概率论与数理统计——1.4全概率公式与贝叶斯公式
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14
2. 贝叶斯公式
贝叶斯公式是全概率公式的逆问题:
若已知“结果”B已经发生了,要求引起B发生 的某一种“原因”Ak发生的概率.
定理1.4.2 设 A1 , A2 ,, An 构成一个完备事件组,则 对于任一事件B,且 P( B) 0, 有
P( Ak | B)
P( Ak ) P( B | Ak )
校正.一射手用校正过的枪射击时,中靶的概率为0.8
,用未校正的枪射击时,中靶的概率为0.3. 今从8支枪 中任取一支进行射击,结果中靶.求所用的这支枪是 经过校正过的概率. 解 设A1={枪经过试射校正}, B={中靶} A2={枪没有经过试射校正} 则A1,A2构成完备事件组. 5 3 由题意知 P( A1 ) P( A2 ) 8 8
B B B Ai BAi
i 1 i 1
于是根据加法公式和乘法公式,即得
P( B) P( BAi ) P( BAi )
i 1 i 1
n
n
P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
6
n
注
(1)全概率公式中的事件组 A1 , A2 ,, An 叫完备事 件组; (2)在定理中的条件 结论亦然成立。
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由全概率公式得:
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
13
3
(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是
次品,求它是甲厂生产的概率?
分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B). 这也 就是下面的Bayes公式.
3
故第一人和第二人抽到的概率相等。 同理,可算出第三人,第四人…直到最后一人抽
到的概率都相同。
上述分析的实质是将一个复杂事件分解为较简单
的几个事件,然后将概率的加法公式和乘法公式
结合起来,这就产生了所谓的全概率公式。
4
定理1.4.1 设事件
A1 , A2 ,, An 两两互不相容,
n i 1
C 3 P( A|B2 ) C 15
于是按全概率公式所求的概率
P( A) P( Bi ) P( A|Bi )
i 1
3
2 1 3 3 5 6 0.273 10 15 10 10 10 15
9
例: 某工厂生产的产品以 100 个为一批,进行抽样 检查时,只从每批中抽取 10 个来检查,如果发现 其中有次品, 则认为这批产品是不合格的假定每一 批产品中的次品最多不超过 4 个,并且其中恰有 i(i=0,1,2,3,4)个次品的概率如下表, 求各批产 品通过检查的概率.
3
i 1,
2, 3
i 1, 2, 3
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
显然,A1,A2,A3构成一个完备事件组
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P A1 PC1C2C3 PC1C2C3 PC1C2C3
PC1 PC2 PC3 PC1 PC2 PC3 PC1 PC2 PC3 0.3 0.4 0.2 0.7 0.6 0.2 0.7 0.4 0.8 0.332
A1={收到信号“.”},A2={收到信号“-”}.
由于B1B2=,B1∪B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2
于是
P( A2 B1 ) P( B1 ) P( A2 | B1 ) P( B1 | A2 ) P( A2 ) P( B1 ) P( A2 | B1 ) P( B2 ) P( A2 | B2 ) 0.6 0.02 0.029 0.6 0.02 0.4 0.99
解 设事件A表示取出的2个球都是白球,事件Bi表 示所选袋子中装球的情况属于第i种(i=1,2,3)
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易知
Байду номын сангаас
2 P( B1 ) 10
2 2 2 6
3 P( B2 ) 10
2 3 2 6
5 P( B3 ) 10
C 6 P( A|B3 ) C 15
2 4 2 6
C 1 P( A|B1 ) C 15
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例: 无线电通讯中发报台分别以概率0.6和0.4发出信 号“.”和“-”. 由于干扰发出信号“.”时,收报台 以概率0.98收到信号“.”;发出信号“-”时,收报 台以概率0.99收到信号“-”. 求在收报台收到信号 “-”的条件下,发报台发出信号“.”的概率. 解:设B1={发出信号“.”},B2={发出信号“-”},
P( B | A1 ) 0.8 P( B | A2 ) 0.3
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由逆概公式得
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A1 | B) 2 P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
5 0.8 0.5 8 0.82 5 3 0.6 0.8 0.3 8 5
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例 市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量 为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙、丙两个厂家相等, 且各厂产品的次品率为2%,2%,4%. (1)求市场上该种商品的次品率. 解:设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取 到次品,由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
的概率分别为0.3,0.6,0.8.若有一门火炮击中目
标,目标被摧毁的概率为0.2;若两门火炮击中目
标,目标被摧毁的概率为0.6;若三门火炮击中目
标,目标被摧毁的概率为0.9.试求目标被摧毁的 概率.
