2(3)拉普拉斯展开定理 - 复制

0 0 2 1 1
2 相应的 0 1 2阶子式: S1 = 1 1 2 S1的余子式: 1 M1 = 0 1 0 S2的余子式:
1 −1 0 1 1 2 1 1
A1 = ( −1)1+ 3+ 2+ 3 M 1 = − M 1
1 0 M2 = 0 1
3阶子式: 0 1 2 S2 = 1 − 1 1 2 −2 2
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B . −1 −1 − A CB
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det D = ( −1)1+ 2+L+ n+( n+1)+( n+ 2 )+L+( n+ n ) (det A)(det B )
= ( −1)
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例(基本结论) 分块下(上)三角矩阵行列式 Am×m det * O Am×m = det Bn×n O
= det A ⋅ det B
* Bn×n
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2 0 1 0 2 1 0 − 1 0 1 按1, 2行展开的 例 计算D = 0 1 − 1 2 1 二阶子式共有 2 0 2 − 2 1 2 C5 = 10个. 0 1 −1 1 1 解 按1, 2行展开, 不为零的二阶子式为 2 1 1 2 S1 = , S2 = −1 1 1 −1 1 2 1 0 A1 = ( −1)1+ 2+1+ 3 2 1 2 = 0, A2 = ( −1)1+ 2+ 3+ 5 0 =0 1 1 1 0 所以, D = S1 A1 + S2 A2 = 0.
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三、小结
1. k 阶子式、余子式、代数余子式的概念 2. 利用拉普拉斯定理计算行列式
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作业 习题2.3 ( 第74页) 1.(2)(4) 5. 2. 3. 4.(1)(3)
1+ 3+ 4+ 2+ 3+ 5 M2 = M2 . S2的代数余子式: A2 = ( −1)
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a11 a21 例如, 5阶行列式 D = a31 a41 a51 a22 a24 取子式 S = , a52 a54
分块对角矩阵行列式 A1 det O = (det A1 )L(det At ), ( Ai 为方阵 ) A t
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例 设A, B为n阶可逆矩阵, 证明如下矩阵可逆, C A 并求其逆: D= . 为什么？ B O n×n = − det D ( 1 ) (det A)(det B ) ≠ 0, 所以可逆. 解 X1 X 2 −1 设D = . X3 X4
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A = ( −1)( i1 +L+ ik )+ ( j1 +L+ jk ) M
2
为S的代数余子式.
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拉普拉斯展开定理Biblioteka 2 0 1 2 1 0 −1 k=3 例 D = 0 1 −1 0 2 −2 0 1 −1 S1的代数余子式:
第三节
拉普拉斯展开定理
拉普拉斯定理 小结 作业
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第二章 行列式
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一、拉普拉斯定理
定义 在n阶行列式D中, 任取k行、k列 (1 ≤ k ≤ n), 位于这k行、k列交点上的k2个元按原来的相对位置 组成的k阶行列式S, 称为D的一个k 阶子式. 在D中划去S所在的k行、k列, 余下的元按原 来的相对位置组成的n-k阶行列式M 称为S的余子式. 设S的各行位于D中第i1 , i2 ,L, ik行( i1 < i2 < L < ik ), S的各列位于D中 第j1 , j2 ,L, jk列( j1 < j2 < L < jk ), 称
C A X 1 DD = B O X 3
−1
X 2 CX 1 + AX 3 = X4 BX 1
CX 2 + AX 4 E = BX 2 O
−1
O . E
CX 1 + AX 3 = E X 3 = A−1 CX + AX = O −1 −1 O = − X A CB 2 4 4 −1 D = ⇒ A−1 BX = O X1 = O 1 −1 BX = E X = B 2 2
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拉普拉斯定理 在行列式D中任取 k (1 ≤ k ≤ n − 1)行(列), 由这 k行(列)元所组成的一切k阶子式分别与它们的代 数余子式的乘积之和等于行列式D. 设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1, S2,
k L, St ( t = C n ),它们相应的代数余子式分别为A1, A2,
L, At , 则 D = S1 A1 + S 2 A2 + L + St At . 说明: 当k = 1时, 拉普拉斯定理就是行列式按 一行(列)展开, 所以拉普拉斯定理是行列式按一 行(列)展开性质的推广, 它是行列式按某k行(列)的 展开.
k
A1k = O k A t
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A1 O 可逆的充要条件是 A t A1 ,L, At 可逆 ( Ai 为方阵 ) A1 O A t
a12 a22 a32 a42 a52
a13 a23 a33 a43 a53
a14 a24 a34 a44 a54
a15 a25 a35 中, a45 a55
a11 a13 则其 代数 余子式为 ( −1)( 2+ 5 )+( 2+ 4 ) a31 a33 a41 a43
a15 a35 . a45
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−1
A1 −1 = O −1 At 设A1 ,L, At 可逆
−1 At = N A −1 1
A1 N A t
−1
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2⋅ n ( n+1 ) + n×n 2
(det A)(det B )
= ( −1)
n×n
(det A)(det B ).
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回忆(要非常熟悉): A1 det O = (det A1 )L(det At ), ( Ai 为方阵 ) A t A1 B1 A1B1 O O O = A B A B t t t t A1 O A t