数学模型概述

数学模型概述

2006年12月19日星期二下午 02:23

数学模型概述

数学是一切科学和技术的基础。数学教育改革关系到数学乃至科学的未来，努力使我国的数学教育面向21世纪，适应现代化建设的需要，已成为刻不容缓而又意义深远的任务。目前，数学的应用向着各个领域渗透，各行各业日益依赖于数学，甚至可以说当今的社会正日益数学化。从科学技术的角度来看，不少新的分支（交叉）学科出现了，特别是与数学相结合而产生的学科，例如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学心理学、数理语言学、数学社会科学等。我国著名科学家钱学森教授也多次强调数学科学的重要性，并论述了他对“数学技术”的理解。而且象财务、会计专用软件包等都是大量应用了现有的相关的数学知识，开发数学模型以及应用数学技巧、方法的结果。然而多数人只是见到外在表现而没认识到所以能有这种外在表现的内在原因。因而人们对当今这个时代的日益数学化这一特点远没有取得共识。相反我们却看到一种矛盾的现象，一方面很容易“论证”数学的重要性，因为从小学一年级到大学一年级（甚至高年级、研究生阶段）每学期都要学习数学而且都是必修课，而任何其他学科都没有这么长的学习时间，因而“数学最重要”不是很显然了吗？然而认真地看一下对数学科研的资助在削弱，选学数学作为终身职业的学生数目锐减，甚至要求大量削减数学教学学时的“呼声”经常出现。不少有远见的科学家已经注意到这一问题的严重性。例如著名的Dvaid（美国数学界的权威）的报告中就指出“一方面，数学及数学的应用在科学、技术、商业和日常生活中所起的作用愈来愈大；在另一方面，一般公众甚至科学界对数学研究可以说是一无所知。”James G. Glimm在《数学科学，技术，经济竞争力》中指出“作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的极其重要性也未被认识到”，E.E.David Jr.在《 Notice of American Mathematical Society 》中肯定地指出“数学的重要性不是不言自明的，何况许多对此看法游移不定的人并没有认真地思考过（数学的重要性问题）。”他告诫数学界要作出更多的主动努力使人们更了解数学。众所周知，21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的主要阵地，实施素质教育势在必行。

一、数学素质教育1、对数学地位和作用的再认识数学不仅是一切科学和技术的基础，而且是学习和攀登科学技术高峰的钥匙和先决条件。在信息社会里，由于计算机的广泛应用，加速了现代社会的“数学化”进程，因为越来越多的问题首先需要归结或表示为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高，目前，人们把科学计算与理论研究、科学实验并列为科学研究的三种基本方法。在日常的经济与行政管理工作中，严谨的逻辑思维与定量思维是衡量一个人文化素质是否全面发展的一个重要标志。德国著名数学家H.G.Grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能”。而James在《数学科学·技术·经济竞争力》中指出：“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供了方法，以至于当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的，并且是可以传播的知识。分析、设计、建模、模拟（仿真）及其具体实施就可能变成高效加结构良好的活动。”因此，“在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术”。

但是，众所周知，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立模型，不会设计适当的方法，也不会自行编程序软件。计算机所擅长的只是按照人们编制的软件快速进行数学计算和符号演算。在这个意义是容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展越需要数学修养高的人。计算机正是借助于数学才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。

综上所述，数学素质是素质的重要组成部分，实施以大学生数学素质教育为核心的数学教学改革势在必行。

2、高等院校数学教育的任务由于以计算机和通讯为代表的信息技术的迅猛发展，当前的数学教育面临两大问题：其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改革才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的哪些困难。一个不争的事实是：计算机革命的冲击力

