黏弹阻尼材料的动态模量分析
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代 入式 （）～５， 由此 可 得 剪切 模 量 各 部 分如 ３ （）
下：
ｃｔ ｐｄ （／ｔ ｑ （＋１ （／ｆ ３ ｒ） １ｃｔｄ＝ｏ ｔ ｑ 占ｆｄ （ （＋ ｒ） ６） ） ｄ ）
式 中，Ｐ ： ， ｑ ： ｏ ｌ ｌ ｏ ｅ ，ｑ ：
ｌ ｌ
Ｃ ＝ １ ｏ（ｎ ．＋ｏ ｏ ２ ｓ ／ ｃ ＋ ｃ ２ｏ ｃ ａ ） ．
可 其 ， （ ） 广 的 性 量 以代 表任 何 中 ｊ 是 义 弹 模 ，
张婷婷 等：黏弹 阻尼材料的动态模量分析
示意 图如 图 ２所示 。
对 通 过 Ｚ ｎ ｒ模 型 得 到 的 本 构 式 （ ）进 行 ｅｅ ４
Ｆ ｘｉ 变换，得到频域范围内的复模量 。 ｏ ｅ ｒ
＝
（）＋７ ） ｌ ｊ（ ｌ ｌ ７
（ ２）
可描述蠕变过程，但却不能表示应力松弛现象。同 时，这两个模型所反映的松弛或蠕变过程都只是时
间的一个指数函数 ， 不便表述聚合物等材料较为复 杂的流变过程 ，因此 ，为了更好的描述实际的高聚 物材 料 的黏 弹性行 为 ，常 用更 多 的基本元 件 组合而 成的其它模型，如 Ｚ ｎｒ ｅｅ 模型 （ 标准黏弹性模型） ，
模 型 、标 准线性 固体模 型 、等 刚度 等 阻尼模 型 、有
应函数， 而该线性系统就是材料本身。 如果 ｆ ｊ ）
是激励，或者输入函数，那么 ｊ ） （Ｃ 是输出函数， Ｏ
响应 如 图 １ 示 。 所
图 １线 性 系 统 不 意 图
限元模型以及分数导数模型 。近几年来 ，应用分数 导数 模型 进行 拟合 分析 得到 了逐 步发展 和完 善 。 本 论 文 针 对 高 聚 物 材 料 采 用 分 数 导 数 维 的 Ｚ ｎｒ模 型来 研 究 高聚物 的动 态力 学 性能 ，该模 型 ｅｅ 可 以描述高聚物材料弹性模量和损耗 因子 随着频 率 的变化 。
㈩
引 入 单元 化 圆频 率 ＝
图 ２ Ｚｎｒ ｅｅ 模型
和 ｃ＝
，且
图中， 和 巨代表线性弹簧 的弹性模量， 是 Ｎｅ ｏ 壶 的黏性 系数 。 ｗｔｎ粘 Ｚ ｎｒ ｅｅ模型的应力一 应变的关系为：
ｉ＝ ／＝ ｏ（ｎ２＋ ｓ （ｎ２ 。 ｅ ｃｓ ／） ｊｉ ａ ／、 ａ ｎ
２ １年第 ４期 ０ １
声学与电子工程
总第 １４期 ０
黏弹 阻尼材料 的动态模量分析
张婷婷 韩 宝坤 张文浩 刘伟 （ 山东科技大学机械电子工程学院，青岛，２６１） ６５ Ｏ
摘要 将 四参数分数导数维 的 Ｚ ｎ ｒ模型用于吸声降噪的高聚物材料 。该模型不仅能在低频 区域很好 ｅｅ
１ 本 理 论 基
１ １高聚物材料的复模量 ． 在频 域 内 ，高聚物 材料 的线 性动 态 黏弹性 能一 般通 过复 合模 量 的形式 来表 示 ，复模 量 可 以体 现 时 域 范 围内应力一 应变 傅里 叶变 换【。 ３ ］
Ｍ（ ｓ
（） １
性能建立相应的模型。 描述黏弹性材料本构关系的模型中，最简单的 模型由一个弹簧和一个粘壶串联或者并联构成，即 Ｍａｗ ｌ模型、Ｋ ｌ ｎ模型 。Ｍａｗ ｌ模型虽然能 ｘｅ ｌ ｅｉ ｖ ｘｅ ｌ 体现 松 弛现象 ，但 却不 能表 示蠕变 。Ｋｅ ｉ 型虽 ｌ ｎ模 ｖ
的拟合弹性模量和损耗 因子 ，还 能预测 出高频 区域弹性模量 和损 耗因子的 曲线。该模型和测得实验数据相
符合 。
关键 词 高聚物材料 ；损耗 因子 ；分数导数；复弹性模 量
高聚 物材 料具 有 良好 的结构 阻尼特 性 ，可 在 宽 频 带 内有 效 的抑制 系统 的振 动和 噪声 ，在 传统 的军 工 、航 空航 天 、汽车 行业 、仪器 仪表 、建筑 业 、家
