2020年北京高考数学模拟试卷(1)
北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题
北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题西城区高三数学统一测试2020.4 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项。
1.设 $A=\{x|x2\}$，则 $A\cap B$ =（）A。
$(-\infty,)$B。
$(2,3)$C。
$(-\infty,)\cup(2,3)$D。
$(-\infty,3)$2.若复数 $z=(3-i)(1+i)$，则 $z$ =（）A。
22B。
25C。
10D。
203.下列函数中，值域为$\mathbb{R}$ 且为奇函数的是（）A。
$y=x+2$B。
$y=\sin x$C。
$y=x-x^3$D。
$y=2\sqrt{x}$4.设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若$a_3=2$，$a_1+a_4=5$，则 $S_6=$（）A。
10B。
9C。
8D。
75.设 $A(2,-1)$，$B(4,1)$，则以线段 $AB$ 为直径的圆的方程是（）A。
$(x-3)^2+y=2$，$(x-3)^2+y=8$B。
$(x+3)^2+y=2$，$(x+3)^2+y=8$C。
$(x-3)^2+y=2$，$(x+3)^2+y=8$D。
$(x+3)^2+y=2$，$(x-3)^2+y=8$6.设 $a,b,c$ 为非零实数，且 $a>c$，$b>c$，则（）A。
$a+b>c$B。
$a^2+b^2>c^2$C。
$(a+b)^2>c^2$D。
$abc>0$7.某四棱锥的三视图如图所示，记 $S$ 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A。
$22\notin S$，且 $23\notin S$B。
$22\notin S$，且 $23\in S$C。
$22\in S$，且 $23\notin S$D。
$22\in S$，且 $23\in S$8.设 $a,b$ 为非零向量，则“$a+b=a-b$”是“$a$ 与 $b$ 共线”的（）A。
2020年高考模拟北京市延庆区高考数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．206．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．107．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．二、填空题11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于．三、解答题16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．解：向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|【分析】找出选项中的函数解析式中ω的值，代入周期公式，可求出选项中函数的最小正周期．解：A、函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，不满足条件；B、函数y＝cos x的最小正周期为T＝＝4π，不满足条件；C、y＝tan2x的最小正周期为T＝，不满足条件；D、y＝|sin x|的周期T＝π，满足条件．故选：D．4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝【分析】根据函数的图象和性质，判断即可．解：A奇函数，不是增函数；B奇函数，在每个段上时增函数，整个定义域不是增函数；C奇函数，在R上递增；D不是奇函数，f（0）＝2≠0，故选：C．5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．20【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设四棱锥体的高为h，由于该几何体的体积为，所以该几何体的侧面的高为，所以几何体的表面积为S＝，故选：B．6．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．10【分析】利用通项公式即可得出．解：通项公式T r+1＝＝2r x3r﹣5，令3r﹣5＝4，解得r＝3．∴的展开式中x4的系数＝＝80．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【分析】设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数化简即可得出．解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n ＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的图象和性质，构造平行四边形AFBF1，结合余弦定理以及三角形的面积进行转化求解即可．解：由双曲线的方程知a＝4，b＝3，c＝5，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1是平行四边形，∵∠AFB＝60°，∴∠F1AF＝120°，则S△BOF＝S△F1BF＝S△F1AF，由余弦定理得100＝AF12+AF2﹣2AF•AF1cos120°＝（AF1﹣AF）2+3AF1•AF＝64+3AF1•AF，则3AF1•AF＝100﹣64＝36，即AF1•AF＝12，则S△F1AF＝AF1•AF sin120°＝＝3，则S△BOF＝S△F1AF＝，故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是（﹣∞，3）【分析】先转化分式不等式为x（x+k）＞0；再把﹣3代入即可求得k的取值范围．解：因为＞﹣1⇒⇒x（x+k）＞0；∵﹣3∈M，∴（﹣3）（﹣3+k）＞0⇒k＜3；∴k的取值范围是：（﹣∞，3）；故答案为：（﹣∞，3）．12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是y＝（x+2）．【分析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，由此能求出直线方程．解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，解得k＝．∴直线方程为y＝（x+2）．故答案为：y＝（x+2）．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝【分析】推导出函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），由此能求出f（）．解：∵函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（）＝sin（）＝（sin cos﹣cos）＝（﹣）＝．故答案为：．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于7；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于4．【分析】由题意可知，，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解AD；结合已知及正弦定理可求sin∠BAD，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．解：∵AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，由题意可知，，∴＝＝49，所以AD＝7；∵AB＝10，D是BC边的中点，∠CAD＝45°，AC＝6，设BD＝DC＝x，∠BAD＝α，∠ADB＝β，△ABD中，由正弦定理可得，，△ACD中，由正弦定理可得，，联立可得，sin，cos，所以sin∠BAC＝sin（）＝＝＝42，故答案为：7，42．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，则F是AC中点，由PA∥平面BDE，得EF∥PA，从而E是PC的中点．（Ⅱ）以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD和BE所成角等于90°．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，∴F是AC中点，∵PA∥平面BDE，∴EF∥PA，∴E是PC的中点．