傅里叶积分变换

5．非周期函数的频谱
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系， 这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这 个时间函数的频谱。由于F(ω)是随ω连续变化 的，因而称|F(ω)|为连续频谱。
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f (t) 1
2
f
(τ
)ej dτ
e j t d
（1）
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f (t 0) f (t 0) 来代替。 2
2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
积分变换
主要内容
§1 傅里叶（Fourier）积分变换 §2 拉普拉斯(Laplace)积分变换
注：积分变换的学习中，规定： j 2 1
§1 傅里叶（Fourier）积分 变换
傅里叶变换——又简称为傅氏变换
内容： 傅氏变换概念 傅氏变换性质 卷积与相关函数
一、傅氏变换
1．傅氏积分定理
若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件： （1） f(t)在任一有限区间上满足条件： f(t)至多有 有限个第一类间断点和极值点；
j ( 0 ) t
2 j
1 2
2j
( 0 ) 2
( 0 )
j ( 0 ) ( 0 )
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
0
2 2
由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0 ,
(t)
1
t 0或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t
)
lim
0
(t)
单位脉冲函数的一些性质：
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
f (t) F -1 F()
f(t)叫做F(ω)的象原函数。
（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换； （3）式右端的积分运算，叫做取F(ω) 的傅氏逆
变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个 傅氏变换对。
3．例子
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0,
t0
e t , t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f (t)e j t dt
0 f (t)e j t dt f (t)e j t dt
0
e t ej t dt
0
0
e ( j )t dt
1 j j 2 2
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f (t) F 1 F ()
1
F (
)e
j
t
d
2
1 j e j td
2 2 2
1
(
j )(cost j sin t)d
2 2 2 2 2
所以1和2 ()构成了一个傅氏变换对;
e
j
t 0
和
2
(
0 )也构成了一个傅氏变换对。
例4 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换。
解：
F() F
f (t)
e jt
sin 0tdt
e j0t e j0t e jt dt
2j
1
e e dt j( 0 ) t
例5 作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。 图1-8
a.
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
1dt 1
0
b. 若f(t)为无穷可微的函数，则 (t) f (t)dt f (0)
证明 记
(t) f (t)dt
lim
0
(t) f
(t)dt
lim
0
Baidu Nhomakorabea
(t) f (t)dt
lim 1 f (t)dt f (0)
1 ( cos t sin t ) j( sin t cos t )d
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
( cos t
sin t )
j(
sin t
cos t )d
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 cos t sin t d
0 0
更一般地有
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0 )
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t) 1
证明
F() F (t)
(t) e-jtd e j t 1
t0
例3
证明单位阶跃函数
u(t)
0,
1,
变换为 1 () j
t0
的傅氏
t0
解：只需证明 1 j
1
2
,
2
,t 0; t 0;
0, 1,
t 0; t 0;
这表明 1 j
() 的傅氏逆变换为u(t) 。u(t)
和 1 ()构成了一个傅氏变换对。同时得到 j
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
u(t) 1 1 sin t d (t 0)
2 0
类似的方法可得
F -1 2 () 1 F -1 2 ( 0 ) e j0t
() 的傅氏逆变换为u(t) 。
f (t) F-1 F()
1
2
1
j
()e jt d
1
()ejt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
20
由于
0
sin
td
0,2
,t t
0; 0
2
,
t0
故
f (t) 1 1
2
sin 0
td
1
2 1 2
1
f (t) 1
2
f
(τ
)ej dτ
e j t d
成立。
设
F ( ) f (t)ej t dt
（2）
则
f (t) 1
F ( ) e j t d
2
（3）
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)