第15章 用图解法求解空间问题

六、投影变换的六个基本问题
⑴一般位置直线变换为投影面平行线 一般位置直线变换为投影面平行线 ⑵投影面平行线变换为投影面垂直线 投影面平行线变换为 变换为投影面垂直线 ⑶一般位置直线变换为投影面垂直线 一般位置直线变换为 变换为投影面垂直线 ⑷一般位置平面变换为投影面垂直面 一般位置平面变换为投影面垂直面 ⑸投影面垂直面变换为投影面平行面 投影面垂直面变换为 变换为投影面平行面 ⑹一般位置平面变换为投影面平行面 一般位置平面变换为投影面平行面
b´ X
b A
V1 a1´
老投影体系 V/H
a
被保留 的投影
H
新轴 被保留 的投影面
α X1
新投影体系 V1/H
三、换面法的定义
空间几何元素是相对的， 空间几何元素是相对的 ， 保持元素之间的几何关系不 改变投影面对几何元素的相对位置， 变 ，改变投影面对几何元素的相对位置 ， 使投影体系处于 一种有利于图解位置的方法称为换面法。 一种有利于图解位置的方法称为换面法。
第15章 用图解法求解空间几 15章 何问题
提高篇
§15－1 15－ §15－2 15－ §15－3 15－ §15－4 15－ §15－5 15－ §15－6 15－ §15－7 15－
图解法概述 线面法 变换投影面法 旋转法(绕投影面垂直轴旋转） 旋转法(绕投影面垂直轴旋转） 旋转法(绕投影面平行轴旋转） 旋转法(绕投影面平行轴旋转） 斜投影法 图解法在工程上的应用
b´
V
a´ b´ d´ c´
β
B D
b
b1
β
a´ d 1 H1 a1 c1
V X H
c´
b d c
X
A
a
C
d
a
c
H
投影面垂直面变换为 投影面垂直面变换为投影面平行面 变换为投影面平行面
V c´ c1´ V1 a1´ C a´ b´ b1´ A X1 B X
c (b)
a H
c′ c1′ b1′ X a1′ X1 a bc a′ b′ V c´ a´ b´ X bc a H
距离问题
点到直线 的距离 P B L1 A P B L1 A B P B P B Q A P B 面面距离 线面距离 A L1 L2 P L1 两交叉线的 距离 A L2 两平行线 的距离
A B
点到平面 的距离 A
角度问题
N 两交叉直 线夹角 A M E F B C
两相交直 线夹角 E A F B C 直线对平 面的倾角
A Ф B
a
b H
两平面 二面角 Q
R B
A Ф C P
三、常用的图解法
图解法分为：线面法和投影变换法。 图解法分为：线面法和投影变换法。 线面法：在原投影体系中利用点、 线面法：在原投影体系中利用点、线、面之间的关系及 基本作图直接进行求解的方法。 基本作图直接进行求解的方法。这是图解空间几何问题最基 本的方法。 投影变换法： 投影变换法：通过改变空间几何元素和投影面之间的相 对位置关系或是研究如何改变其投影方向两个途径， 对位置关系或是研究如何改变其投影方向两个途径，使之处于 有利解题的位置，使问题得解得方法。 有利解题的位置，使问题得解得方法。投影变换的方法有换面 旋转法和斜投影法。 法、旋转法和斜投影法。 在工程实践及科学研究中，为了图解作图的方便， 在工程实践及科学研究中，为了图解作图的方便，先把工 程问题抽象为几何问题； 程问题抽象为几何问题；然后根据问题的性质和它的具体条件 和要求，确定解题的方法； 和要求，确定解题的方法；最后将所求结果放到实际中去检验。
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四、换面法的基本原则
1、新投影面必须垂直于某一个基本(或被保留的 投影面 、新投影面必须垂直于某一个基本 或被保留的 投影面, 或被保留的)投影面 以构成新的投影体系,也就是每次只能置换一个投影面 也就是每次只能置换一个投影面。 以构成新的投影体系 也就是每次只能置换一个投影面。 2、新投影面的设立必须对空间几何元素处于有利于解题 、 的位置，即一般与几何元素平行或垂直。 的位置，即一般与几何元素平行或垂直。
§15－2 15－
线面法
涉及到垂直问题时，注意直角投影定理的应用； 涉及到垂直问题时，注意直角投影定理的应用；涉及到实长问题 注意直角三角形法的应用。 时，注意直角三角形法的应用。