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解
设事件 B={目标被摧毁 }
Ai 有 i门火炮击中目标 ,
Ci 第i门火炮击中目标 ,
一批产品中有次品数 概 率 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
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解 设事件Bi是一批产品中有i个次品(i=0,1,2,3, 4),设事件A是这批产品通过检查,即抽样检查 的10个产品都是合格品 则有 P A | B0 1
C10 99 P(A | B1 ) 10 0.900 C100 C P(A | B3 ) C
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例: 根据以往的临床记录,某种诊断癌症的的试验具 有如下的效果: 若记A={试验反应为阳性},C={被诊 断者患有癌症} . 则有P(A|C)=0.95, P( A | C ) =0.95. 现 在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概 率P(C)=0.005,试求P(C|A). 解:由贝叶斯公式得
P A3 PC1C2C3 0.3 0.6 0.8 0.144
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依题意知
P( B | A1 ) 0.2,P(B | A2) 0.6,P(B | A3) 0.9
应用全概率公式,得
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.332 0.2 0.477 0.6 0.144 0.9 0.482
P A2 PC1C2C3 PC1C2C3 PC1C2C3
PC1 PC2 PC3 PC1 PC2 PC3 PC1 PC2 PC3 0.3 0.6 0.2 0.3 0.4 0.8 0.7 0.6 0.8 0.477
§1.4 全概率公式与贝叶斯公式
1. 全概率公式 2. 贝叶斯公式
1
1. 全概公式
抽签问题: 假设有10张票,其中有7张足球票,10人轮流 抽签,问先抽和后抽得到足球票的概率是否相同? 看法一:10人轮流抽签,机会相等。 看法二:因为抽签有先后,显然先抽的人抽到的概 率大,后抽的人抽到的概率小。
2
10 97 10 100
C P(A | B2 ) C
10 98 10 100
0.809
0.727
C10 96 P(A | B4 ) 10 0.652 C100
所求的概率为
P(A) P(Bi )P(A | Bi ) 0.8142
i 1
11
4
例:有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个 正品一个次品;在第二个箱中有三个正品一个次 品;在第三个箱中有两个正品两个次品. 现从任 何一个箱子中任取一件产品,求取得的是正品的 概率. 解:设Bi={从第i个箱子中取到产品}(i=1,2,3),
P( AC ) P(C | A) P( A) P(C ) P( A | C ) P(C ) P( A | C ) P(C ) P( A | C ) 0.005 0.95 0.005 0.95 (1 0.005) (1 0.95) 0.087
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例 三门火炮向同一目标射击,设三门火炮击中目标
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这一公式最早发表于1763年,当时贝叶斯已经去
世,其结果没有受到应有的重视.。后来,人们才
逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性。
现在,贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯
统计已成为工程技术、机器学习、人工智能、经
济分析、投资决策、药理的临床检验及疾病的计 量诊断等领域的重要工具。
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例 设8支枪中有3支没有经过试射校正,5支经过试射
A Ω 可减弱为 A B
i 1 i i 1 i
n
n
(3)该公式一般用于:所求事件的概率可能有某些 原因引发,而这些原因又构成完备事件组; (4)在应用该公式时,必须先找出引发该事件的完 备事件组。
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例: 有十个袋子,各袋中装球的情况如下: (1)两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球; (2)三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球; (3)五个袋子中各装有 4 个白球与 2 个黑球. 任选一个袋子,并从其中任取 2 个球,求取出的 2 个球都是白球的概率.
P( Ai ) 0, i 1,2,, n , 并且 Ai Ω
则对于任一事件B,有
n
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
上式称为全概率公式
5
证明 由事件 A1 , A2 ,, An 两两互不相容,所以
BA1 , BA2 ,, BAn 也两两互不相容,且 n n
分析
设A={第一人抽到球票},B={第二人抽到球票}
则
B AB AB
又二者是互不相容的,故
P( B) P( AB AB) P( AB) P( AB) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) 7 6 3 7 7 P( A) 10 9 10 9 10
i 1
(k 1,2,, n)
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注
1. A1,A2,...,An可以看作是导致事件B发生的原因; 2. P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原因Aj发 生的概率,称为 “后验概率”。 3. 贝叶斯公式给出了“结果”事件B已发生的条件 下,“原因”事件Aj的条件概率。因此Bayes公式 又称为“后验概率公式” ; 4. P(Aj)对应可以称为“先验概率”。
A={取得正品}. 由题意知Ω=B1+B2+B3且B1,B2,B3是两两互不 相容的事件. 则 P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3 P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.64
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
,
(k 1,2,, n)
此公式称为贝叶斯(Bayes)公式(或逆概率公式).
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证明 由条件概率的定义及乘法公式和全概率公式有
P( BAk ) P( Ak | B) P( B) P( Ak ) P( B | Ak ) P( B) P( Ak ) P( B | Ak ) n , P( Ai ) P( B | Ai )