2.1 导热-硅酸盐热工基础

16
3 导热微分方程
[依据] (1) 傅立叶导热定律； (2) 热力学第一定律——能量守恒定律。
[推导过程]
(1) 物体内无内热源 如图
假定物体各向同性，、cp、为常数，则在同
一时间内，根据能量守恒定律，得如下关系式：
热焓的增量＝传入物体热量－传出物体热量
17
微元六面体：dv＝dxdydz
d时间内x方向传入热量：
则根据傅立叶定律，可求出任一瞬间通过物体
表面dF传出的热量为：
dQ

w
t n
dF
26
例如：
(a) 无限大 有限厚平板 内导热
t1 •
Q
• t2
(b) 非中空窑： tf twtm twtm
tm
tf
tw
••
•
27
第二类边界条件：已知任何时刻通过物体边界面
上的热流qw，即相当于已知任 何时刻边界面上的温度梯度。
0
0
若过程开始时，物体内各部分温度相等，则 初始条件为：
t 0 t0（常数）
25
• 边界条件——物体边界上过程进行的特点，反 映边界与周围环境相作用的条件。
常见的边界条件有三类： 第一类边界条件：已知任何时刻边界上的温度
即： tw const （稳定）
tw f ( ) （不稳定）
(3) 已知Q、R，求t，进而求 t1 或 t2 。 32
单层平壁（变物性）：
= 0(1+t）
其中：t t1 t2 2
根据傅立叶定律得：
q

0
(1

t
)
dt dx
分离变量并积分得： q

dx
0
t2 t1

0
(
1

t
)dt
33
∴
q

0 (t1
t2)
…………
ti-1 = ti + QRi-1
t1
t2
t3
Q
耐轻 火质
Q t4
粘耐
土火 红
砖砖 砖
1 2 3 1 2 3
38
多层平壁（变物性）：
由 tav,i av,i Rav,i Ri Q
因为只知道 t1 和 ti+1，所以须先假设t2、t3 ti，再计算。
一等温面达到稳定时：
q t [w/m2]
x
Q q F [w]
t1 t2

Q zy
x
12
2 导热系数（），又称导热率
＝ q
t x
单位：
W / m2 C/m
W / m
C
是一个物性参数。表示单位时间内、每单位
长度温度降低 1℃时、单位面积所通过的热量。
即：
qw=const 或 qw=f()
则由傅立叶定律得： t qw
n
[例如] (a)中空窑
t• w tf •
• tm
(b)太阳通过宇 宙空间向地球 表面辐射传热
28
第三类边界条件：已知与物体边界直接接触的
流体的温度tf 以及边界面与流体间的对流换热系
数 ，则根据牛顿冷却定律，边界面与流体间的
10
1.4 热流和传热量
热流(q)——单位时间内、通过单位面积传递的 热量，是矢量。 [J/m2.s] 或[w/m2]
传热量(Q)——单位时间内、通过总传热面积 F
传递的热量。
Q = q·F
[w] 或 [J/s]
11
1.5 导热基本定律-----傅立叶定律
有限厚（x方向）、无限 大（y、z方向）导板：
边界条件： r = r1时，t = t1
r = r2时，t = t2 解得温度分布方程为： t = f(r)
，导热能力
影响因素：材料的种类、结构、温度、湿度
13
(1) 材料种类
一般：液 气 ， 导体 电介质 气体： = (0.0058 ~ 0.58)W/m.℃
其中干空气(20℃)： =0.0259 W/m·℃
液体： = (0.093 ~ 0.70) W/m·℃ 水(20℃)：=0.598 W/m·℃
——在一个体系内部，温度在空间的分布。
(物理量)
(场)
t = f(x, y, z) ----------------温度标量场
维数：三维： t = f (x,y,z) 二维： t = f (x,y) 一维： t = f (x)
长方体是三维
切片是二维
直线是一维
5
1.2 稳定与不稳定
体系内： t()= f (x,y,z,) ------温度场随时间变化
）dvd
即：
t


cp
( 2t x2
2t y 2
2t ) z 2
＝a2t
其中
a cp
------导温系数，是物性参数，表示 物体被加热或冷却时，物体内部温 度趋于一致的能力，m2/s
2t 2t 2t 2t ------对t 的拉普拉斯运算子
其中： = b/0
实际计算中，取平均温度（算术平均温度） 下的导热系数作为常数。
即：
t

