近世代数第一章分析
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第一章 基本概念
1.1 集合 1.2 映射与变换 1.3 代数运算 1.4 运算律 1.5 同态与同构 1.6等价关系与集合的分类
运城学院
应用数学系
1.1 集合 1.2 映射与变换
教义和性质
映射，单射，满射，双射，逆
映射的定义及例子
变换，置换等的定义及例子
φ是单射 φ是满射 φ 是双
射
7.映射是函数概念的推广，是对应法则，A 是定义域，B包含值域，根据B是否与值域 相等，可将映射区分为是否是满射。A中不 同元素的像可能相同，也可能不同，据此 可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中 每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一 个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也 不同，则称是从A到B的一个单射。如果既 是满射又是单射，则称是从A到B的一个双 射，或一一映射。
并称 στ
为 σ 与 τ 的合成或乘积。
x →σ（τ(x)）
12.集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换， 类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变 换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒 等变换，φ ：A → Bφ 它是一个一 一变换。 x → x，
例：P9例9-10 定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。
A B表示A是B的真子集，即B中有不存 在A的元素
A B表示A不是B的子集
A B表示A不是B的真子集 A=B A B且B A 3.如果集合A含有无穷多个元素，则记为 |A|= ∞ ,如果A含有n个元素，则记为 =n 。（A的阶），有|A∪B|+ |B∪A| = |A| + |B|
4.称集合A-B={a| a A, a B}为集合A
10.设б与 τ 都是A到B的映射，如果 x A,都有б（x）=τ (x),则称б与τ 相
等，记作б=τ
11.设 τ ：A → B
б：β → C
则 A → τ β →σ C
x →τ (x) y → τ (y)， x → τ (x) →σ （τ (x)）
是一个A到C的映射，记为στ ，即
στ ：A → C
的乘法
映射的象及逆象的定义，映射
在很多课程中都学过有关集合的知识， 一些基本的概念和结论不再重复，这里，只 复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一
个统一的规定。
1.用Z表示整集合，Z֗*表示非零整数集，用 ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集 等。 Z+ ，ψ+…R,C…
2. A B表示A是B的子集，A=B或A B
定义：设M是一个集合，如果有一个法则， 它对M中任意两个有次序的元素a和b，在M 中都有唯一一个确定的元素d与他们对应， 则称这个法则是M的一个运算。
如果用“。”表示定义中所说的法则，即 运算，由a与b通过“。”得到的d记为a。 b=d,运算也可以用其他符号表示。
注意d必须属于M
有代数运算的集合，称为代数系统
例：P12 例1-5
2.设M是一个集合，用T（M）表示M的全体
变换作成的集合，бτ T（M）,乘积
б （ττ（，x）即）也x是MM，的一б个τ变换（，x）即=бб
T（M），称之为变换的乘法，是T（M）的 一个代数运算。
用ε 表示M上的恒等变换，则 бT
（M），有 x M，бε（x）=εб（x）
φ ：A → B 或 φ ：x → y或y= φ（x） x → y 且称y为x在 φ 之下的像，称x为y在 φ 之下的原像或逆像。
由定义可知，映射必须满足三个条件： ① A中每个元素都有像， ② A中元素的 像是唯一的， ③ A中元素的像在B里。 例：P6例1-6 例1.不是映射，不满足① 例2.不是映射，不满足② 例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满 例4.是映射，不单，满 例6.是映射，单不满
