计算方法第一章误差.
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数值分析
数值分析是数学与计算机技术结合 的 一门学科，是利用计算机解决 数学问题的理论和方法，是计算数 学的一个重要分支。
现代复杂工程技术问题的解决步 骤
工程问题
数学模型
设计算法
问题解答
结果分析
上机计算
数值分析涉及的主要内容
• 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单 的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法 处理，转化为四则运算而形成的小型软件包）
2. 存储量。大型问题有必要考虑 例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可 以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空 间。
数值分析需要考虑哪些问题
3. 数值稳定性 在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制， 这与算法有关。
例：一元二次方程
x2 (109 1)x 109 0 其精确解为 x1 109 , x2 1
则 e x x* 0.510ml
有效数字：由绝对误差决定
定 义 设 x * 的 近 似 值 x 0.x1x2 xn 10m ，
x1
0 ，若 x 的绝对误差
x-
x*
1 10mn 2
则称近似值 x 为 x* 的有 n 位有效数字的近似值。其中
x1, x2 , , xn 是 x 的有效数字。近似值 x 具有 n 位有
相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正
可负。相对误差的估计 er r
称
为相对误差限
r
，即：
x x* x*
x*
r
实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为：
x* x
x* x
Biblioteka Baidux*x
2
x*x
2
x*
x x*
2 r
例：用 3.14 作为 的近似值，求其相 对误差。
解：四舍五入的近似值 3.14 的绝对误
2 m n 2, n 3 。有 3 位有效数字。
例：以 22 作为圆周率 的近似值有几位有
差 限 1 102 ， 相 对 误 差
2
r
x
1 102
2
0.159%
3.14
例：重力加速度常数g。g 9.80米 秒2 , g 980厘米 秒2
两者均有三位有效数字
g 9.80 0.5102米 秒2
g 980 0.5厘米 秒2
后者的绝对误差大，而相对误差分别为
0.5 102 9.80
效数字，它准确到第 n 位。
例：求 3.142 和 3.141 作为圆周率 的近似值有几位有效数字。 解： 3.142 0.000407 0.0005 1 103 ， m 1，
2 m n 3, n 4 。有 4 位有效数字。
3.141 0.00059 0.005 1 102 ， m 1，
和
0.5 980
两者相等，与量纲的选取无关
有效数字
• 若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个 单位，则说 x 精确到该位，若从该位到 x 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近 似值x有n位有效数字。
例： 3.1415926535L , 3.14有三位有效数字 误差限 0.005 ；3.1416有五位有效数字，
数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的 舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响
误差的基本概念
• 绝对误差和绝对误差限 X*是精确值，x是它的一个近似值，称 e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误 差。绝对误差可正可负，是有量纲的。 误差是无法计算的，但可以估计出它 的一个上界。即 ： x x* ,称是近似值x的误差限
1. 数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的 解法，分直接方法和间接方法
2. 插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办 法得到点之间的值
3. 数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分， 利用数值方法求解
4. 常微分方程和偏微分方程的数值解法
数值分析需要考虑哪些问题
1. 计算速度 例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量， 用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求 解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘 法运算的计算机要30万年。 说明了算法方法的重要性
如用求根公式：x1,2 b
b2 4ac 2a
和字长为8位的计算器求解，有
b2 4ac 1018 4109 1018 109 又 109 1 109;则
x1
(109 ) 109 2
109 , x2
(109 ) 109 2
0
数值分析需要考虑哪些问题
x2的值与精确解有天壤之别。若
x2 b
b2 4ac
2a
b
2c b2 4ac
2109 1与精确解相等 (109 ) 109
误差的来源和基本概念
• 误差的来源 1. 模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素
都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的 误差。不是数值方法考虑的问题 2. 测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。也不是 数值方法考虑的问题 3. 截断误差：在设计算法时，必然要近似处理，寻求简化。 这是计算数学考虑问题 4. 舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四 舍五入，由此产生的误差称舍入误差。
即x x* x
例如：有毫米刻度的尺子，读出的近似值的 误差，不会超过毫米的一半（半个毫米）。
读出 35 毫米代表 34.5 到 35.5 之间。误差 是半个毫米，误差限是末位的半个单位。
相对误差和相对误差限
• 相对误差和相对误差限
称 e x x *为近似值x的相对误差，记作 er
x* x*
数值计算方法
授课老师：涂泳秋 Email：tyq_adasister@163.com
数值计算方法
• 上课时间： 1-18周周三上午三、四节
• 上课地点： 第4，8，12，16周：1班4#机房，2班5#机房 其余周次：A1-403
• 考试方式： 闭卷
• 成绩计算方法： 笔试60%，平时20%，上机20%
误差限为0.00005
又例：0.003529是四位有效数字，0.00352900
是六位有效数字。前者的误差限为 0.5106 后者为 0.5108 ，写成标准的浮点数为：
，
0.3529102， 0.352900 102
当 x 0.a1a2 L al L an 10m , ai为数字0，1，2，L ，9，a1 0. 其中，有效数字的个数是l,即 a1,L , al是有效的。
