多元函数求最值

多元函数求最值

多元函数求最值问题

一.【问题背景】

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。

二.【常见的方法】

导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等

主要思想方法：数形结合、化归思想等

三.【范例】

例1：已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则21

3x y x y

++-

的最小值为 。

方法一 因为422x y +≥，所以

()2121

4(

)()[(3)()]332333322

x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y

++++-+-+--+=+

+

+-+≥≥

当且仅当221,32

x y ==-取等号，故

21

3x y x y

++-的最小值324+ 【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。

方法二 利用不等式()2

2

2

a b a b p q p q +++≥，引证：

记向量

(,)x y p q p q

==，因为()2

2

2

x y x y ⋅⋅≤

所

以

()2

22a b a b p q p q

+++≥，

则

()

()

2

2121

32x y x y x y ++-+≥

322+

【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造

向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。

方法三 因为 0,2x y x y >>+≤，所以 01y << 又因为 ()()

2121332222211y

x y x y y y y y -++=+-+-+-≥

11

3228

2

4

6(3)

3y y

+=⋅

--+-≥

当且仅当

221,32

x y ==-取等号

【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。 方法四 因为 2x y +≥，

所以

211133221322x y x y k k x y x y x y x y k k ++++++=++-+-+-≥，其中y

k x

= 记 ()111322k k

g k k k

++=+

+-，()0,1k ∈ 因为 ()()

22

228404

246k k g k k k +-'=

+-，令 ()0g k '=，

得 4

257

k =

由于 ()g k 在4

25

(0,)7

上递减，在25

(

,1)7

上递增

故 ()min

425322

(

)74g k g +==，

所以

21

3x y x y +

+-的最小值32

4+

【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，

将二元函数的最值转化为一元函数的最值，从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。

例2： 已知任意非零实数x ，y 满足3x 2

＋4xy ≤λ(x 2＋y 2

)恒成立，则实数λ的最小值为____．

方法一：依题可得()()

2

2222234344x

xy x x y x y +++=+≤

因为,x y 均不为0，故

222

34x xy

x y ++≤4

，所以

4λ≥

【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。

方法二：因为

,x y

均不为

，所以

2

22

2

34

341()y x xy

x

y x y x

λ++=

++≥

令y t x =，则 2

341t t λ++≥，记 ()2

341t

f t t

+=

+，由导数法可知

因为 ()[]1,4f t ∈-，所以 4λ≥

【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。

方法三：因为 ()

2

2234x

xy x y λ++≤ 所以

2

2

(3)40x xy y λλ--+≥

当3λ=时，则 2

340

y

xy -+≥显然不成立

当3λ≠时，同除2

y 得 2

(3)()4

0x x

y

y

λλ--+≥

故 ()30

16430

λλλ->⎧⎪⎨

--⎪⎩

≤ 解得 4λ≥ 【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“∆”法解决，但此法局限于二次问题。 变式练习：()

2

2222x

xy m x y ++≤对于一切正数,x y 恒成