有限集合M={1,2， n}的双射变换 称为一个n之置换，且常表示为
φ =｛1，2，3，...n φ(1），φ（2）...φ (n)｝
123 123 123 123 123 123 例如12n3=3时1,32M={ 211,32， 2n3}1有 3！32=16个33之12置
换，
要注意每个n之置换都有n!种写法，但 习惯上第一行顺序排列，如
与B的差集。易知有A-B=A∩B
5.集合A有很多子集，将A的所有子集放 在一起（包括空集）也组成一个集合，称
为 （A|的A|幂集=n，）记作P(A)。|P(A)|2n = 2 ∧n
映射是函数的推广，函数的定义中要 求有两个数集，而映射中，是一般的集合 6.定义：设A,B是两个集合，如果有一个法 则 φ ，他对于A中每个元素，在B中都有 一个唯一确定的元素y与它对应，则称 φ 为从A到B的映射。这种关系常表示为
=б（x）
所以б ε = εб=б
用S（M）表示M的全体双射变换组成的集合， 即S（M） T(M)可以证明两个双射变换的乘 积仍是双射变换，即变换的乘积也是S（M） 的一个代数运算，（证明见教材）
例：P7，例 4-8
例7，双射， 例8，满射，不单。
8.设有映射 φ ：A → B，B A， B.用 φ（A¹ ）表示A¹ 中所有元素在 φ 之下 的像的全体组成的集合，称为 A¹ 在 φ 之下的像，φ （A¹ ） B。用 φ﹣¹ （ B¹）表示B¹ 中所有元素在 φ 之下的 逆像全体组成的集合，称为 B¹ 在 φ﹣¹ 之下的逆像， φ﹣ ¹（B¹ ） A。
易知：φ 是满射 φ（A）= B.
9.设：φ: A → B是双射，（思考，为什 么？），则 φ﹣¹ ：B → A 也是一个映 射,且为双射（为什么？），
x → y= φ (x)
y→x
称 φ﹣¹ 为 φ 的逆映射。
注意：双射才有逆映射。
定理：设A,B是两个有限集合，且 |A| = |B| ，
φ 是A到B的一个映射，则
123
213
=
132
213
=
213
321
=
231
312
=
312 123
=
321
132
1.3 代数运算 1.4 运算律
教学内容：代数运算的定义，变换的乘法， 运算律的定义及其意义
教学重点：代数运算及运算律的定义
1.运算就是通常的运算，加，减，乘，除 等的推广，简单说就是由两个东西算出来 一个新的来。下面是“教学”的定义。
1.1 集合 1.2 映射与变换 1.3 代数运算 1.4 运算律 1.5 同态与同构 1.6等价关系与集合的分类
运城学院
应用数学系
1.1 集合 1.2 映射与变换
教义和性质
映射，单射，满射，双射，逆
映射的定义及例子
变换，置换等的定义及例子
φ是单射 φ是满射 φ 是双
射
7.映射是函数概念的推广，是对应法则，A 是定义域，B包含值域，根据B是否与值域 相等，可将映射区分为是否是满射。A中不 同元素的像可能相同，也可能不同，据此 可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中 每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一 个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也 不同，则称是从A到B的一个单射。如果既 是满射又是单射，则称是从A到B的一个双 射，或一一映射。
并称 στ
为 σ 与 τ 的合成或乘积。
x →σ（τ(x)）
12.集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换， 类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变 换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒 等变换，φ ：A → Bφ 它是一个一 一变换。 x → x，
例：P9例9-10 定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。
A B表示A是B的真子集，即B中有不存 在A的元素
A B表示A不是B的子集
A B表示A不是B的真子集 A=B A B且B A 3.如果集合A含有无穷多个元素，则记为 |A|= ∞ ,如果A含有n个元素，则记为 =n 。（A的阶），有|A∪B|+ |B∪A| = |A| + |B|
4.称集合A-B={a| a A, a B}为集合A
