正余弦定理及应用

知识点：正余弦定理及三角形面积公式的应用
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===A +B +A B ．
正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题. (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。

(1)A 为锐角
(2)A 为直角或钝角
3、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =
A ==
B ． 4、余弦定理：在
C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac
+-B =，222
cos 2a b c C ab +-=．
6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若2
2
2
a b c +=，则90C =
； ②若2
2
2
a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C >
． 余弦定理的应用.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形问题.
(1)已知三边，求其它三角.
(2)已知两边和其中夹角，求另一边及其它角. (3)已知两边和其中一边的对角，求其它边、角
题型1.与正余弦定理有关的问题 判断三角形形状
1． 在ABC ∆中，若A b B a cos cos =，则ABC ∆的形状。

（等腰） 2． 在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状。

（等腰或直角） 解斜三角形
1.【2012高考重庆理13】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53c os =
A ，13
5cos =B ,3=b 则c =
【答案】5
14
【
解
析
】
因
为
5
3cos =
A ,
13
5cos =
B ,所以
5
4
s i n
=A ，
13
12sin =
B ，
65
56
53131213554)sin(sin =⨯+⨯=
+=B A C ,根据正弦定理C c B b sin sin =得65
133c =,解得514=c . 2.【2012高考福建理13】已知△ABC
_________. 【答案】4
2-
． 【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中． 【解析】设最小边长为a ，则另两边为a a 2,2.
所以最大角余弦42
2242cos 222-
=⋅-+=a
a a a a α 3.【2012高考北京理11】在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=4
1
-，则b=_______。

【答案】4
【解析】在△ABC 中，利用余弦定理c
b c b c ac b c a B 4))((4412cos 222-++=-⇒-+= c b c 4)
(74-+=，化简
得：0478=+-b c ，与题目条件7=+c b 联立，可解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===243
a b c .
4.【2012高考湖北理11】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，
则角C = ． 【答案】
3
2π 考点分析：考察余弦定理的运用.
【解析】
222222a =-a -ab 12cos =,2223
a b c b
a b c C C ab ab π
+-+-==-∠=由（+b-c ）(a+b-c)=ab,得到根据余弦定理故
5.【2012高考天津理6】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=
（A ）
257 （B ）257
- （C ）257± （D ）25
24
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力. 【解析】因为B C 2=,所以B B B C c o s s i n 2)2s i n (s i n ==,根据正弦定理有
B
b
C c sin sin =，所以58s i n s i n ==B C b c ，所以5
45821s i n 2s i n c o s =⨯==B C B 。

又1c o s 2)2c o s (c o s 2-==B B C ，所以25
7
1251621cos 2cos 2=-⨯=-=B C ，选A.
6. ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、.
己知sin csin sin sin ,a A C C b B += (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若75,2,.A b a c == 求,
【解析】(Ⅰ)
由正弦定理sin csin sin sin ,a A C C b B +=可变形为
2
2
2
a c
b +=
，即2
2
2
a c
b +-=
，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-===
又(0,)B π∈,所以4
B π
=
（Ⅱ）首先sin sin(4530)A =+=
sin sin 60C ==
由正弦定理2sin 1.sin 2b A
a B
=
==
，同理2sin sin 2
b C
c B === 7.在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。

析（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，
A BC C A
B sin sin =，于是522sin sin ===B
C A
BC
C AB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A ∙-+=2cos 2
22
于是A A 2cos 1sin -==
5
5，从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 2
2=-===A A A A A A
10
2
4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=
-=-πππA A A 8. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为c b a ,,且()2
3cos cos =+-B C A ，ac b =2
，求B 。

析：由
3cos()cos 2A C B -+=，得3cos()cos()2A C A C --+=。

得3
sin sin 4A C =
；又由2b ac =，得2sin sin sin B A C =
，得
sin B =
.故
233B ππ=或，当23B π=时，由1cos cos()2B A C =-+=-
，进而得
3
cos()cos()212A C A C -=++
=>，矛盾，应舍去。