数值分析
数值分析是数学与计算机技术结合 的 一门学科，是利用计算机解决 数学问题的理论和方法，是计算数 学的一个重要分支。
现代复杂工程技术问题的解决步 骤
工程问题
数学模型
设计算法
问题解答
结果分析
上机计算
数值分析涉及的主要内容
• 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单 的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法 处理，转化为四则运算而形成的小型软件包）
2. 存储量。大型问题有必要考虑 例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可 以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空 间。
数值分析需要考虑哪些问题
3. 数值稳定性 在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制， 这与算法有关。
例：一元二次方程
x2 (109 1)x 109 0 其精确解为 x1 109 , x2 1
则 e x x* 0.510ml
有效数字：由绝对误差决定
定 义 设 x * 的 近 似 值 x 0.x1x2 xn 10m ，
x1
0 ，若 x 的绝对误差
x-
x*
1 10mn 2
则称近似值 x 为 x* 的有 n 位有效数字的近似值。其中
x1, x2 , , xn 是 x 的有效数字。近似值 x 具有 n 位有
相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正
可负。相对误差的估计 er r
称
为相对误差限
r
，即：
x x* x*
x*
r
实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为：
x* x
x* x
Biblioteka Baidux*x
2
x*x
2
x*
x x*
2 r
例：用 3.14 作为 的近似值，求其相 对误差。
解：四舍五入的近似值 3.14 的绝对误
2 m n 2, n 3 。有 3 位有效数字。
例：以 22 作为圆周率 的近似值有几位有
差 限 1 102 ， 相 对 误 差
2
r
x
1 102
2
0.159%
3.14
例：重力加速度常数g。g 9.80米 秒2 , g 980厘米 秒2
两者均有三位有效数字
g 9.80 0.5102米 秒2
g 980 0.5厘米 秒2
后者的绝对误差大，而相对误差分别为
0.5 102 9.80
效数字，它准确到第 n 位。
例：求 3.142 和 3.141 作为圆周率 的近似值有几位有效数字。 解： 3.142 0.000407 0.0005 1 103 ， m 1，
2 m n 3, n 4 。有 4 位有效数字。
3.141 0.00059 0.005 1 102 ， m 1，
和
0.5 980
两者相等，与量纲的选取无关
有效数字
• 若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个 单位，则说 x 精确到该位，若从该位到 x 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近 似值x有n位有效数字。
例： 3.1415926535L , 3.14有三位有效数字 误差限 0.005 ；3.1416有五位有效数字，
数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的 舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响
误差的基本概念
• 绝对误差和绝对误差限 X*是精确值，x是它的一个近似值，称 e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误 差。绝对误差可正可负，是有量纲的。 误差是无法计算的，但可以估计出它 的一个上界。即 ： x x* ,称是近似值x的误差限
1. 数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的 解法，分直接方法和间接方法
2. 插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办 法得到点之间的值
3. 数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分， 利用数值方法求解
4. 常微分方程和偏微分方程的数值解法
数值分析需要考虑哪些问题
1. 计算速度 例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量， 用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求 解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘 法运算的计算机要30万年。 说明了算法方法的重要性
如用求根公式：x1,2 b
b2 4ac 2a
和字长为8位的计算器求解，有
b2 4ac 1018 4109 1018 109 又 109 1 109;则
x1
(109 ) 109 2
109 , x2
(109 ) 109 2
0
数值分析需要考虑哪些问题
x2的值与精确解有天壤之别。若
x2 b
b2 4ac
2a
b
2c b2 4ac
2109 1与精确解相等 (109 ) 109
误差的来源和基本概念
• 误差的来源 1. 模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素
都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的 误差。不是数值方法考虑的问题 2. 测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。也不是 数值方法考虑的问题 3. 截断误差：在设计算法时，必然要近似处理，寻求简化。 这是计算数学考虑问题 4. 舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四 舍五入，由此产生的误差称舍入误差。
即x x* x
例如：有毫米刻度的尺子，读出的近似值的 误差，不会超过毫米的一半（半个毫米）。
读出 35 毫米代表 34.5 到 35.5 之间。误差 是半个毫米，误差限是末位的半个单位。
相对误差和相对误差限
• 相对误差和相对误差限
称 e x x *为近似值x的相对误差，记作 er
x* x*
数值计算方法
授课老师：涂泳秋 Email：tyq_adasister@163.com
数值计算方法
• 上课时间： 1-18周周三上午三、四节
• 上课地点： 第4，8，12，16周：1班4#机房，2班5#机房 其余周次：A1-403
• 考试方式： 闭卷
• 成绩计算方法： 笔试60%，平时20%，上机20%
误差限为0.00005
又例：0.003529是四位有效数字，0.00352900
是六位有效数字。前者的误差限为 0.5106 后者为 0.5108 ，写成标准的浮点数为：
，
0.3529102， 0.352900 102
当 x 0.a1a2 L al L an 10m , ai为数字0，1，2，L ，9，a1 0. 其中，有效数字的个数是l,即 a1,L , al是有效的。