000420000,529203.0,420000300000,3192025.0,300000144000,169202.0,14400036000,25201.0,360000,03.0t t t t t t t t t t t t t t y 函数图象如图3.1-7所示.教师引导并口述思路，学生自主作答。
函数2
7
如何书写呢？
函数的关系式是等式.
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数 式,左边的一个字母表示函数.
根据所给的条件,写出y与x的函数关系式：
矩形的周长是18cm,它的长是y cm,宽是x cm.
8
1.下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
（1）y=2x+4 1 y （ 3） x 2
（2）y=－2x2
（ 4） y
x 3
如果当x=a时， y=b，那么b叫做 当自变量的值为a 时的函数值
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10 （2）当x=3时，y=－2x2=－2×32=－18 （3）当x=3时， y
1 1 1 x 2 32
小露牛角
• 完成P26，练习1
当堂检测
1、 求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y= (2)
(3)y =-
1、（凉山·中考）函数 是（ ）
的自变量x的取值范围
A.x≥﹣2且x≠2
C.x≠±2
B.x＞﹣2且x≠2
D.全体实数
x 2 0 【解析】 选B.由题意知， 2 解得 x 4 0
由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完 只需300÷25=12（h），故自变量T的取值范 围是0≤t≤12
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多 少水？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3
（4）当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时？ 当Q=150时，由150=-25 t +300，得t =6， 即第6 h末池中有水150m3
函数的表示方法(二)
分析比较下列三个从A到B的映射：
A B A B A B
a b
f
m n
求平方
c
p
q
1 －1 2 －2 3 －3
乘以2 1
4
1 2 3
9
1 2 3 4 5 6
d
二、一一映射：
f 一般地，设A，B是两个集合， : A B 是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于A中的不同元素，在集合B中有不 同的像，而且B中每一个元素都有原像，那 么这个映射叫做A到B的一一映射。
3 1 ( , ) 2 2 点（1，2）在f下的原像是___________.
例三 求像与原像：
(3)已知(x,y)在映射f的作用下的象是：
（x+y,xy）,则点（3，4）在f下的像是 （7，12） _________, 点（1，-6）在f下的原像是 （-2，3)或(3,-2) ________________.
(4)一对一
:
一、映射：
一般地，设A、B是两个非空集合， 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 任何一个元素，在集合B中都有唯一的一 个元素和它对应，那么这样的对应(包括 集合A、B以及A到B的对应法则）叫做集 合A到集合B的映射，记作： f : A B
A中的元素x称为原像,
B中的对应元素y称为x的像. xx
有时，我们把集合A，B之间的一一映射 也叫做一一对应。
例三、下列映射是不是A到B的一一映射？
A f 1 2 3 4 (1) B A f B 3 5 7 3 4 (2) 9 1
3 5 7
1
2
9
解：（1） 是 （2） 不是。由于B中元素1在集合A 中没有原像
（2）映射与一一映射有何区别？ 答：主要有两点区别：
函数的表示法(2)
1.2.2 函数的表示法（2）
一、学习目标：
1、能用自己的语言叙述分段函数的定义，能正确画出分段函数的图像及简单应用
2、结合函数概念准确记忆映射的定义。
二、教学过程：
1、新知探究
问题（1）作出函数y x =的图象和1y x =-的图象。
问题（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x 0≤<)的信函付邮资为：
80,(0,20]160,(20,40]240,(40,60]320,(60,80]400,(80,100]
x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩, 画出这个函数的图象。
问题（3）什么是分段函数？它是一个函数还是几个函数？如何求分段函数的定义域及值域？