知识点2：正余弦定理及三角形面积公式的应用
1．已知ABC ∆ 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为___________ 【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得
222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+--- ，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积
为
1
610sin1202
S =⨯⨯⨯= 2.在ABC ∆中，()1sin =-A C , sinB=
3
1
.（I ）求sinA 的值； (II)设AC=6，求ABC ∆的面积. 解：（Ⅰ）由
2C A π-=，且C A B π+=-，∴42B A π=-
，∴sin sin()sin )
4222B B B A π=--， ∴
211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >
，∴sin A =
（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC
B A =
∴
sin 31sin 3
AC A
BC B
=
=
=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
13=
+=
11sin 22ABC S AC BC C ∆=∙∙==
3．(山东理17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=．
(Ⅰ)求sin sin C A
的值；
(Ⅱ)若cos B =1
4，b =2，求△ABC 的面积S ．
（Ⅲ）若cosB=1
4，5b ABC 的周长为，求的长.
答案：（Ⅰ）由正弦定理得
2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,
c R C =所以
c o s A -2c o s C 2c -a
=c o s B b =2sin sin sin C A B
-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有
s i n ()2s i n (A B B C
+=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin C
A
=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知:
sin sin c C a A ==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=1
4
，所以
sinB=
4，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯
⨯4
=4.
（Ⅲ）由
sin 2sin C A =得2c =，∵1
cos 4
B =，∴22222cos 4b a c ac B a =+-= ∴2b a =，又5a b c ++=得1,2a b ==
4.【2012高考江苏15】在ABC ∆中，已知⋅=⋅3． （1）求证：tan 3tan B A =；
（2
）若cos C =
求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =
，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

又∵0<A B <π+，∴cos 0 cos 0A >B >，。

∴sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

（2）∵
cos 0C <C <π=
，∴sin C =tan 2C =。

∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

∴tan tan 21tan tan A B
A B
+=-- 。

由 （1） ，得24tan 213tan A
A
=--，解得1tan =1 tan =3A A -
，。

∵cos 0A >，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将3AB AC BA BC =
表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

（2
）由cos C =
可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π⎡-+⎤⎣⎦，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。

5.【2012高考江西理17】（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c 。

已知,sin()sin()444
A b C c
B a π
ππ
=+-+=
（1）求证： 2
B C π
-=
（2）若a =
△ABC 的面积。

解：（1）证明：由 sin(
)sin(
)4
4
b C
c B a π
π
+-+=及正弦定理得：
sin sin()sin sin()sin 44
B C C B A ππ
+-+=，
即sin (
)sin ()22222
B C C C B B +-+=
整理得：sin cos cos sin 1B C B C -=，所以sin()1B C -=，又30,4
B C π
<< 所以2
B C π
-=
（2） 由（1）及34B C π+=可得5,88B C ππ=
=，又,4
A a π
== 所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8
a B a C
b
c A A ππ
=
===，
所以三角形ABC 的面积151
sin sin cos 28888242
bc A πππππ=
==== 【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查. 6.【2012高考辽宁理17】(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。

角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。

【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题.
【解析】（1）由已知1
2=+,++=,=
,cos =
32
B A
C A B C B B π
π∴ ……6分
（2）解法一：2
=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =4
A C B
解法二：2=b ac ，222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac ，由此得22
+-=,a c ac ac 得=a c
所以===3A B C π，3
sin sin =4
A C ……12分
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。

第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。

7.【2012高考浙江理18】(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝2
3
，
sin B
C ．
(Ⅰ)求tan C 的值；
(Ⅱ)若a
∆ABC 的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A
，
C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A
cos C ＋23sin C ．
整理得：tan C
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C
又由正弦定理知：sin sin a c
A C
=
，
故c =． (1)
对角A 运用余弦定理：cos A ＝2222
23
b c a bc +-=． (2)
解(1) (2)
得：b =or b
舍去)． ∴∆ABC 的面积为：S
． 8.【2012高考新课标理17】（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C
的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c . 【答案】（1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ︒︒︒︒
⇔=++⇔
-=⇔-=
⇔-=⇔=
（2
）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔=
2222cos4 =+-⇔+= a b c bc A b c。