如此迅猛，是因为人脑的延伸，它正以惊人的速度深刻地改变着人们的工作方式、生活方式与思维方式。70年代，美国的未来学家针对计算机的普遍使用，作了一个就业展望，结果令人吃惊：一半以上的职业将不复存在，其余大多数也将从根本上受到影响！这就是说现在正在为未来的就业而学习的面临一种危机，即在他们一开始走向社会时，原来要从事的职业可能已不存在了。这就是我们所处的时代：一个迅猛变化而充满竞争的时代。面向21世纪培养素质型的人才是世纪之交我国高等教育改革的核心内容。为了主动适应社会主义市场经济和高等教育发展的需要，培养学生的综合素质，提高学生的实际应用能力，首先应使学生系统掌握本专业及与专业相关的基础理论、基础知识和基本技能，受到良好的科学思维和科学方法的基本训练。在知识结构上，达到以本专业知识为主，拓宽相关专业知识；在能力结构上，达到专业技能、职业技能和初等研究能力的复合。

从这个意义上讲，高等院校数学教育的任务应包括三方面的内容，即基本知识的传授、自学能力和创造性思维能力的培养以及应用数学思想和方法解决实际问题能力的培养。基本知识的传授是数学教育的基础，自学能力和创造性思维能力的培养是核心，数学应用是数学教育的目的。3、加强基础，提高大学生数学素质素质是知识和能力的综合体现，数学素质是指人们认识和处理数形规律、理解和运用逻辑关系、领会和研究抽象事物的能力，也是一种思维模式和思维习惯，其外在表现就是人们对事物从量的方面进行观察和研究的能力、思维的逻辑性和严谨性及应用数学方法解决实际问题的能力。高等院校数学素质教育的内涵就是通过教学活动让学生学习、掌握数学的思想、方法和技巧，培养学生论证运算能力、逻辑思维能力，特别是运用数学的立场、观点和方法分析、解决实际问题的能力，初步具备自学所需的更深入的数学新知的能力。因此，高等院校大学生的数学素质应由以下三方面能力组成：1）语言模型能力：初步具备分析问题、简化问题的能力以及用严谨且有逻辑层次的精练、准确的语言描述问题的能力；2）处理问题能力：初步具备查阅应用文献资料的能力，初步具备运用适当的数学思想、方法和技巧解决所遇到的实际问题，初步具备一定的计算机通用软件运用能力等；3）综合创新能力：初步具备一定的创造能力，科学论文的写作能力，与他人分开合作能力等。

二、数学模型及其建立1．一个简单的数学模型航行问题：甲乙两地相距90km，船从甲地到乙地顺水而行需3h，从乙地到甲地逆水而行需5h。问船速、水速各为多少？解：设船速、水速分别为x km/h，y km/h，根据题意，得：解之得：关于此问题求解过程的疑问：

众所周知，“距离=时间×速度”是描述匀速直线运动的方程，在此问题中，船在90km的航行中何以保证其运动的匀速、直线运动？倘否，何以可用匀速直线运动规律来求解该问题？问题的回答应建立在对数学模型建立的理解上。2．数学模型概念模型是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。数学模型并不是什么新东西（尽管过去很长时间这一术语用的很少），可以说，有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，而这种刻划的数学表达就是一个数学模型，其过程就是数学建模。或者也可以进一步说，所谓数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个对问题近似刻划的数学结构，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。如上述航行问题中的一元二次线性方程组即是该问题的数学模型。

3）模型构造的两种学派在模型构造的指导思想上有两种不同的学派：一派主张尽可能地反映各种可能的影响因素，建立比较复杂的数学模型，以求得对现实情况更为精细的模拟，然后用计算机去求得结果；另一派主张选择其主要因素，建立相对比较简单的数学模型，以便更容易地通过数学推理和分析去揭示其本质的特性，而不被一些次要因素所困惑。

事实上，建立数学模型的目的是为了了解、掌握系统发展的规律，并对未来的发展作出预测预报，为决策者提供决策依据。因此，后一种方法更为可取。

4）建立数学模型的过程上述框图可形象地描述数学建模的全部思想及建立的全过程。其大致可以分为以下几步：

①模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模所需的各种信息（如现象、数据等），尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型；