问题（4）讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？什么叫映射？它与函数的联系是什么？
问题（5）分析下面的例子是否为映射？
2、课堂练习 （1）已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩
，则{[(1)]}f f f -= 。
（2）在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
中，若()3f x =，则x 的值为 。
（3）下面所给的对应中，哪些不是集合A 到集合B 的映射，为什么？
3、小结反思：
4、课后作业：课本23页3、4题；24页7、10。
函数的概念及其表示法(2)
一、新课教学（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定 ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． ○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
○2 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1（2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x（三）课堂练习求下列函数的定义域（1）|x |x 1)x (f -=（2）x111)x (f +=（3）5x 4x )x (f 2+--=（4）1x x 4)x (f 2--= （5）10x 6x )x (f 2+-= （6）13x x 1)x (f -++-=1. 理解函数的三种不同的表示方法：列表法，图象法和解析法，并体会它们的优缺点；2. 会求函数的解析式，掌握求函数解析式的基本方法：配凑法，换元法，待定系数法，解方程组法，赋值法等；3．会用描点作图法画基本初等函数的图象. 1. 复习回顾（1）已知π=)(x f ，则)(2x f =_______；（2）函数34)(2-+=x x x f ，则)1(+x f =_______________； 2. 阅读课本，完成下列题目（1）解析法：就是用____________表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式就叫做____________.（2）图象法：就是用_______表示两个变量之间的对应关系。
1.2.2函数的表示法(二)映射
例如：
f:平方
1
2
1
3
4
2
5
6
3
7
8
9
是函数
也是映射
学生甲 学生乙 学生丙 学生丁
f
高一3班
高一4班
只是映射
以下是不是映射？
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
以下是不是映射？
①开平方
3
9
-3
方
-1
2
1
-2
4
3 -3
9
以下是不是映射？
①开平方
记作：f：x y, x A, y B 或者f：A B,其中x称为原象，y称为象
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A， b∈B，若a与b对应，则把元素b叫做a在 B中的象，而a叫做b的原象.
③求正弦 1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 3
2
4
3
5
6
函数与映射之间的异同： 1)函数是一个特殊的映射； 2)函数:数集A数集都是数集，
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
g
c d
g
c
g d
“原象集”不 能有剩余元素
“象集”可 以有剩余元 素
例1. 判断下列对应是否映射？有没有对 应法则？
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
函数的表示法(二)教学设计
函数的表示法第二课时一．教学内容解析：函数的表示法是《函数及其表示法》的主要内容之一.其第二课时主要研究分段函数，同时加深对几种表示法和函数概念的理解，加强数学在实际中的应用意识，进一步体会数形结合这种重要的思想方法.对学生来说，分段函数比较难学，但同时又是一类很重要的函数，在现实生活中普遍存在，极具应用意义，因此教科书专门作了介绍.分段函数与其它函数一样，也是两个非空数集之间的一种确定的对应关系，只是在同一定义域的不同子集上对应关系不同.研究分段函数时，也要注重分段函数的不同表示法，特别是解析法和图象法之间的相互转化.我们在研究分段函数解析式时，要充分发挥函数图象的直观作用；在研究分段函数图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.使学生通过本节学习，更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法，习惯从数和形两方面相结合来研究函数，并为以后研究函数的性质打下基础.二．教学目标设置1.