分部积分题

第三节 分部积分法的

主要适用于以下类型：

（1）dx e x x ⎰ 令 dx e dv x u x ==

（2）dx x x ⎰cos 令 xdx dv x u cos ==

(3) dx x e x ⎰cos 令 xdx dv e u x cos ==

(4) dx x x ⎰ln 令 xdx dv x u ==ln

(5) dx x x ⎰arctan 令 xdx dv x u ==arctan

Th1:(分部积分法：)如果函数 )(),(x v x u ，都可导，则 ⎰⎰-=vdu uv dv u

vdu udv uv +=)d(， vdu uv d udv -=)(，

公式： ⎰⎰-=vdu uv udv ，

选取 u 和 dv 需考虑以下两点

注: (1) v 要较容易求出

（2）du v ⎰ 要比原积分 dv u ⎰ 更容易求出

e.g1 求 dx e x x ⎰

e.g2 求 dx e x x ⎰2

e.g 3 求 dx x x ⎰cos

e.g4 求 dx x x ⎰2sin 2

e.g5. 求 dx x e x ⎰cos

e.g6. 求 dx x x ⎰ln

e.g7 求 dx x x ⎰arctan

e.g8 求 dx e x ⎰

e.g9 求 dx ⎰x sec 3

e.g 10 求 dx x ⎰sinln

分部积分法习题：

1．求下列函数的不定积分

（1）dx

x x ⎰2cos （2） ⎰dx x x x cos sin

（3）⎰

++dx x x x 2sin )65(2 （4）

⎰+dt t t )sin(ϕω

（5）dx x x ⎰2tan （6）dx e x x 35⎰

（7）dx x e x 2)2(+⎰

（8）dx x x

ln 5⎰ （9）dx x x 2)ln (⎰ （10）dx x a log ⎰

（11）⎰dx x x )ln(sin cos （12）dx x x 2ln ⎰

（13）dx x

x x ⎰-+11ln （14）dx x x x ln )13(2++⎰

（15）dx x x )1ln(2⎰

++ （16）dx x x ⎰+2)1(ln

（17）dx x x ⎰++1)

1ln(

（18）dx x e x 3sin 2⎰

（19）dx x

⎰1arccos （20）dx x ⎰arctan

（21）dx x x

⎰-1arcsin

（22）dx x

x x ⎰+221arctan （23）dx x e x 2

sin 2⎰- （24）dx x x ⎰

2arctan （25）

⎰-+1sin cos sin cos 2x x x dx x （26）⎰dx x )sin(ln

答案：

（1）c x

x x ++=2

cos 42sin 2 （2）c x x x ++-=2sin 8

1

2cos 4 （3）c x x x x x x ++++++-=2cos 4

12sin )52(412cos )65(212 （4）c t t t ++++-=)sin(1)cos(2ϕωω

ϕωω （5）c x x x x +-+2cos ln tan 2

（6）c e e x x x +-=3

33

1313 （7）c x e xe e x x x ++-+=323

44421

（8）c x x x +-=6636

1ln 61 （9）c x x x x x +---=2ln 2ln 2

（10）c a

x x x a +-=ln log （11）c x x x +-=sin sin ln sin

（12）c x x x x x ++-=2323223

27

16ln 98ln 32 （13）c x

x x x x ++-+-+=11ln 2111ln 22 （14）

c x x x x ++-++=221)1ln( （15）c x x x x x x x +++-++=)439(ln )233(2323 （16）c x x x

x ++-+-=1ln ln 1ln （17）=2C x x x ++-++14)1ln(1

（18）= C x e x e x x +-)3cos 4

33sin 21(13422 (19) =C x x x

x +-+-1ln 1arccos 2

(20) = C x x x x ++-arctan arctan

(21) = C x x x ++--2arcsin 12

(22)= C x x x x +-+-22)(arctan 2

1)1ln(21arctan (23) = C e x x x +---2)2

cos 812sin 21(1716 (24) C x x x x x x ++++-=)1ln(2

1)(arctan 21arctan )(arctan 22222 (25)= C x

+--1sin 12 (26)= C x x x +-))cos(ln )(sin(ln 2