一、距离和角度问题 例一、 例一、试求交叉直线AB和CD的公垂线
a′ e ′m′ b′ f′
M A D N F C P E B
正面投 影长
y方向距 离差
f′
e′
e′
1′
e
e f
1
c′
f
a
m
例八、已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG DE在直线DG上 例八、已知等腰△ＤＥＦ的顶点Ｄ和一腰DE在直线DG上，另 的顶点 一腰ＤＦ ＤＦ∥ ＡＢＣ，且点 且点Ｆ ＭＮ上 试完成△ＤＥＦ的 一腰ＤＦ∥△ＡＢＣ，且点Ｆ在ＭＮ上，试完成△ＤＥＦ的 两面投影。 两面投影。
V a1b1 a´ b´ b´ B A H1 a b H a b a1 ´ 1´ b a´ XV H
X
一般位置直线变为 一般位置直线变为投影面垂直线 变为投影面垂直线
b´ a´
V b´ a2b2 B a1´ X b X1 a H A
X2
XV H
b1´ V1
b a a2b2
a´
一般位置平面变换为投影面垂直面 一般位置平面变换为投影面垂直面
§15－1 15－
图解法概述
一、图解法在工程中的地位和意义
研究在平面上用几何作图的手段解决空间几何问题的方法称为 图解法 画法几何所提供的图解法， 画法几何所提供的图解法，在科学技术活动中是解决空间问题 的一种重要手段，它广泛应用于各个学科领域，诸如图解静力学、 的一种重要手段，它广泛应用于各个学科领域，诸如图解静力学、物 理化学分析和空间机构理论等。 理化学分析和空间机构理论等。 图解法比计算法具有简便、迅速和明确显示形象的特点。 图解法比计算法具有简便、迅速和明确显示形象的特点。但由于 作图操作和仪器工具的限制，在精度要求上还具有一定的局限性。 作图操作和仪器工具的限制，在精度要求上还具有一定的局限性。
n′ b′ f′ 1′ 2′ m′
作图步骤： 作图步骤：
1、过D作平面D12 作平面D12 2、求D12与MN交点F D12与MN交点 交点F g′ 3、求DF的实长 DF的实长 4、在dg上，取DE=DF dg上 5、连接等腰三角形各 条边， 条边，完成投影图
c′ a′ b
e′ d′
1
g
f c a m
一般位置平面变换为投影面平行面 一般位置平面变换为投影面平行面
a2´ b2´ d2´ b´ d´ a´
V X H
c´
c2´
b d a c
【例1】求点C到直线AB的距离,并作出垂线的投影。
2
n d
e
§15－3 15－
一 换面法的基本概念
1 问题的提出
变换投影面法
倾斜于投影面的直线和平面不能反映实形， 倾斜于投影面的直线和平面不能反映实形，若 改变投影面和几何元素的相对位置关系， 改变投影面和几何元素的相对位置关系，可使直线 或平面反映实形。 或平面反映实形。
二、解决问题的基本思路
d′ n′ g′
c′
G
b e m a c f
g
d n
例二、 试求直线AB与三角形DEF平面的夹角。 例二、 试求直线AB与三角形DEF平面的夹角。 AB与三角形DEF平面的夹角
B Ф C a H a′ g′ C b Ф A B a g c e′ f′ A A0 b′ e′ b c′ f′
例三、已知直线AB与△EFG平面的夹角为60°，AB在△EFG上的 AB与 EFG平面的夹角为60° AB在 EFG上的 平面的夹角为60 例三、已知直线AB 正投影为AC 求作AB的两投影。 AC， AB的两投影 正投影为AC，求作AB的两投影。 e′ 1′
（2）拟定解题方案
通过分析，得出解题方案和解题步骤，在拟定解题方案时， 通过分析，得出解题方案和解题步骤，在拟定解题方案时，必须分 清主次，概念清楚， 清主次，概念清楚，条理分明
（3）投影作图 （4）投影作图
例四、过点M作直线，使其与△ABC平行，且与直线EF相交。 作直线， 平行， 相交。 例四、
F 1 E A M
C
f′
a′
m′ n′ c′ d′ n d 2 b b′ 2′
e′
N
1′
e
B D
1
c′
f
a
m
例七、作一直线与两交叉直线AB和CD相交，且与H、V面成α、β角 相交，且与H 面成α 例七、
F C 1
E
α β
F
E A
N M
B D
f′
a′
