二次根式的概念和性质课件

2 2 2 2 2 2 （2） (7 ) (7) ( ) 49 14 7 7 7
2 ( a ) a 求解。 评析：本题直接应用二次根式的性质
当底数是积时，应先应用积的乘方法则计算，再运 用二次根式的性质 ( a ) 2 a（a≥0）
练习
计算： ( 10 ) ( 3 3 )
[典例]
计算： （1）
( a 1)
2
(a≥1) （2 ）
1 a 1 2 3 a 3
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x 1 3 x0 x 0 (6) x 2 (5) x
16.2.1
二次根式的概念
学习目标
• 理解二次根式的概念
•
掌握二次根式
的性质
• 相信大家通过自己努力， 一定能实现今天的学习目标
复习
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
2
2
解：
( 10 ) ( 3 3 ) 2 2 10 ( 3) ( 3 ) 10 27 17
2
2
练习
计算：
8
2
8
2
3
2
3
2
2 3
12
x
xy x y
3

2 6 3 3
2
探究
2 2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
2
0 0
2
一般地，根据算术平方根的意义，
a | a |
2
即一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值
二次根式的重要性质 (3)
2
[请注意以上性质和 ( a ) a （a≥0）的区别] 分解：当a≥0时， a 2 a ；当a<0时， a 2 a
2 2是 一 个 平 方 等 于 2的 非 负 数 ， 因 此 有 （ 2 ） 2
归纳
一般地，有如下性质：（1） a ≥0（a ≥0 ）
（2 ） ( a ) 2 a（a ≥0 ）
即：一个非负数的算数平方根的平方等于非负数本身。 理解：（1） a（a ≥0 ）表示非负数a的算术平方根， 也就是说， a（a ≥0 ）是一个非负数，它的平方等于 a；（2）对于 ( a ) 2 a （a ≥0 ），利用这一公式可以 进行计算，如： (3 2 ) 2 32 ( 2 ) 2 9 2 18 。如果把该 公式反过来就是：a ( a ) 2 ，其逆意义是：可以把任意 非负数写成平方的形式，如：2= ( 2 ) 2， x-y= ( x y ) 2 ( x y )
a a
2
a(a 0) 即： a 2 a a(a 0)
1:从运算顺序来看,
请记忆住这 个法则！ 很有用
a

a
2
先开方,后平方
2
a 先平方,后开方
2
2.从取值范围来看,

a≥0
=a a≥0
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
2
= a 2 =∣ a ∣
a (a≥ 0) -a (a≤0)
用
a
(a≥0)表示。
1、平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
50米
已知
：a b 求： a, b的值。
解：a-b+6=0，a+b-8=0
解得：a=1，b=7
二次根式的性质
探究
2 2 4 4 17 17
2
2
2

1 1 3 3
2
0 0
2
2是 2的 算 术 平 方 根 ， 根 据 术 算平方根的意义，
?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
2 斜边长为______________ a 2500 米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S， 则半径为____________.
S
如图所示的值表示正方形的面 积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s

b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
a ≥0
4. a≥0,
1.若
a 2 2b 7
3。 =0，则 a 2b =___
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 3 你能求出a+b 的值吗？ 2
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二 象限. a 2 3 4、2+√3-x的最小值为＿＿，此时 x的值为＿＿。
例题讲解
你能把下列各数写成某个数的平方或平方 的相反数吗？
（1）3 （2）0.5
2
(3)-5
解： (1)3 ( 3 )
( 2 ) 0 .5 ( 0 .5 )
2
(3) 5 ( 5 )
25，16呢？
2
[典例]
计算： （1） (8
5)
2
（2 ）
2 2 (7 ) 7
解：（1） (8 5 ) 2 82 ( 5 ) 2 64 5 320
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (6) a 1 ,
2
(4) - m (m≤0),
(5) xy (x,y 异号)，
3
(7)
5
在实数范围内,负数没有平方根
求下列二次根式中字母的取值范围：