贝塞尔函数

第二十章 贝塞尔函数 柱函数
在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下
分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．
通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函 数．
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主
要是引用贝塞尔函数的正交完备性．
20.1 贝塞尔方程及其解
20.1.1 贝塞尔方程
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
与 Jn (x) 是线性相关的，所以(20.1.7)成为通解必须是
整数.
（2）当 取任意值时：
定义第二类贝塞尔函数 N (x) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的 贝塞尔方程。
考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题
uutt
a2 (uxx | x2 y2 l2
0
u
Hale Waihona Puke yy)u(x, y,t) |t0 (x, y)
ut (x, y,t) |t0 (x, y)
(0 x2 y2 l 2, t 0) (t 0)
1
2
U
k 2U
0
U |l 0
（20.1.2） （20.1.3）
再令 U (,) R()() ，得到
2 0 (20.1.4)
2R R (k 22 2)R 0 （20.1.5）
令 k x, R() y(x) 于是(20.1.5)得到
x2 d2 y x dy (x2 2 ) y 0 （20.1.6）
（20.1.1）
其中 l 为已知正数，(x, y), (x, y) 为已知函数．
这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．
（由于是二维问题，即退化为极坐标）
设 u(x, y,t) u(,,t) T(t)U(,)
对泛定方程分离变量（取 k 2 ）得
T k 2a2T 0
U
1
U
和汉克尔函数也应该满足上述递推关系
v 若用 Zv (x) 代表
阶的第一或第二或第三类函数,总是有
d dx
[xv
Zv
(
x)]
xv
Zv1
(
x)
(20.3.3)
d dx
[
x
v
Z
v
(
x)]
xv
Zv1
(
x)
(20.3.4)
同理可证
Jn (x) Jn (x)
（20.2.5）
因此有重要关系
Jn (x) (1)n Jn(x)
可得几个典型的贝塞尔函数表示式
（20.2.6）
J0 (x)
1
( x)2 2
1 (2!)2
( x)4 2
1 (3!)2
( x)6 2
L
J1 ( x)
x 2
1 ( x)3 2! 2
1 ( x)5 2!3! 2
L
当x很小时 (x 0，) 保留级数中前几项，可得
J
(x)
( x) 2
1,
( 1)
( 1, 2, 3,)
（20.2.7）
特别是 J0 (0) 1, Jn (0) 0 (n=1,2,3, ) (20.2.8)
当x很大时 J (x)
2
cos(x
π
π
)
o(x
3
2（) 20.2.9）
πx
42
例20.2.1 试证半奇阶贝塞尔函数
2
J
1 2
(
x)
cos x πx
20.3 贝塞尔函数的基本性质
20.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出
d dx
[
J (x) x
]
J
v
1 ( xv
x)
d dx
[xvJv
( x)]
x v J v 1 ( x)
(20.3.1) (20.3.2)
以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数 Nv(x)
y(x) AJ (x) BN (x) （20.1.8）
(3) 当 取任意值时：
由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的
第三类贝塞尔函数 H (x) ，又称为汉克尔函数．
HH((12))
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
(x) (x)
（20.1.9）
分别将
H(1)
,
H(2)
dx2 dx
边界条件为
y(k) |l y(kl) 0
方程（20.1.6）称为
阶贝塞尔微分方程．这里
x 和
可以为任意数．
20.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(20.1.6)的通解为
y(x) AJ (x) BJ (x) （20.1.7）
（iii） y(x) AH(1) (x) BH(2) (x) ( 可以取任意数）
20.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质
20.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J (x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
( x ) 2k 1) 2
式中 (x) 是伽马函数．满足关系
（20.2.1）
( k 1) ( k)( k 1)L ( 2)( 1)( 1)
当 为正整数或零时， ( k 1) ( k)!
当 取整数时 ( k 1) ,(k 0,1, 2,, 1)
所以当 n 整数时，上述的级数实际上是从 k n
的项开始，即
Jn (x)
k 0
(1)k
1 k !(n
( x)n2k , k)! 2
而
(n 0) (20.2.2)
Jn (x)
k n
(1)k
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x )n2l ,
l0
l!(n l 1) 2
(20.2.3)
(l k n)
所以 Jn (x) (1)n Jn ( x) （20.2.4）
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x AH(1) (x) BH(2) (x)
（20.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
（i） y(x) AJ (x) BJ (x) ( 整数）
（ii） y(x) AJ (x) BN (x) ( 可以取任意数）
2
J 1 (x)
2
sin x πx
证明：由公式(20.2.1)有
12k
J1 (x) 2
(1)k
k 0
21 2
2
k
x2 k !( 1
k
1)
2
而
故
J1 (x)
2
(3 k) 135L (2k 1) π
2
2k 1
2 (1)k x2k1 2 sin x
πx k0 (2k 1)!
πx
同理可证