用电器以及轨道交通，机械行业等领域得到广泛的 应用【。弹性模量和损耗因子是表征阻尼材料及其 １ 】 复合结构力学性质的重要物理量，也是工程中选材 的重 要参 数 ，其 测量 的准确 性 决定 了设 计优化 的准 确性 ，但 是其受温 度 和频 率 的影响较 大 ，给 结 构设 计和 应用 效果 等预 测分 析带 来一 定 的困难 。 研 究 高聚 物材 料 的动态 力学 性 能，使其发 挥 良 好 的阻尼 性 能 ，绘制 出理 想 的材料 性 能 曲线 图 ，关 键 是构建 描述 高聚 物材 料 的黏弹性 本 构方程 ，描述 黏弹性材料的基本模型【 Ｋ ｌｉ ２ Ｊ ｅ ｎ模型、Ｍａｗ ｌ 有 ｖ ｘ ｅ ｌ
的一 种 固体材 料 的弹性模 量 的复模 量 形式 ，无 论是
各向同性或各向异性材料。
ｆ 为储能模量， ）
（） 为损耗模量， （ ） 为损耗因子，用于描述
黏弹 性材 料 的阻尼 性能 ，值越 大 ，则阻尼性 能就越 好 ，反之 ，阻尼 性 能越差 。 式 （ ）可 以被解 释 为 一个 线 性 系统 的 频率 响 １
复模 量 函 数 的 物 理 意 义 表 示 交 变 应 变 下 的 应 力 响应 ，是 高聚 物材 料动 态黏 弹性 能 的重要 标志 。 直 接 测 量 高 聚物 材 料 的复 模 量 的方 法 有 自由衰 减 法 、正弦 力激励 法 、相位法 、振 动梁 法等 。但 是 由 于方 法 的 限制 ，直 接测量 的 频率大 约在 ４ ０ ， ００Ｈｚ 高频 段仍 难 以测量 。 １２ 黏弹 性模 型 ． 为 了准 确 表 征 高 聚 物 材 料 阻 尼 性 能 随 温 度 和 频率 的变 化关 系 ，需要 根据 高聚 物材 料 的黏弹 力学
㈤ （ ９ ）
㈤
。 Biblioteka 这 种模 型可 以很 好 的描述线 性 动态 黏弹 性能 ， 但 是 ，理论模 型 的预测 和 实验 曲线存 在差异 ，主 要 原 因是 纯 粘 性 压 力 是 不 存 在 真 正 的 聚 合物 材 料 中 的 ，所 以要对模 型进 行改 进 。 近 二十 年来 ， 由于分 数 导数模 型仅 用少 数 的实
下：
ｃｔ ｐｄ （／ｔ ｑ （＋１ （／ｆ ３ ｒ） １ｃｔｄ＝ｏ ｔ ｑ 占ｆｄ （ （＋ ｒ） ６） ） ｄ ）
式 中，Ｐ ： ， ｑ ： ｏ ｌ ｌ ｏ ｅ ，ｑ ：
ｌ ｌ
Ｃ ＝ １ ｏ（ｎ ．＋ｏ ｏ ２ ｓ ／ ｃ ＋ ｃ ２ｏ ｃ ａ ） ．
可 其 ， （ ） 广 的 性 量 以代 表任 何 中 ｊ 是 义 弹 模 ，
张婷婷 等：黏弹 阻尼材料的动态模量分析
示意 图如 图 ２所示 。
对 通 过 Ｚ ｎ ｒ模 型 得 到 的 本 构 式 （ ）进 行 ｅｅ ４
Ｆ ｘｉ 变换，得到频域范围内的复模量 。 ｏ ｅ ｒ
＝
（）＋７ ） ｌ ｊ（ ｌ ｌ ７
（ ２）
可描述蠕变过程，但却不能表示应力松弛现象。同 时，这两个模型所反映的松弛或蠕变过程都只是时
间的一个指数函数 ， 不便表述聚合物等材料较为复 杂的流变过程 ，因此 ，为了更好的描述实际的高聚 物材 料 的黏 弹性行 为 ，常 用更 多 的基本元 件 组合而 成的其它模型，如 Ｚ ｎｒ ｅｅ 模型 （ 标准黏弹性模型） ，
模 型 、标 准线性 固体模 型 、等 刚度 等 阻尼模 型 、有
应函数， 而该线性系统就是材料本身。 如果 ｆ ｊ ）
是激励，或者输入函数，那么 ｊ ） （Ｃ 是输出函数， Ｏ
响应 如 图 １ 示 。 所
图 １线 性 系 统 不 意 图
限元模型以及分数导数模型 。近几年来 ，应用分数 导数 模型 进行 拟合 分析 得到 了逐 步发展 和完 善 。 本 论 文 针 对 高 聚 物 材 料 采 用 分 数 导 数 维 的 Ｚ ｎｒ模 型来 研 究 高聚物 的动 态力 学 性能 ，该模 型 ｅｅ 可 以描述高聚物材料弹性模量和损耗 因子 随着频 率 的变化 。
㈩
引 入 单元 化 圆频 率 ＝