（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，∴以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，﹣2，0），B（4，2，0），E（0，1，1），＝（0，﹣2，﹣2），＝（﹣4，﹣1，1），∵＝0+2﹣2＝0，∴PD⊥BE，∴PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，①a8＝10．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．【分析】（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．即可得出S n有最小值．解：（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，又∵a10＝16，∴d＝＝3．∴a1+7×3＝10，解得a1＝﹣11．∴a n＝﹣11+3（n﹣1）＝3n﹣14，令2024＝3n﹣11，解得n＝678+不是整数，∴2024不是数列{a n}中的项．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．∴S n有最小值．为S4＝＝﹣26．故选：①a8＝10．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．【分析】先根据已知求得A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）直接根据其所占比例求解即可；（Ⅱ）求出表中网时长超过15小时的人数所占比例即可求解结论；（Ⅲ）先求出基本事件的总数，再求出符合条件的个数，相比即可求解．解：由题可得：A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）由题可得：A班的人数估计为：120×＝36人；（Ⅱ）抽取的20人中，网时长超过15小时的有：3+2+4＝9；∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为：；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有抽法：×＝105种；这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有：①均来自A班，有×＝15种；②一个来自A班，一个来自B班，有××＝18种；故共有：15+18＝33种；∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为：＝．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（II）结合导数对a进行分类讨论，确定函数的单调性，可求函数取得最值的条件，然后可求a的范围．解：（I）a＝1时，f（x）＝，，由导数的几何意义可知，k＝f′（0）＝2，故曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝2x；（II）因为，a≠0①a＞0时，令f′（x）＜0可得，x＞或x＜﹣a，此时函数单调递减，令f′（x）＜0可得，﹣a＜x＜，此时函数单调递增，故函数在[0，）上单调递增，在[）上单调递减，故函数在x＝处取得最大值，又当x→+∞，f（x）＞0，若函数取得最小值，则只有在x＝0处取得，此时f（0）＝a2﹣1≤0，且a＞0，解可得，0＜a≤1，②当a＜0时，同①可得，函数在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，此时函数在x＝﹣a处取得最小值，又当x→+∞，f（x）＜0，若使得函数f（x）取得最大值，则f（0）＝a2﹣1≥0且a＜0，解可得，a≤﹣1，综上可得，a的范围{a|a≤﹣1或0＜a≤1}．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c＝，求得椭圆的焦点，运用椭圆的定义可得a，进而得到b，即有椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程求得交点的横坐标，运用弦长公式可得|PQ|，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（Ⅲ）由椭圆的性质和条件可得结合三角形的面积公式可得|OQ|＝4|MQ|，即＝4，运用向量共线定理的坐标表示，求得M，Q的坐标间的关系，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2联立求得M的坐标，将Q的坐标代入椭圆方程，解方程可得斜率，进而得到所求直线方程．解：（Ⅰ）由题意可得半焦距c＝，椭圆的焦点坐标为（﹣，0），（，0），由椭圆的定义可得2a＝+1＝4，即a＝2，则b＝＝，即椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程可得x＝±，则|PQ|＝•＝3，解得k＝±，则直线l的方程为y＝±x；（Ⅲ）由|OP|＝|OQ|，△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，可得S△OBQ＝4S△BMQ，即有|OQ|＝4|MQ|，即＝4，则x Q＝4（x Q﹣x M），y Q＝4（y Q﹣y M），可得x Q＝x M，y Q＝y M，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2，可得M（，），即有Q（，），代入椭圆方程可得+2•＝4，解得n＝，则直线l的方程为y＝x．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．【分析】（Ⅰ）由已知求得数列的前几项，可知数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，分类写出S3n的值；（Ⅱ）由S3＝a1+a2+a3＝17，分a1为偶数和a1为奇数两类列式求解a1的值；（Ⅲ）直接利用数学归纳法（Ⅱ）证明{a n}中总有一项为1或3．【解答】（Ⅰ）解：由a1＝10，a n+1＝（n＝1，2，3，…），得a2＝5，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，…，由上可知，数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，当n＝1时，S3n＝23；当n≥2时，S3n＝23+3（n﹣1）＝3n+20．∴；（Ⅱ）解：S3＝a1+a2+a3＝17，若a1为偶数，则，若a2为偶数，则，此时，（舍）；若a2为奇数，则，此时S3＝2a1+3＝17，a1＝7（舍）；若a1为奇数，则a2＝a1+3为偶数，则，此时，a1＝5；综上，a1的值为5；（Ⅲ）证明：利用数学归纳法（Ⅱ）证明如下：（1）当a1＝1，2，3时，对应的数列分别为：1，4，2，1，4，2，1，…2，1，4，2，1，4，2，…3，6，3，6，3，6，3，…可知当a1＝1，2，3时，命题为真；（2）假设当a1＜k（k≥4）命题成立，下面证明a1＝k时命题成立．若k为偶数，则＜k，由归纳假设，自a2以后，必然出现1或3，命题为真；若k为奇数，则a2＝k+3，＜k（k≥4），由归纳假设，自a3以后，必然出现1或3，命题为真．综（1）（2）可知，：{a n}中总有一项为1或3．。
2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案
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高考模拟试卷参考答案 第 3 页 共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案 第 6 页 共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分
【精品高考数学】[2020年北京高考仿真模拟卷-数学]+答案
