大学《离散数学》期末考试试卷及答案 (1)

安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）开课院（系、部） 姓名 学号 .一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（ ）A 、42=+x ；B 、我们要努力学习；C 、如果ab 为奇数，那么a 是奇数，或b 是偶数；D 、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。

2．下列命题公式中，永真式的是（ ）A 、P Q P →→)(；B 、P P Q ∧→⌝)(；C 、Q P P ↔⌝∧)(；D 、)(Q P P ∨→。

3．在谓词逻辑中，令)(x F 表示x 是火车；)(y G 表示y 是汽车；),(y x L 表示x 比y 快。

命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的？（ ） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧∀⌝∀ II.)),()()((y x L y G x F y x ⌝∧∧∃∃III. )),()()((y x L y G x F y x ⌝→∧∃∃A 、仅I ；B 、仅III ；C 、I 和II ；D 、都不对。

4．下列结论正确的是：（ ）A 、若C AB A =，则C B =； B 、若B A B A ⊆，则B A =；C 、若C A B A =，则C B =；D 、若B A ⊂且D C ⊂，则D B C A ⊂。

5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ⊆； C 、24A A ⊆； D 、34A A ∈。

6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系，},,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。

下列哪些命题为真？（ ） I.R R ⋅是对称的 II. R R ⋅是自反的 III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。

7．R 是二元关系且4R R =，则一定是传递的是（ ）A 、4R ；B 、3R ；C 、2R ； D 、R 。

8．设1R 和2R 是非空集合A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系（ ） A 、1R A A -⨯； B 、21R R -； C 、21R R ； D 、21R R 。

9．函数:f X Y →可逆的充要条件是：（ ）A 、AB =； B 、||||A B =；C 、f 为双射；D 、f 为满射。

10．下列集合中，哪个集合的基数与其他集合的基数不同（ ） A 、nN （N 为自然数集，N n ∈）； B 、NN （N 为自然数集）； C 、R R ⨯（R 为实数集）； D 、x 坐标轴上所有闭区间集合；二、填空题（每小题2分，共32分）1．全集}5,4,3,2,1{=U ，}5,1{=A ，}4,3,2,1{=B ，}5,2{=C ，则可求出：=B A _________________________________； =)()(C A ρρ ___________________________；=C _____________________________________。

2．设3=A ，16)(=B ρ，64)(=B A ρ，则：B =______________________________， B A =__________________________，B A -=__________________________， B A ⊕=__________________________。

3．设}4,3,2,1{=A ，R 是A 上的二元关系，且}3,3,4,2,2,1{><><><=R ，则)(R r =________________________________________________； )(R s =________________________________________________； )(R t =________________________________________________；4．设A={1,2,3,4,5}，则A 上共有多少个二元关系________________？ 其中有多少个等价关系________________？5．设函数A A f →:，A B ⊆为A 的子集。

则：))((1B f f -____________B ，))((1B f f-____________B ；当f 为__________函数时B B f f =-))((1；当f 为__________函数时B B f f=-))((1。

三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48分）1．求命题公式P R Q P →⌝∨∧))((的主析取范式与主合取范式 （要求用等值演算的方法求解）。

（8分）2．用推理规则证明：（每小题8分，共16分）①)(R Q P →→，P S ∨⌝，Q 永真蕴含R S →。

②前提：)))()(()((x R y Q x F x ∧→∀，)(x xF ∃；结论：))()((x R x F x ∧∃。

3．设集合},,{c b a A =，)(A ρ是集合A 的幂集，试给出⊆><),(A ρ的哈斯图，并指出子集}}{},{{b a 的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最小上界、最大下届（如果存在的话）。

（8分）4．设R 是集合A 上的关系，令},,,,{R b c R c a A c b a S ∈><>∈<∈∃><=且使，证明：如果R 是等价关系，则S 也是等价关系。

（8分）5．已知N N N f →⨯:，22),(y x y x f +=><。

请问：（8分） ①f 是单射吗？ ②f 是满射吗？ ③计算})0({1-f 。

④计算})2,1,0,0({><><f 。

安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷答案（A 卷）（时间120分钟）一、选择题（每小题2分，共20分）1．C;2.D;3.C;4.B;5.A;6.C;7.B;8.D;9.C;10.A二、填空题（每空2分，共32分） 1．}5{；}}5{,{φ；}4,3,1{2．4，1，2，53．{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,1>,<2,2>,<4,4>}；{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<2,1>,<4,2>}；{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,4>} 4．252,525．⊆，满射，⊇，单射三、综合题（第2小题16分，其它各小题8分，共48分）1．P R Q P A →⌝∨∧⇔))(( P R Q P ∨⌝∨∧⌝⇔))(( P R Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))((P R Q R P ∨∧⌝∨∧⌝⇔)()( 2分))()(()()(())()((R R Q Q P P P R Q Q Q R P ⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∨∧∧⌝∨∨⌝∧∧⌝⇔ 4分 ∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P )()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧∧ ∨∧∧∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P )()(R Q P R Q P ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧（主析取范式） 6分 )()(R Q P R Q P A ⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔⌝∴ ))()(()(R Q P R Q P A A ⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⌝⇔⌝⌝⇔)()(R Q P R Q P ∨⌝∨∧∨∨⇔（主合取范式） 8分2．①证明：(1) P S ∨⌝ P 1分 (2) S P （附加前提） 2分 (3) P T (1),(2) I 3分 (4) )(R Q P →→ P 4分 (5) R Q → T (3),(4) I 5分 (6) Q P 6分 (7) R T (5),(6) I 7分 (8) R S → CP (2),(7) 8分 ②证明：(1) )(x xF ∃ P 1分 (2) )(c F ES (1) 2分 (3) )))()(()((x R y Q x F x ∧→∀ P 3分 (4) ))()(()(c R y Q c F ∧→ US (3) 4分(5) )()(c R y Q ∧ T (2),(4) I 5分 (6) )(c R T (5) I 6分 (7) )()(c R c F ∧ T (2),(6) I 7分 (8) ))()((x R x F x ∧∃ EG (7) 8分3．解：⊆><),(A ρ的哈斯图如下图所示。

（2分）；{},{{b a }{},b a （4分）；最大元不存在；最小元不存在（6分）；上界有：},,{},,{c b a b a ；下界为：φ；最小上界为：},{b a ；最大下界为：φ（8分）。

4．证明：已知R 是等价关系，对S 是等价关系的证明分3步： （1）自反性R 是自反的，∴对A a ∈∀，有R a a >∈<,， 根据S 的定义，有S a a >∈<,，∴S 是自反的；（2分）（2）对称性如果S b a >∈<,，则A c ∈∃，使R c a >∈<,且R b c >∈<,，R 是对称的，∴R c b >∈<,且R a c >∈<,， ∴再根据S 的定义有S a b >∈<,， ∴S 是对称的；（5分）（3）传递性如果S b a >∈<,，S c b >∈<,，则A d ∈∃使R d a >∈<,，且R b d >∈<,。

R 是传递的，∴R b a >∈<,。

则A e ∈∃使R e b >∈<,，且R c e >∈<,。

R 是传递的，∴R c b >∈<,。

∴根据S 的定义有S c a >∈<,。

∴S 是传递的。

（8分） 由（1），（2），（3）得S 是等价关系。