图 ２ Ｚｎｒ ｅｅ 模型
和 ｃ＝
，且
图中， 和 巨代表线性弹簧 的弹性模量， 是 Ｎｅ ｏ 壶 的黏性 系数 。 ｗｔｎ粘 Ｚ ｎｒ ｅｅ模型的应力一 应变的关系为：
ｉ＝ ／＝ ｏ（ｎ２＋ ｓ （ｎ２ 。 ｅ ｃｓ ／） ｊｉ ａ ／、 ａ ｎ
２ １年第 ４期 ０ １
声学与电子工程
总第 １４期 ０
黏弹 阻尼材料 的动态模量分析
张婷婷 韩 宝坤 张文浩 刘伟 （ 山东科技大学机械电子工程学院，青岛，２６１） ６５ Ｏ
摘要 将 四参数分数导数维 的 Ｚ ｎ ｒ模型用于吸声降噪的高聚物材料 。该模型不仅能在低频 区域很好 ｅｅ
１ 本 理 论 基
１ １高聚物材料的复模量 ． 在频 域 内 ，高聚物 材料 的线 性动 态 黏弹性 能一 般通 过复 合模 量 的形式 来表 示 ，复模 量 可 以体 现 时 域 范 围内应力一 应变 傅里 叶变 换【。 ３ ］
Ｍ（ ｓ
（） １
性能建立相应的模型。 描述黏弹性材料本构关系的模型中，最简单的 模型由一个弹簧和一个粘壶串联或者并联构成，即 Ｍａｗ ｌ模型、Ｋ ｌ ｎ模型 。Ｍａｗ ｌ模型虽然能 ｘｅ ｌ ｅｉ ｖ ｘｅ ｌ 体现 松 弛现象 ，但 却不 能表 示蠕变 。Ｋｅ ｉ 型虽 ｌ ｎ模 ｖ
的拟合弹性模量和损耗 因子 ，还 能预测 出高频 区域弹性模量 和损 耗因子的 曲线。该模型和测得实验数据相
符合 。
关键 词 高聚物材料 ；损耗 因子 ；分数导数；复弹性模 量
高聚 物材 料具 有 良好 的结构 阻尼特 性 ，可 在 宽 频 带 内有 效 的抑制 系统 的振 动和 噪声 ，在 传统 的军 工 、航 空航 天 、汽车 行业 、仪器 仪表 、建筑 业 、家
用电器以及轨道交通，机械行业等领域得到广泛的 应用【。弹性模量和损耗因子是表征阻尼材料及其 １ 】 复合结构力学性质的重要物理量，也是工程中选材 的重 要参 数 ，其 测量 的准确 性 决定 了设 计优化 的准 确性 ，但 是其受温 度 和频 率 的影响较 大 ，给 结 构设 计和 应用 效果 等预 测分 析带 来一 定 的困难 。 研 究 高聚 物材 料 的动态 力学 性 能，使其发 挥 良 好 的阻尼 性 能 ，绘制 出理 想 的材料 性 能 曲线 图 ，关 键 是构建 描述 高聚 物材 料 的黏弹性 本 构方程 ，描述 黏弹性材料的基本模型【 Ｋ ｌｉ ２ Ｊ ｅ ｎ模型、Ｍａｗ ｌ 有 ｖ ｘ ｅ ｌ
的一 种 固体材 料 的弹性模 量 的复模 量 形式 ，无 论是
各向同性或各向异性材料。
ｆ 为储能模量， ）
（） 为损耗模量， （ ） 为损耗因子，用于描述
黏弹 性材 料 的阻尼 性能 ，值越 大 ，则阻尼性 能就越 好 ，反之 ，阻尼 性 能越差 。 式 （ ）可 以被解 释 为 一个 线 性 系统 的 频率 响 １
复模 量 函 数 的 物 理 意 义 表 示 交 变 应 变 下 的 应 力 响应 ，是 高聚 物材 料动 态黏 弹性 能 的重要 标志 。 直 接 测 量 高 聚物 材 料 的复 模 量 的方 法 有 自由衰 减 法 、正弦 力激励 法 、相位法 、振 动梁 法等 。但 是 由 于方 法 的 限制 ，直 接测量 的 频率大 约在 ４ ０ ， ００Ｈｚ 高频 段仍 难 以测量 。 １２ 黏弹 性模 型 ． 为 了准 确 表 征 高 聚 物 材 料 阻 尼 性 能 随 温 度 和 频率 的变 化关 系 ，需要 根据 高聚 物材 料 的黏弹 力学
㈤ （ ９ ）
㈤
。 Biblioteka 这 种模 型可 以很 好 的描述线 性 动态 黏弹 性能 ， 但 是 ，理论模 型 的预测 和 实验 曲线存 在差异 ，主 要 原 因是 纯 粘 性 压 力 是 不 存 在 真 正 的 聚 合物 材 料 中 的 ，所 以要对模 型进 行改 进 。 近 二十 年来 ， 由于分 数 导数模 型仅 用少 数 的实