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2020年北京高考仿真模拟卷数学 2020.4考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ）A ．3,1x y ==-B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-2．设)i i (2z =+，则z = A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ）A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 5．一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 6．若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │7．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是()A ．158B ．162C ．182D ．3248．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)10、已知f (x )＝(2)111x a x x ax -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0成立，那么a的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎦⎤1，32 C ．(1,2)D ．(1，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．二项式61(2)2x x-展开式的常数项为第_________项． 12．在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．13．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于14．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值为_________。
2020年北京高考数学模拟试题及答案
2020年北京高考数学模拟试题一一、选择题（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （ ） （A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（2）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = （ ） （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞）（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （ ） （A ）12y x = （B ）y =2x -（C ）12log y x =（D ）1y x=（4）y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2](5) 在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16(6) 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减， 则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23(7) 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．25C ．6D ．8(8) 已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )单调递增，f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}(9) “k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（10）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 二、填空题(11) 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．（12）已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．（13）O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为__________．（14）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =__________．(15) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（16）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (Ⅱ)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（17）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？（18）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？商品 顾 客 人 数（19）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (Ⅰ)求椭圆的方程．(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若|A Q ||P Q |＝524sin ∠AO Q (O 为原点)，求k 的值．（20）已知函数f (x )＝e x －ax 2.(Ⅰ)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (Ⅱ)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .（21）设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (Ⅰ)求f 3(2)，f 4(2)的值；(Ⅱ)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A C B 题号 6 7 8 9 10 答案 CCAAB二、填空题11、y ＝±22x 12、－12 13、23 14、23π 15、(－1,1) 三、解答题16、解：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 又PF ∩EF ＝F ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF ―→，HP 的方向分别为y 轴，z 轴正方向，|BF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1， 所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32.又HP ―→为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝|HP ―→·DP ―→||HP ―→||DP ―→|＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.17、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.18、（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.19、解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .①由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 又|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6.② 联立①②解得a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1＞y 2＞0，故|P Q |sin ∠AO Q ＝y 1－y 2. 又因为|A Q |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|A Q |＝2y 2.由|A Q ||P Q |＝524sin ∠AO Q ，可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方， 整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.20、解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x . 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x .f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点． (ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x .当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 故h (2)＝1－4ae2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)＞0，即a ＜e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)＜0，即a ＞e 24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x ＞0时，ex＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4＝1－1a ＞0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点． 综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24.21、解：(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.。