知识与技能（1）通过实例，了解分段函数的概念，以及分段函数在解决实际问题中的应用. （2）通过绘制简单分段函数的图像，加强分类讨论思想，会利用图像研究函数性质.（3）根据实际问题建立分段函数的表达式，以研究该模型特征.2.过程与方法（1）通过探索解决问题的方法，培养自主学习能力.（2）通过绘制函数图像，加强数形结合的数学思想.（3）通过建立分段函数模型，加强应用意识，培养分类讨论的思想.3.情感态度与价值观（1）通过一些生活实例，体会学习函数表示法的必要性，感受数学与实际生活的密切联系.（2）通过对解析式和图象细节的讨论，培养学生学习态度的严谨性.（3）通过自主探索与合作学习，培养良好的学习习惯.三、学生学情分析授课班级学生学习基础较好，思维活跃.1.已具备的知识有：（1）了解函数的概念和常用表示方法.（2）掌握一次函数、二次函数等函数的图像和性质.（3）掌握去绝对值的基本方法.2.已具备的能力有：（1）自主探究，合作学习和归纳总结的能力.（2）数形结合，分类讨论的研究思维.3.薄弱方面：（1）数学应用意识比较薄弱，对应用题具有恐惧感.（2）作函数图象时不太注意细节，缺乏严谨性.四、教学重难点重点：分段函数的表示，图像及简单应用.难点：分段函数解析式的建立及其应用.五、教学策略分析1.引入时采用情境教学法，以激起学生解决实际问题的欲望.2.学生解决问题时采用自主探索、合作交流的学习方法，教师个别指导，以促发学生的思维.3.校验答案时采用个别学生展示，其余学生评价的方式，以引起学生思维的碰撞和冲突.4.赏析函数时引导学生自我经历思维的发生发展过程，以开拓学生视野，激发学习的兴趣.5.归纳总结时采用自我体悟和相互交流的方式，以促使学生认知结构的完善.六、教学导图七、教学过程例2：作出下列函数的图象.（1）.2)(-=x x g （2）⎧≤-0),2(x x x x 或八、板书设计。
函数表示法(2)
以下映射是A到B的映射吗？
f:A B
1 1 2 3 4 5
f:A
1 2 3 4
B
1 2 3 4
f:A
-1
1 -2 2 -3
B
f:A
B
-1
2
3
1 4 9
1 4
1
-2
2 -3 3
9
6
乘以2 自对应
3
平方
开平方
概念理解
1.“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B 到A的映射往往不是同一个映射。 ②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素， 集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集 合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯 一性； ④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集 合B中，这是映射的封闭性.
函数表示法（二）
一、分段函数
例 1： 作 下 列 函 数 的 图 像 (1) f ( x ) | x 4 x 3 | ( 2 ) f ( x ) m a x { 2 x , x}
2 2
x 2, x 1 2 例 2： 已 知 函 数 f (x) x , 1 x 2 , 2 x, x 2
象与原象
给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A， b∈B，如果a元素与元素b对应，那么，我们 把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的 原象。
映射概念
例1:下列从集合A到集合B的对应中是映射的是
(A)
A B
* ，对应法则 f: N
x y | x 3 |
(B)A=R,B={0,1},对应法则f: (C)A=B=R,对应法则f: (D)A=Z,B=Q,对应法则f:
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (2)ppt课件
例 某种笔记本的单价是5元，买x 试用函数不同表示法表示函数
x个笔记本需要元。 1,2,3,4,5
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解析法可将函 数y=f(x)表示为
y 5x, x 1,2,3,4,5
解：这个函数的定义域集合是{x|0<x≤100} ，函数的解析式为
80, x (0,20], 160, x ( 20,40], y 240, x ( 40,60], 320, x (60,80], 400, x (80,100].
y
400 320
这就是分段函数
函数的三种表示法的缺点：
1、解析法的缺点：有些问题有时很难用表达式来表示。 2、图象法的缺点：图像及相对应的点的坐标往往不准确。
3、列表法的缺点：有时应用有一定的局限性。
将三者合理的结合在一起，是我们学习的
主要内容。
例题讲解
1、设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={y|0≤y≤2}，给出下列四个 图像，其中能表示集合M到N的函数关系的有 .