0

b

t1
2
t2

0
(1



t1
2
t2
)
15
(4) 湿度
同一种类材料，湿干。原因是：
1°、水的导热系数大； 2°、不遵从加和性法则。
[如] 干建筑砖：=0.33
水：
=0.55
湿建筑砖：=0.99
23
依据Laplace方程，求解工程上的实际导热 问题，须先给出初始条件和边界条件：
初始条件——又叫时间条件，是指在加热 （或冷却）前物体内部的温度 分布情况。
（1）稳定态导热 ∵ t 0 ∴无时间条件；

24
（2）非稳定态导热 过程开始时的温度分布为：
t f (x, y, z)
——等温面与任一平面相交的线称为等温线。 ——不同的等温面与同一平面相交，则在此平 面上得到一组等温线
即：
t = f(x,y,z)=const
7
等温线的正确表示：
t1
同一瞬间，不同的等温线（面）
t2 不会相交（t1t2）
不能始于内部，也不能终于内部
t1 t3 t2
始于边界终于边界或内部封闭均可
8
dQx


t x
dydzd
同一时间内在x方向传出热量：
dQxdx dQx x (dQx )dx
t dydzd ( t dydzd )dx
x
Hale Waihona Puke x x t dydzd 2t dxdydzd
x
x 2
18
在x方向由导热引起的净热量：
1 2
0

(t12
t22 )

(
t1

t2
)0
1

(
t1
2
t2
)
t av
t q
/ av
Q
t

t R
av F
34
此时，任意厚度处的温度 t 为：
若：
t
(1

t1)2

2qx
0

1

0，温度分布曲线上凸；
0，温度分布曲线下凹；
对流换热量为： q对流= (tw- tf)
同一瞬间，通过表面从内部传出的热(导热)：
q导热

( t )
n
根据能量守恒： q导热( )=q对流( )
即：

（
t n
）

(tw
tf
)
∴
t n


(tw
t
29
f
)
4 无内热源的稳定态导热
4.1 平壁的导热
单层平壁（常物性）： t1 •
串联热阻：
t1
t2
t3
t4
•
•
•
•
R1
R2
R3
Q
R R1 R2 R3
Q
t
n
Ri
i 1

t
n i i1 i Fi

ti ti1
n i i1 i Fi
（平壁各层 F 相等）
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如图：13 »2
∵ Q1 = Q2 = Q3 = Q
t3 = t4 + QR3 t2 = t3 + QR2 ∴ t1 = t2 + QR1
——是由流体质点的移动和相互混合所引起的
热量交换。 2
（3）辐射(radiation)——固体（特别是灰体）、 气体、火焰间辐射：
——是一种由电磁波来传递能量的现象。
辐射体内：热能辐射能 能量形式的转换：
受热体内：辐射能热能
（4）综合传热
3
§2-1 导热
4
1 导热的基本概念及定律 1.1 温度场
39
复合平壁的导热：
若垂直于传热方向的热流忽略不计，则仍可近 似认为是一维传热
Q
t R
t
n i
i i Fi
B
F
ACE
Q
D
GQ
RB
RE
RF
•
•
••
•
t1
RA t2
RC
t3
t4
t5
RD
RG
40
4.2 园筒壁的导热
若L很长，则沿长度 方向的导热可忽略不计， 则温度是半径 r 的函数。
固体：金属： =( 2.3 ~ 417.6 )W/m·℃
电介质： 耐火材料：=(1.1 ~ 16)W/m·℃ （非导体） 建筑材料：=(0.16 ~ 2.2) W/m·℃
隔热材料： 0.22 W/m·℃ 14
(2) 材料结构
封闭小气孔
(3) 温度
t = 0 bt t = 0 ( 1 t )
Q = const 但∵r1r2，F1 F2（F1<F2） ∴q const（q1>q2）
所以工程上应该检查传 热量Q，而不是热流q。
r2 r1
t1
Q
L
t2
Q
r
dr
41
单层园筒壁的导热：
因 t 只依 r 而变，所以是一维稳定温度场。 将导热微分方程进行坐标转换，得：
d 2t 1 dt 0 dr2 r dr
稳定温度场： t 0 即温度场不随时间变化，