2020届北京市高考数学理科模拟试题(有答案)(Word版)
普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份) (含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤2x}，B={x|1<x≤4}，则A∪B=()A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞)2.已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+2i1+i，若|z|=√2，则a=()A. 0B. 2C. −2D. 13.抛物线y2=4x的准线与x轴的交点的坐标为()A. (−12,0) B. (−1,0) C. (−2,0) D. (−4,0)4.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)−3x]=4，则f(x)+f(−x)的最小值等于()A. 2B. 4C. 8D. 125.已知曲线C：x2k−5+y23−k=−1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要6.一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为()A. A33(A44)3B. A44(A33)4C. A1212A33D. A1212A447.以点(2,−1)为圆心且与直线3x−4y+5=0相切的圆的方程为()A. (x−2)2+(y+1)2=3B. (x+2)2+(y−1)2=3C. (x−2)2+(y+1)2=9D. (x+2)2+(y−1)2=98.若{a n}是等比数列，其公比是q，且−a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A. 1或2B. 1或−2C. −1或2D. −1或−29.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 21小时10.若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={x|x(4−x)<0}，则图中阴影部分表示()A. {1 ,2 ,3 ,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，向量m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则实数λ的值为．12.角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，则sinα为______ ．13.四棱锥S−ABCD的三视图如图所示，它的正视图，侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形及其一条对角线，则该四棱锥的体积为_____ ．14.顶点在原点，且过点(−2,4)的抛物线的标准方程是______ ．15.将函数f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图像向右平移m(m>0)个单位长度，此时函数图像关于y轴对称，则m的最小值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE//BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2=a2+c2+ac．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若b=√3，S为△ABC的面积，求S+√3cosAcosC的最大值，并求出A角．18.某班数学老师对班上50名同学一次考试的数学成绩进行统计，得到如下统计表：分数段[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]人数2a121610c频率0.040.160.240.32b d(1)求表中a ，b ，c 的值，并估计该班的平均分x ；(2)若该老师想在低于70分的所有同学中随机挑选3位同学了解学习情况，记X 为所选3人中分数在[30,50)的同学的人数，求X 的概率分布列和均值EX ．19. 已知函数，且曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x 的不等式f(x)⩾2x +mx 恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(1,0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60∘． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知数列{a n+1+a n}的前n项和S n=2n+1−2，a1=0．(1)求数列{a n+1+a n}的通项公式；(2)求a2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵复数z=a+2i1+i，且|z|=√2，∴|a+2i1+i |=√2，即√a2+4√2=√2，则a=0．故选：A．3.答案：B解析：解：抛物线y2=4x的准线为：x=−1，所以抛物线与x轴的交点的坐标(−1,0)．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：先求出f(x)+f(−x)，再利用基本不等式求最值即可．解：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)=4，即f(x)=3x+K，令x=K，得f(K)=3K+K=4．又f(K)单调递增，所以K=1，从而f(x)=3x+1，即f(x)+f(−x)=3x+13x +2≥2√3x⋅13x+2=4，当且仅当x=0时取等号．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查椭圆的概念和方程，考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据椭圆的概念和方程，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，即x25−k +y2k−3=1，则{k−3>05−k>0k−3>5−k，解得4<k<5，所以“4≤k<5”是“方程x2k−5+y23−k=−1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选B．6.答案：B解析：本题考查分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法分析．根据题意，分2步进行分析：①将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，进行全排列②每个小组的成员之间全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将每个小组的成员安排在一起，看成一个元素，将4个小组进行全排列，有A44种排法，②每个小组的成员之间有A33种排法，有4个小组，故共有(A33)4种排法，则不同的坐法有A44(A33)4种排法；故选：B．7.答案：C解析：本题考查圆的标准方程和直线与圆的位置关系，由直线与圆相切可以求出圆的半径，然后写出圆的方程，属于基础题．解：圆心到直线的距离d=22=3，由直线与圆相切，则r=d=3，所以圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=9．故选C．8.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质．