光学波横波纵波声学波

—— 3个系数
—— 波矢空间的3个基矢 —— 倒格子基矢 采用波恩－卡门周期性边界条件
—— 晶格的3个 基矢
—— 晶格3个基 矢方向上的 原胞数
波恩－卡门周期性边界条件


R

l k


i[t R
Ak e
l k
q ]

A ei[t ( N1a1 R k
波矢q可取的数目 N 个 —— 原胞的数目
总的格波数目(振动模式数目) N (3 3n 3) 3nN
—— 晶体所有原子的自由度(坐标)数目
晶格振动总的能量
E

3nN
[ni (q)
i 1

1 2
]
i
(
q
)
i (q) —— 晶格振动能量量子
(声子Phonon)
—— 3nN种声子
倒格子原胞基矢
第一布里渊区
倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
第一布里渊区大小
第二布里渊区
由4个次近邻倒格点
每个原胞有2个原子，n=2 有6支格波，3支声学波，3支光学波 振动模式数为6N
晶体中格波振动频谱的支数=原胞内原子的自由度数mn m支声学波，m(n-1)支光学波
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N 总的格波数目(振动模式数目) =晶体的自由度数Nmn
二维晶格的布里渊区 —— 正方格子的布里渊区
正方格子的基矢
§3.4 三维晶格的振动
三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子 原子的质量
晶体的原胞数目 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置
各原子偏离格点的位移
第l个原胞内第k个原子的运动方程：
mk


l k



k,
d
[

l k




l k
]
3个解：
——
趋于一致
—— 三个频率对应的格波描述整个原胞的一齐运动 —— 3支声学波 (1支纵声学波、 2支横声学波)
—— 另3n-3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子 间的相对运动
—— 3n-3支光学波
结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支 声学波和3n－3支光学波
三维晶格中的波矢
波矢空间 (q空间)的矢量：
2,3 x,y,zk 1,2, n
2,3 x,y,zk nearestatom ' s position
y x
—— , 为原子在三个方向上的位移分量
—— 一个原胞中有n个原子 —— 一个原胞中有3n个类似的方程
TO
一维双原子链：
晶体有N个原胞
N个波矢
原胞内原子的自由度数=2
2支格波
晶体的自由度数=2N
振动模式数为2N
一维单原子链：
晶体有N个原胞
N个波矢
原胞内原子的自由度数=1
1支格波
晶体的自由度数=N
振动模式数为N
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数 格波振动频谱的支数=原胞内原子的自由度数 总的格波数目(振动模式数目)=晶体的自由度数
q的取值限制在一个倒格子原胞中 —— 第一布里渊区
q

h1 N1
b1

h2 N2
b2

h3 N3
b3
—— N N1N2 N3 个取值
波矢空间一个点占据的体积 V * v0 *v0 * N
N
V*
对应于一个波矢q的格波支数
3支声学波和3n－3支光学波 —— 原胞内原子的自由度数目
方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
A11, A12 , A13; A21, A22 , A23; A1x , A1y , A1z ; A2x , A2 y , A2z ;
An1, An2 , An3 Anx , Any , Anz
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程
2,3 2,3
推广
一维、三维
m维
晶体有N个原胞，每个原胞有n个原子 晶体的维数为m
晶体中格波振动频谱的支数=原胞内原子的自由度数mn m支声学波，m(n-1)支光学波
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N 总的格波数目(振动模式数目) =晶体的自由度数Nmn
【例题】金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少? 答: 金刚石结构为三维复式格子，m=3
l k
)q ]


R

l k


i[t R
Ak e
l k
q ]

A ei[t ( N2a2 R k
l k
)q ]


l
R

k


i[t R
Ak e
Hale Waihona Puke Baidul k
q ]

A ei[t ( N3a3 R k
l k
)q ]
q x1b1 x2b2 x3b3
波矢
q

h1 N1
b1

h2 N2
b2

h3 N3
b3
波矢空间一个点占据的体积
V * b1 ( b2 b3 ) v0 * N1 N2 N3 N
—— 倒格子原胞体积
状态分布密度
N v0 *

N b1 (b2 b3 )
mk2 Ak

C
k'
q

k
,
k
'

Ak
'

k 1,2, nk nearestatom ' s position
与不同原 子的相位
有关
—— 系数行列式为零，得到3n个 j ( j 1, 2, 3, 3n )
(3n支格波)
长波极限 q 0

Nv0
(2 )3

V
(2 )3
波矢的取值范围 —— 原子振动位移函数 (格波解)
—— 同一原子在不同原胞中的相对位移取决于它的
相对位相差因子
(相对位相差因子的取值对于原胞中 任意一原子都相等，与k无关)
波矢q改变一个倒格矢: q q Gn
同一原子在不同原胞中的相对位相差因子变为：
—— 相对位相差因子没有改变，原子相对位移不变，格波 振动状态一样
区分： 声学波、光学波 横波、纵波
声学波 (质心运动)
q 横波
光学波 (原子的相对运动)
q 纵波
布里渊区中心 q 0
长声学波
q
(原子以相同振幅，同
向振动)
长光学波
q
(原子相对振动，质
心不变)
布里渊区边界 q
2a
q
LA
短声学波
(大原子做驻波运动)
TA
LO
短光学波
q
(小原子做驻波运动)