10.设б与 τ 都是A到B的映射，如果 x A,都有б（x）=τ (x),则称б与τ 相
等，记作б=τ
11.设 τ ：A → B
б：β → C
则 A → τ β →σ C
x →τ (x) y → τ (y)， x → τ (x) →σ （τ (x)）
是一个A到C的映射，记为στ ，即
στ ：A → C
的乘法
映射的象及逆象的定义，映射
在很多课程中都学过有关集合的知识， 一些基本的概念和结论不再重复，这里，只 复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一
个统一的规定。
1.用Z表示整集合，Z֗*表示非零整数集，用 ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集 等。 Z+ ，ψ+…R,C…
2. A B表示A是B的子集，A=B或A B
定义：设M是一个集合，如果有一个法则， 它对M中任意两个有次序的元素a和b，在M 中都有唯一一个确定的元素d与他们对应， 则称这个法则是M的一个运算。
如果用“。”表示定义中所说的法则，即 运算，由a与b通过“。”得到的d记为a。 b=d,运算也可以用其他符号表示。
注意d必须属于M
有代数运算的集合，称为代数系统
例：P12 例1-5
2.设M是一个集合，用T（M）表示M的全体
变换作成的集合，бτ T（M）,乘积
б （ττ（，x）即）也x是MM，的一б个τ变换（，x）即=бб
T（M），称之为变换的乘法，是T（M）的 一个代数运算。
用ε 表示M上的恒等变换，则 бT
（M），有 x M，бε（x）=εб（x）
φ ：A → B 或 φ ：x → y或y= φ（x） x → y 且称y为x在 φ 之下的像，称x为y在 φ 之下的原像或逆像。
由定义可知，映射必须满足三个条件： ① A中每个元素都有像， ② A中元素的 像是唯一的， ③ A中元素的像在B里。 例：P6例1-6 例1.不是映射，不满足① 例2.不是映射，不满足② 例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满 例4.是映射，不单，满 例6.是映射，单不满
有限集合M={1,2， n}的双射变换 称为一个n之置换，且常表示为
φ =｛1，2，3，...n φ(1），φ（2）...φ (n)｝
123 123 123 123 123 123 例如12n3=3时1,32M={ 211,32， 2n3}1有 3！32=16个33之12置
换，
要注意每个n之置换都有n!种写法，但 习惯上第一行顺序排列，如
与B的差集。易知有A-B=A∩B
5.集合A有很多子集，将A的所有子集放 在一起（包括空集）也组成一个集合，称
为 （A|的A|幂集=n，）记作P(A)。|P(A)|2n = 2 ∧n
映射是函数的推广，函数的定义中要 求有两个数集，而映射中，是一般的集合 6.定义：设A,B是两个集合，如果有一个法 则 φ ，他对于A中每个元素，在B中都有 一个唯一确定的元素y与它对应，则称 φ 为从A到B的映射。这种关系常表示为
=б（x）
所以б ε = εб=б
用S（M）表示M的全体双射变换组成的集合， 即S（M） T(M)可以证明两个双射变换的乘 积仍是双射变换，即变换的乘积也是S（M） 的一个代数运算，（证明见教材）
例：P7，例 4-8
例7，双射， 例8，满射，不单。
8.设有映射 φ ：A → B，B A， B.用 φ（A¹ ）表示A¹ 中所有元素在 φ 之下 的像的全体组成的集合，称为 A¹ 在 φ 之下的像，φ （A¹ ） B。用 φ﹣¹ （ B¹）表示B¹ 中所有元素在 φ 之下的 逆像全体组成的集合，称为 B¹ 在 φ﹣¹ 之下的逆像， φ﹣ ¹（B¹ ） A。
易知：φ 是满射 φ（A）= B.
9.设：φ: A → B是双射，（思考，为什 么？），则 φ﹣¹ ：B → A 也是一个映 射,且为双射（为什么？），
x → y= φ (x)
y→x
称 φ﹣¹ 为 φ 的逆映射。
注意：双射才有逆映射。
定理：设A,B是两个有限集合，且 |A| = |B| ，
φ 是A到B的一个映射，则
123
213
=
132
213
=
213
321
=
231
312
=
312 123
=
321
132
1.3 代数运算 1.4 运算律
教学内容：代数运算的定义，变换的乘法， 运算律的定义及其意义
教学重点：代数运算及运算律的定义
1.运算就是通常的运算，加，减，乘，除 等的推广，简单说就是由两个东西算出来 一个新的来。下面是“教学”的定义。