m′ n′ c′ n d′ d 2 b b′ 2′
a′
△ZAC
b′
△ZC 1
B
g′
f′ c′
A0 e
△ZAC
g c A 1 b B0
△ZC 1
60 °
B
a f
= A0 c
C
60 °
A
C
二、综合性问题
图解空间几何问题的步骤： 图解空间几何问题的步骤：
（1）空间分析
分析给定的几何条件和待求解的空间逻辑关系。 分析给定的几何条件和待求解的空间逻辑关系。
五、换面法的规律
1、点的新投影和被保留投影的连线垂直于新投影轴。 点的新投影和被保留投影的连线垂直于新投影轴。 2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的被替换投影 到旧投影轴的距离。 到旧投影轴的距离。 V V1 a1 ´´ a´ a´ a1 ´ o a X1 a H XV H
A
点的两次变换
a1 ´ V V1 XV H a2 a´ A X X1 a H a1 ´ X2 a a1 ´ a2
b′
作图步骤
g′
l′ n′ 1、过MN 作平面 MNG垂直于平面 MNG垂直于平面 ABC； ABC； 2、过点K作直线 过点K KL垂直于平面 KL垂直于平面 MNG。 MNG。
c′
a′ k′
m′
a
b
n k g
c
l m
例六、作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。 相交， 平行。 例六、
a′
m′ 2′ f′ b′ n′ 1′
作图步骤
1、过点M作 、过点 作 平面MⅠⅡ ⅠⅡ平 平面 ⅠⅡ平 行于已知平面 ABC； ； 2、求平面M 、求平面 ⅠⅡ与已知直 ⅠⅡ与已知直 的交点N； 线EF的交点 ； 的交点 3、连接MN 、连接
e′
c′
b 2
m
1
a
f
e
n
c
例五、过点K作直线KL与直线MN垂直，并与△ABC平行。 垂直， 平行。 例五、
空间分析的方法有： 空间分析的方法有：
轨迹分析法： 轨迹分析法：根据题目给出的各已知条件逐个运用空间几何轨迹的概 分析所求几何元素在已知条件下的空间几何轨迹， 念，分析所求几何元素在已知条件下的空间几何轨迹，然后将这些在 单个条件下的几何轨迹进行综合。 单个条件下的几何轨迹进行综合。显然这些几何轨迹的交集就同时满 足各个条件，从而得出解题方案和解题步骤。 足各个条件，从而得出解题方案和解题步骤。 逆推法：先假定题目所求的几何元素已经给出， 逆推法：先假定题目所求的几何元素已经给出，反过来推出该元素所 应具备的几何条件， 应具备的几何条件，然后进一步分析和确定这些几何条件与题目给出 的已知条件之间所应建立的几何关系， 的已知条件之间所应建立的几何关系，从中得出解题方案和步骤
一般位置直线变换为投影面平行线 一般位置直线变换为投影面平行线
V b´ B a´ α A b X1 a H X1 a X b1 ´ α a1´ XV H b a´
b1 ´ V1 a1 ´ α
b´
a´
a1 b´ XV H a β
b1
b
投影面平行线变换为 投影面平行线变换为投影面垂直线 变换为投影面垂直线
二、空间几何问题的分类
空间几何问题归纳起来大体分为定位问题和度量问题 定位问题包括点、 定位问题包括点、线、面之间的从属关系问题，直线与平面的平行、 面之间的从属关系问题，直线与平面的平行、 垂直、相交问题及曲面的切平面问题。度量问题包括距离和角度问题。 垂直、相交问题及曲面的切平面问题。度量问题包括距离和角度问题 距离问题最基本的是点到点的距离，其实质是求线段的实长， 距离问题最基本的是点到点的距离，其实质是求线段的实长，其 余所有有关距离的问题最终都可转化为两个点之间的距离。 余所有有关距离的问题最终都可转化为两个点之间的距离。 角度问题最基本的两直线的夹角， 角度问题最基本的两直线的夹角，其它角度问题都可转化为两直 线的夹角。 线的夹角。
求直线AB的实长和与 求直线AB的实长和与 AB 投影面的夹角。 投影面的夹角。 求直线CD的实长和与投影 求直线CD的实长和与投影 CD 面的夹角。 面的夹角。
b´ ´ a´ ´ X a c b O X c´ ´
d´ ´
γ α
O d
被替换 的投影面 被替换 的投影 新投影
a´ V
老轴
B
b1´
新投影面