第一次 王 伟 张 城 赵 磊 班平均分 98 90 68 88．2 第二次 87 76 65 78．3 第三次 91 88 73 85．4 第四次 92 75 72 80．3 第五次 88 86 75 75．7 第六次 95 80 82 82．6
注意
1.本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究 成绩的变化特点； 2.本例能否用解析法？为什么？
作出下列函数的图像 （1）y=|x+2|-|x-5| (2) y=|x-5|+|x+3|
学案2：3.1.2 函数的表示法 （二）
3.1.2 函数的表示法（二）导学聚焦问题导学1．什么是分段函数？2．分段函数是一个函数还是多个函数？新知初探1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．■名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．■名师点拨在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图”．自我检测判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0是分段函数．( ) (3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( )下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1. ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2. ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5. A ．①② B ．①④C ．②④D ．③④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－2，x <0的定义域为______________，值域为______________． 题型探究题型一 分段函数的定义域、值域例1 (1)已知函数f (x )＝|x |x，则其定义域为( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0<x <1，0，x ＝0，x 2－1，－1<x <0的定义域为________，值域为________．规律方法(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；②分段函数的值域是各段函数值域的并集．(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．跟踪训练 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，则函数的定义域为________，值域为________． 题型二 分段函数求值问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52的值．互动探究(变问法)本例条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．规律方法(1)分段函数求函数值的方法①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知函数值求字母取值的步骤①先对字母的取值范围分类讨论；②然后代入到不同的解析式中；③通过解方程求出字母的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内．跟踪训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．题型三 分段函数的图象及应用角度一 分段函数图象的识别例3 (2019·济南检测)函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )角度二 分段函数图象的画法例4 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <－2，－3x ，－2≤x ＜2，－3，x ≥2.角度三 分段函数图象的应用例5 某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y (元)关于用电量x (度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？规律方法分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．跟踪训练 已知函数f (x )＝|x |－x 2＋1(－2<x ≤2)． (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；(2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域．当堂检测1．函数f (x )＝y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{y |0≤y ≤2或y ＝3}2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是 ( ) A ．－2 B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2. (1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．【参考答案】自我检测(1)× (2)√ (3)√BC【解析】f (2)＝2－1＝1.(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)题型探究例1 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)【解析】 (1)要使f (x )有意义，需x ≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由已知得定义域为{x |0<x <1}∪{0}∪{x |－1<x <0}＝{x |－1<x <1}，即(－1，1)，又0<x <1时，0<－x 2＋1<1，－1<x <0时，－1<x 2－1<0，x ＝0时，f (x )＝0， 故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．跟踪训练 答案：R [0，1]【解析】由已知得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R ，又x ∈[－1，1]时，x 2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]．例2解：由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.因为f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，－2<－32<2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. 互动探究解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去．②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0.