2对换行列式性质

潍坊科技学院教案课程名称：线性代数授课人：
§1.3 对换
复习提问：n 阶行列式的定义，逆序数的求法 讲授新课：
1.对换的定义： 在排列中,将某两个数对调,其余的数不动,这种对排列的变换称为对换.将相邻两数对换,称为相邻对换（或者邻换）.
2.对换的性质1：一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性. 利用相邻对换奇数次改变排列的奇偶性，相邻对换偶数数次不改变排列的奇偶性来证明，略
3.对换的性质2：n 级全排列共有!n 项，其中奇偶排列各占一半。

例1：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式的项
解：∴=,6)431256
(τ 655642312314a a a a a a 是六阶行列式的项 而∴=+=+,835)234156()341526(ττ662551144332a a a a a a -不是六阶行列式的项
§1.4行列式的性质
1.转置行列式：记
22
212
221212111212222111211,a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D n n n n T nn
n n n n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
行列式T D （D '）称为行列式D 的转置行列式。

2.性质1 ：行列式与它的转置行列式相等 利用定义即可证明
性质2： 互换行列式的两行（列），行列式变号
n
k i n k i n
nj kj ij j j j j j j j j nn
n n kn k k in
i i n a a a a a a a a a a a a a a a a
11211)
(21212
111211)
1(τ∑-=
将第i 行与第k 行交换，则
n
i k n i k n
nj ij kj j j j j j j j j nn
n n in
i i kn k k n
a a a a a a a a a a a a a a a a
11211)
(212
12111211)
1(τ∑-=
其中列标进行了一次对换，所以添加了一个负号，即可证明 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 证 把这两行互换，有D D -=，故0=D
性质3 ：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。

可用定义证明
推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论2： 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

性质4： 若行列式中某一行（列）的元素ij a 都可以分解为两个数ij b 和ij c 之和，)2,1,(n j i c b a ij ij ij ⋅⋅⋅=+=，则此行列式也可以分解为两个行列式的和
nn
n n in i i n
n nn n n in i i n n nn
n n in in i i i i n
n a a a c c c a a a a a a a a a b b b a a a a a a a a a c b c b c b a a a a a a
2121
22221
112112121
22221
112112
1
2211222
21
11211+
=
+++
利用定义可证明
性质5： 把行列式的某一行（列）的个元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

可由性质4与性质3的推论证得
例1： 计算行列式3
331
11024
315
2113
-----=
D
解：利用化三角形法
7216064801
1202
13172160112064802131331511204351213132141
22
15-----==
------==-------==↔+-↔r r r r r r c c D =401
000
32001
120
2
131
10
3200
54001120
213110
151000
1080011202131
=----=----=----
小结与提问:
小结：本讲重点是关于行列式的计算，要掌握化三角形法，由于行列式的类型多种多样，所以行列式的计算有一定的难度。

提问：行列式的性质 课外作业:23P 7。