概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念

主要内容：

（1）理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；（2）理解事件频率的概念，了解概率的统计定义；

（3）理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率；

（4）理解概率的公理化定义；

（5）掌握概率的基本性质及概率的加法定理；

（6）理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式，全概公式及贝叶斯（Bayes）公式；

（7）理解事件独立性概念，会计算相互独立事件的有关概率。

前言

1、确定性现象：有一类现象，在一定条件下必然发生，例如：向上抛一石子必然下落，同性电荷必不

相互吸引，等等。

2、随机现象：这种在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中结果又具有统计规律性的

现象。

3、概率论与数理统计是研究和提示随机现象统计规律的一门数学学科。它具有广泛的应用性：在日常

生活中、社会生产中等等。

§1随机试验

具有以下的特点：

1、可以在相同的条件下重复地进行；

2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

3、进行一次试验之前不确定哪一个结果会出现。

在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。记为E

§2样本空间、随机事件

（一）样本空间

对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S，样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。例如：（见教材3页）

（二）随机事件

一般，我们称试验E有样本空间S的子集这E的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

例如：（1）在一定的条件下，投掷一枚硬币，结果会是：“正面朝上”，或“反面朝上”。在硬币落地之前，是不能断定结果的。

（2）在一定的气象条件下，明天北京的天气如何。“下雨”，“刮风”。都可能出现，但是却不一定。

（3）下期福利彩票的结果，36选7，结果会是什么。事件“1，3，6，7，20，30，36”是一种可能。也可能出现另外的事件。

样本空间S包含所有样本点，它是S的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

例如：（1） 从我们的课堂上，采取抓阄的方式任意地挑选1名同学，“这名同学来自月球”这

是不可能事件。“这名同学来自地 球”是必然事件。“这名同学是女同学”是随机事件。“这名同学有手机并且手机开着”是 ？

（2）有一个100人的组织中，混进了两个奸细。任意地选取3个人，则“3个人都是奸

细”是不可能事件。“至少一个人是奸细”是随机事件。“3个人都不是奸细”也是随机事件。“至少一个人不是奸细”则是必然事件。

（三） 事件间关系与事件的运算

事件的本质是集合，事件遵循着集合的运算关系。

1、 包含关系：若B A ⊂，则事件B 包事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件B 发生。 若B A ⊂且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等。

2、 事件{}

B x A x x B A ∈∈=⋃或称为事件A 与事件B 的和事件,

n

k k

A

1

=称为n 个事件

n A A A ,,21的和事件；称 ∞

=1

k k A 为可列个事件 ,,21A A 的和事件。

3、 事件{}

B x A x x B A ∈∈=⋂且称为事件A 与事件B 的积事件,

n

k k

A

1

=称为n 个事件

n A A A ,,21的积事件；称 ∞

=1

k k A 为可列个事件 ,,21A A 的积事件。

4、 事件{}

B x A x x B A ∉∈=-且称为事件A 与事件B 的差事件。 5、 若Φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的（互斥的）。

6、 若Φ=⋂=⋃B A s B A 且,则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事

件，A 的对立事件记为A ，A S A -=。 7、 事件满足以下运算规律：见教材6页）

例2、例3（见教材6页）

§3频率与概率

（一） 频率

在相同条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 的频率，记成为)(A f n 。 频率具有下述基本性质： 1、1)(0≤≤A f n ；

2、1)(=A f n ，0)(=Φn f ；

3、若k A A A ,,21是两两不相容的事件，则

)()()()(2121k n n n n A f A f A f A A A f ++=⋃⋃⋃

（二）概率

设E 是随机试验，Ω是它的样本空间。如果对于E 的每一个事件A ，均有一实数P （A ）与这对应，且集合函数P （·）满足下列条件：

1、对于每一个事件A ，有0)(≥A p ；

2、1)(=Ωp ；

3、若 ,,21A A 是两两不相容的事件，即对于 ,2,1,,,=Φ=≠j i A A j i j i ,则有

++=⋃⋃⋃)()()(2121A p A p A A A p

称为)(A p 为事件A 的概率。

由概率的定义，可以得到一些重要的性质。 性质1： 0)(=Φp ；

性质2：若k A A A ,,21是两两不相容的事件，