所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3.因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.跟踪训练1．A【解析】 f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4.综上可得：x >0或x <－4.角度一 分段函数图象的识别例3 A【解析】 因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A. 角度二 分段函数图象的画法例4解：各函数对应图象如图所示：由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．角度三 分段函数图象的应用例5 解： (1)当0≤x ≤100时，设函数关系为y ＝kx .将x ＝100，y ＝65代入，得k ＝0.65，所以y ＝0.65x .当x >100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b .将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.8，b ＝－15.所以y ＝0.8x －15.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100. (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)；当y ＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x >100，所以105＝0.8x －15，x ＝150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．跟踪训练 解：(1)①当0≤x ≤2时，f (x )＝x －x 2＋1＝1. ②当－2<x <0时，f (x )＝－x －x 2＋1＝－x ＋1. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，－x ＋1，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示：由图可知，函数f (x )的值域为[1，3)．当堂检测1．D【解析】值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y |0≤y ≤2或y ＝3}．2．A【解析】当x ≤0时，x 2＋1＝5，x ＝－2.当x >0时，－2x <0，不合题意．故x ＝－2.3．C【解析】对于y ＝x ＋|x |x ，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，故其图象应为C.4．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时， 由2x 0＝8，得x 0＝4.所以x 0＝4.。
人教版高中数学必修第一册函数的表示方法教案(二)
函数的表示方法(二)三维目标 一、知识与技能1.了解实际背景的图象与数学情境下的图象是相通的.2.了解图象可以是散点.3.图象是数形结合的基础.4.了解映射的概念及表示方法. 二、过程与方法1.自主学习，了解作图的基本要求.2.探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程.3.会判断一个对应是不是映射.4.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感态度与价值观1.培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想.2.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式.3.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点 函数的作图. 教学难点如何选点作图，映射的概念. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的材料. 教学过程一、创设情景，引入新课师：日常生活中我们见过许多曲线图象.让我们一起来看一看〔多媒体投影〕： 〔图象1〕股市走势图. 〔图象2〕产生的震动波曲线. 〔图象3〕医用心电图的波线.师：初中我们已研究过直线、反比例及二次函数的图象，请大家作出y =2x －1，y ＝x1，y ＝x 2的图象.〔学生在下面自己作图，老师巡视〕我们可以发现这些线的图象都有一个共同的特点，就是由满足一定条件的点构成的，具体地说就是x 作为横坐标，y 作为纵坐标描成的点，所有的点即构成该曲线的图象.二、讲解新课一般而言，如何作出y ＝f 〔x 〕的图象呢？我们将自变量的一个值x 0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点〔x 0，f 〔x 0〕〕，自变量取遍函数定义域A 的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合〔点集〕为｛〔x ，y 〕|y =f 〔x 〕，x ∈A ｝，这些点组成的曲线就是函数y ＝f 〔x 〕的图象.可从以下几个方面加深对函数图象的理解：画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域.两个用不同的解析式表示的函数，只有在对应关系相同、定义域相同的条件下，才能是相同的函数，才能有相同的图象.由函数的图象的定义知道，点的集合｛〔x ，y 〕|y =f 〔x 〕，x ∈A ｝是函数的图象，因此从理论上讲，用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数的图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，以后可以看到，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质.反之，掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图象.我们知道函数的图象是由点集构成的，如何作图即如何选点呢？我们看一看下面的一些例题. [例1] 试画出以下函数的图象：〔1〕f 〔x 〕=x +1〔x ∈{1，2，3，4，5}〕； 〔2〕f 〔x 〕=〔x －1〕2+1，x ∈［1，3〕. 解：〔1〕我们先列表再描点y3 4 56-1-2-3-4〔1〕y-3-4〔2〕f 〔x 〕=x +1的图象？生：仅需把图〔1〕的散点连结起来构成一条直线就是f 〔x 〕=x +1的图象，如图〔2〕.师：对，在初中我们就研究过一次函数的图象，它表示一条直线，所以今后我们作一次函数的图象仅需作出其两点，然后再连成一条直线即可.〔2〕师：这是一个什么曲线？ 生：抛物线.师：是一条完整的抛物线吗？ 生：好像不是. 师：为什么？生：因为x ∈［1，3〕，所以x 的取值受限制.师：对，这个函数的图象与抛物线f 〔x 〕=〔x －1〕2+1有联系，它是其中一段，为了能够作出其图象，我们先作出抛物线f 〔x 〕=〔x －1〕2+1的图象，大家自己动手作出该函数的图象，用虚线表示.〔一会儿后〕请生甲回答如何作出其图象的.