应力与应变的关系

(2) 切应变只同平面内的与切应力有关，而与正应力无关。 可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯 剪切应力状态的叠加。
单向应力状态 纯剪切应力状态
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
由前面知识可知，单向应力状态下的胡克定律和纯剪切 应力状态下的剪切胡克定律为以下两个表达式：
e 单向应力状态下的胡克定律 s = Ee，泊松比 n = ， e 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律 t = Gn
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E G= 21 n
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例题1 平面应力状态下是否有z轴方向的线应变？
sy
ty
平面应力状态下有
tx
z轴方向的线应变
sx
ez =
n
E
(s x s y )
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二、应力与应变关系的应用
例题2 已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线 应变ex＝240× 10-6，y 方向的线应变ey=-160 × 10-6，试求
该点处x和y截面上的正应力sx和sy，并求自由表面法线的线
应变ez。已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比n＝0.3。
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解：1. 构件的自由表面上无任何应力，故知该点处
于平面应力状态。 2. 根据平面应力状态的胡克定律有
1 1 e x = s x ns y ，e y = s y ns x E E
联立求解此二式得
E 210109 Pa 6 6 sx = e ne = 240 10 0 . 3 160 10 x y 1 n 2 1 0.32 = 44.33106 Pa = 44.33 MPa


E 210109 Pa 6 6 sy = e ne = 160 10 0 . 3 240 10 y x 1 n 2 1 0.3 = 20.3 106 Pa = 20.3 MPa
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第七章 应力状态和强度理论
知识点：平面应力状态中的应力和应变的关系 一、应力与应变关系的导出 二、应力与应变关系的应用
三教 案
一、应力与应变关系的导出
各向同性材料在平面应力状态下，在线弹性且变形微小时
(1) 线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力无关。
可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯 剪切应力状态的叠加。
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ex =
sx
E
n
sy
E
ey =
sy
E
n
sx
E
xy =
4
tx
G
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平面应力状态中的应力和应变的关系
ex = ey =
sx sy
E
n n
sy
E
sx
E E tx xy = G 上式即为平面应力状态下的广义胡克定律。
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三、应力与应变关系的推广
ex = ey =
y
sx sy
E E
n n
sy
E
sx
E
e

x
1 e = (s vs 90 ) E
10


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再根据平面应力状态的胡克定律求得
0.3 6 6 e z = s x s y = 44 . 3 10 Pa 20 . 3 10 Pa 9 E 21010 Pa = 34.3 106
n


需要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并未 说明在xy平面内无切应变，故不能把求得的sx和sy认为是主 应力。