稳定（定常）
不稳定温度场：t 0 即温度场随时间变化，

不稳定（不定常）
其中
t

＞0
，是加热升温过程，t
随而
t

＜0
，是冷却降温过程，t
随而
6
1.3 等温面、等温线和温度梯度 （1）等温面（线）
——同一瞬间，把温度场中所有温度相同的各 点连接起来构成的面称为等温面，
dQx
dQxdx


2t x 2
dvd
由此可推得在三个方向上（微元体）总净热量：
（ 2t
x 2

2t y 2

2t z 2
）dvd
同一时间d 内，焓变：
cp
t

dvd
19
根据热平衡关系式，得：
cp
t

dvd
＝
（
2t x 2

2t y 2

2t z 2
（2）温度梯度（gradient）
n(法线) 温差t对沿法线方向两等
t+2t
温线之间的距离n的比值
t+t
n
的极限，称作温度梯度
t
Q
lin gradient t t
n0 n n
9
梯度是矢量，其正向指向温度升高的方向， 与热流方向相反。传热是沿着负梯度方向。
温度梯度方向是坡度最大的，传热方向是 坡度最小的。

x t1
--------------直线方程
31
将上式 t = f(x) 对 x 求导，并代入傅立叶定律表
达式得：
Q


t x
F

t1 t2


t R
[W]
F
其中：Q——传热量； R——热阻（导热面上的）
工程上应用： (1) 已知t、R，求Q；
(2) 已知t、Q，求R，进而求 或 ；
0，温度分布曲线就直线。
∵ Q1= Q2= Q，
Q dt F
dx
35
t1 • 0
Q2
Q1
0 •• t2 =0
dt
∴ dx ，曲线曲率小，上凸 dt ，曲线曲率大，下凹
dx 36
多层平壁（常物性）：
设：层与层之间接触完好，无附加接触热阻，
按热--电模拟。
x2 y2 z 2
20
2t 0，表示物体被加热； 2t 0，表示物体被冷却； 2t 0，表示是稳定温度场。
21
(2) 若物体内部有均匀内热源

qv ——单位体积内的热生成率，W/m3

则，由内热源引起之焓变为： qv
cp
所以，有内热源的导热微分方程（稳定、不
稳定）为：

Chap 2 传热原理
1
传热形式：
（1）导热(conduction)——变物性、高维、稳 定导热、不稳定导热；
——是直接接触的物体，依靠物体中的微观粒 子（分子、原子或电子等）的热运动（振动、
碰撞、扩散）而将热量从高温部分（动能较大） 传到低温部分（动能较小）的传热现象。
（2）对流(convection)——自然对流、窑内对流；
无限大（y、z方向）
有限厚（x方向，）
两侧等温面t1与t2（ t1 t2 ）

常物性， =const
• t2 x
30
属于一维稳定温度场，即有：
2t x 2
0
其解：t = f(x) t = C1x+C2
边界条件(第一类) x=0，t=t1
x=，t=t2
解得：
t

f
(x) t1 t2
t a2t qv

cp
22

有内热源、不稳定： t a2t qv

cp
无内热源、不稳定： t a2t

无内热源，稳定： t 0 ∵ a 0 ∴ 2t 0

一维稳定导热：
2t x 2
0
t f x, y, z, q f1 和 Q f2