〔同时投影其所得的图象〕生甲：先作出顶点〔1，1〕，再作出两点〔2，2〕、〔3，5〕，然后根据抛物线的对称轴是x ＝1，作出〔2，2〕、〔3，5〕关于xf 〔x 〕=〔x －1〕2+1的图象.〔如图〔3〕〕y-1-2-3-4〔3〕师：生甲同学通过选关键点顶点，再结合二次函数的对称性取另外两点作出其关于对称轴的对称点，这样得到5点，最后用圆滑的曲线由左向右顺次连结这些点.这个方法是通常作二次函数的方法.这种方法提醒我们对一些熟知的函数要作出其图象仅需要选一些特征点及辅助点，然后就可以得出其图象.这样要作出f 〔x 〕=〔x －1〕2+1，x ∈［1，3〕，仅需要在f 〔x 〕=〔x －1〕2+1的虚线图象上取x ∈［1，3〕的一段用实线描出，但端点〔3，5〕处用空心点表示.〔如图〔4〕〕y-1-2-3-4〔4〕[例2] 作出函数y =|x －2|〔x ＋1〕的图象. 分析：显然直接用函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对解析式进行等价变形．解：〔1〕当x ≥2，即x －2≥0时，y =〔x －2〕〔x +1〕=x 2－x －2=〔x －21〕2－49. 当x ＜2，即x －2＜0时，y =－〔x －2〕〔x +1〕=－x 2+x +2=－〔x －21〕2+49，所以y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--.2,49)21(,2,49)21(22x x x x这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出.〔如图〔5〕〕〔5〕方法引导：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x、y的变化X围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图象．函数是“两个数集间的一种确定的对应关系〞.当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念.例如，亚洲的国家构成集合A，亚洲各国的首都构成集合B，对应关系f：国家a对应于它的首都b.这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系f，在集合Bf：A→B称为映射.设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.在我们的生活中，有很多映射的例子，例如，设集合A={x|x某场电影票上的}，集合B={x|x是某电影院的座位号}，对应关系f：电影票的对应于电影院的座位号，那么对应f：A→B是一个映射.[例3] 教科书P26例7.本例中的〔1〕〔2〕是以后经常用到的映射，教学时应引导学生认真理解.对于〔3〕，还可以把“内切圆〞换成“外接圆〞让学生思考.对于〔4〕，可以与本例后的“思考〞进行比较，让学生进一步体会映射是讲顺序的，即f：A→B与f：B→A是不同的，并且，它们中可以一个是映射而另一个不是映射，也可以两个都是映射或两个都不是映射.在此基础上归纳出映射概念值得注意的几点：〔1〕函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；〔2〕对于映射f：A→B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合〔集合B中可以有些元素不是象〕.〔3〕映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应〞，即对于A中的每一个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象，以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的.〔4〕用映射刻画函数的定义可以这样表达：设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f〔x〕.其中x∈A，y∈B.原象集合A叫做函数y=f〔x〕的定义域，象集合C叫做函数y=f〔x〕的值域.很明显，C B.[例4] 集合A=｛1，2，3，k｝，B=｛4，7，a4，a2+3a｝，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y=3x+1和A中元素xa及k的值.方法引导：集合A中元素1，2，3在对应法那么的作用下，分别得到象4，7，10，关键是集合B中谁和10对应.解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.对于集合B而言能与10对应的元素有两种情况：a4=10或a2+3a=10.∵a∈N，∴a2+3a－10=0得a=－5〔舍去〕或a=2.当a=2时，a4=16.由3k+1=16得k=5.∴a=2，k=5为所求.A 集合中只有两个的元素，此时应该考虑四种对应关系.然后用条件和集合的性质加以排除.此题将集合与映射两个概念同时考查，有一定的新意.三、课堂练习1.根据所给定义域，画出函数y =x 2－2x +2的图象. 〔1〕x ∈R ； 〔2〕x ∈〔－1，2］； 〔3〕x ∈〔－1，2〕且x ∈Z . 答案：〔1〕 〔2〕〔3〕A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么? 〔1〕A =B =N *，对应关系f ：x →y =|x －3|.〔2〕A =R ，B =｛0，1｝，对应关系f ：x →y =⎩⎨⎧,0,1.0,0<≥x x〔3〕A =B =R ，对应关系f ：x →y =±x .〔4〕A =Z ，B =Q ，对应关系f ：x →y =x1. 〔5〕A ={0，1，2，9}，B ={0，1，4，9，64}，对应关系f ：a →b =〔a －1〕2. 答案：〔1〕对于A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在B 中没有象，所以不是映射. 〔2〕对于A 中任意一个非负数都有唯一象1，对于A 中任意一个负数都有唯一象0，所以是映射. 〔3〕集合A 中的负数在B 中没有元素与之对应，故不是映射. 〔4〕集合A 中的0在B 中没有元素和它对应，故不是映射.〔5〕在f 的作用下，A 中的0，1，2，9分别对应到B 中的1，0，1，64，所以是映射. 四、课堂小结1.本节学习的数学知识：函数的图象、函数图象的作法、作函数图象的要素、映射的概念. 2.本节学习的数学方法：定义法、数形结合与分类讨论的思想方法、归纳与发散的思想、思维的批判性. 五、布置作业1.画出以下函数的图象.〔1〕y =〔－1〕x ，x ∈{0，1，2，3}； 〔2〕y =x －|1－x |；〔3〕y =xx x -+||)21(0.A.y 轴所示的函数表达式为x =0B.y =x 〔x ＜0〕是定义域为空集的函数f 是从集合A 到集合B 的映射，那么A 中每一元素在B 中都有象 f 是从集合A 到集合B 的映射，那么B 为A 中元素的象的集合M =｛x |0≤x ≤6｝，P =｛y |0≤y ≤3｝，那么以下对应关系中，不能看作从M 到P 的映射的是 A.f ：x →y =21x B.f ：x →y =31x C.f ：x →y =x D.f ：x →y =61x 板书设计1.2.2 函数的表示法〔2〕作法 注意点 例1 例2映射的定义 对映射的几点说明 例3 例4 课堂练习 课堂小结。
函数的表示方法(2)
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
例2、 画出函数 y
= | x |的图象.
变一： 画出函数 y
= | x＋１| 的图象. 变二： 画出函数 y = |x－１| 的图象. 变三： 画出函数 y = |x|＋１的图象. 变四： 画出函数 y = |x|－１的图象.
变五： 画出函数 y = | x-1 |+ |x + 4|的图象，并求函
问题2、在函数的定义中，若将“A,B是两个 非空的数集”改为“A,B是两个非空的集合”， 会得到什么概念呢？
设A、B是两个非空的集合，如果按某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个 映 射 。
例4. 下面哪些对应是从A到B的映射？哪些是函数？
数的值域。
x 5，x 1 2 例3、 已知函数f(x) x ， 求f (3),f[f ( 3)];
(2)画出y f (x)的图像；
1 (3)若f(a)= ，求a的值 . 2
函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个函数。
A 9 4 1 Ａ １ －１ ２ －２ ３ －３
（3 ） （1 ）
开平方
B 3 -3 2 -2 1 -1
A 求正弦 B
30o
45
o
1 2
2 2
60o
3 2
90o
（2）
1
求平方 Ｂ １ 4
Ａ
高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1
1
30
2
2
45
2
60
3
90
2 1
h
2
A 求 平 方 B39－3来自24－2
1
1
－1
h
3
A 开 平 方 B
3
9
－3
4
2 －2
1
1 －1
h
4
A 乘 以 2 B
1
1
2
3
2
4
5
3
6
h
5
A乘 以 4B
0
1
4
2
3
12
4
5
20
h
6
映射f:A→B，可理解为以下4点：
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
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判断下列对应是不是映射？如果是，那这个映射 是函数吗？
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
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例 已知f(2x-1)的定义域是[0，3]，求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域，求f(x)定义域的方法： 已知f(g(x))的定义域为D，则f(x)的定义域为
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1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
人教新课标版数学高一必修1学案 函数的表示法(二)
1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论． 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法 对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析 当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析 当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象． 解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1， 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1， 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3， 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
函数的表示法2
求 f 1 ，f 2 ．
动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发 顺次经过B、C、D再回到A.设x表示P点的行 程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
0 x 1 x 2 x 2 x 2 1 x 2 y 2 x 6 x 10 2 x 3 3 x 4 4 x
D
P
C
P
A
P
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设A、B是两个非空的集合，如果按 某个确切的对应关系f,使队与集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有 唯一确切的元素y与之对应，那麽就 称 f:AB为从集合A到集合的一个映射
下列对应能否构成映射？
1 ① A Z，B Z，f：x x
② A R，B R，f：平方；
a
；
③
A R，B R，f：开平方；
a
b c
d
1 2 3
a
b
c
d
1 2 3 4
A
④
B
A
B
⑤
归纳：① A 中元素必须在 B 中只有惟一元素 与之对应；② B 中元素可以与 A 中的多个元 素对应；③允许 B 中有“空”的元素。
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自身能取代幽冥宗?”壹个贰品势历战营の统领,得到楚家の讯息后,讥笑道.“统领大人,呐楚家现在有强大助历,连幽冥宗现在都不得不放弃聚集地.俺们若是不合作,那恐怕楚家会对俺们动手.”壹名副统领道.“俺倒要看看,楚家能将俺们林家怎样！真是可笑,还要俺们将抽 成送到他们面前,他楚红南好大の脸.俺还就不信了,若俺们不将资源送过去,他楚家还能灭掉俺们林家の战营.”林家统领目光壹闪道.林家统领,显然不认为楚家拥有掌控流沙申域の能历.同事,他也确定,幽冥宗不会就此罢手,放任楚