解：∵−a5,a4,a6成等差数列，∴−a5+a6=2a4,∴−a4q+a4q2=2a4,∴q2−q−2=0,∴(q+1)(q−2)=0∴q=−1或q=2．故答案选：C．9.答案：C解析：本题考查指数函数的性质及函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．属于中档题．由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解：y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．当x=0时，e b=192，当x=22时，e22k+b=48，∴e22k=48192=14，e11k=12，e b=192，当x=33时，e33k+b=(e11k)3⋅(e b)=(12)3×192=24.故选C.10.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn图表示集合的关系及运算的应用，属于基础题．化简B={x|x(4−x)<0}={x|x<0或x>4}，而图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，从而得出答案．解：图中阴影部分表示的集合是C A(A∩B)，∵B={x|x(4−x)<0}，即B={x|x<0或x>4}，∴A∩B={5}，∵集合A={1,2,3，4，5}，∴C A(A∩B)={1,2,3，4}．故选A．11.答案：−4解析：本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．由题意可知m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，然后由共线向量基本定理列式求解λ的值．解：若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，m⃗⃗⃗ //n⃗，∵m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，∴2λ=λ8，解得λ=±4，∵当λ=4时，m⃗⃗⃗ 与n⃗同向，故舍去，∴λ=−4，故答案为−4．12.答案：−2√55解析：解：∵角α顶点在原点，起始边与x轴正半轴重合，终边过点(−1,−2)，∴x=−1，y=−2，r=√5，则sinα=yr =√5=−2√55，故答案为：−25√5．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：2√23解析：本题考查几何体的三视图、棱锥的体积公式，属于基础题．根据题意得出该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，利用棱锥的体积公式，即可求出结果．解：由三视图知，该四棱锥的底面是边长为√2的正方形，高为√2，其中左正前方侧棱垂直底面的四棱锥，所以此四棱锥的体积为：V=13×√2×√2×√2=2√23．故答案为2√23．14.答案：x2=y或y2=−8x解析：解：由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=−2p′x(p>0,p′>0)∵抛物线过点(−2,4)∴22=2p×4或42=−2p′×(−2)∴2p=1或2p′=8∴x2=y或y2=−8x故答案为：x2=y或y2=−8x．由题意设抛物线方程，代入点(−2,4)，即可求得抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：解析：本题主要考查了函数图象的应用，属于一般题．将图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值将f(x)=2sin(x+π3)图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩为原来的12，得函数g(x)=f(2x)=2sin(2x+π3)的图像，然后向右平移m(m>0)个单位长度，可得函数ℎ(x)的图像．根据所得函数的图像关于y轴对称，可得 π 3−2m=k π + π 2(k∈Z)，解得m=−k π 2− π 12(k∈Z).又m>0，所以当k=−1时，m取得最小值．16.答案：证明：(1)∵AC⊥BC，DE//BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC，∴DE⊥平面A1DC．∵A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵A 1C ⊥CD ，CD ∩DE =D ，CD ，DE ⊂平面BCDE ． ∴A 1C ⊥平面BCDE ．解：(2)因AD =6，CD =3，A 1C ⊥CD ，则A 1C =3√3，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，C(0,0，0)，A 1(0,0，3√3)，D(0,3，0)，M(0,32,3√32)，B(6,0，0)，E(4,3，0)，则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,0，3√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3，0)， 设平面A 1BE 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3√3z =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +3y =0，取x =1，n ⃗ =(1,23,2√33)，设CM 与平面A 1BE 所成角为θ， sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43×53=45．∴CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值为45．解析：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，属于中档题．(1)推导出DE ⊥AC ，DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥A 1C .再由A 1C ⊥CD ，能证明A 1C ⊥平面BCDE ． (2)以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM 与平面A 1BE 所成角的正弦值．17.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac=−ac 2ac=−12．又∵0<B <π，∴B =23π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，∴S +√3cosAcosC =√3(cosAcosC +sinAsinC)=√3cos(A −C)． 当A =C ，即A =π−B 2=π6时，S +√3cosAcosC 取最大值√3．解析：(I)利用余弦定理即可得出；(II)由(Ⅰ)得sinB =√32，又由正弦定理及b =√3，可得S =12acsinB =12⋅bsinA sinB⋅bsinC =√3sinAsinC ，利用和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由统计表，得：20.04=a 0.16=10b ，解得a =8，b =0，2，∴c =50−2−8−12−16−10=2．x =40×0.04+60×0.16+80×0.24+100×0.32+120×0.2+140×0.04=92． (2)由题意知X 可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 83C 103=715， P(X =1)=C 21C 82C 103=715，P(X =2)=C 22C 81C 103=115，∴X 的分布列为：EX =0×115+1×715+2×115=35．解析：(1)由统计表，能求出表中a ，b ，c 的值，并能估计出该班的平均分x ．(2)由题意知X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和均值EX ． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=a x −1x 2+2，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y =2x 平行所以f′(1)=a −1+2=2，即a =1∴f(x)=lnx +1x +2x ，f′(x)=(x+1)(2x−1)x 2(x >0)由f′(x)<0且x >0，得0<x <12，即f(x)的单调递减区间是(0,12)由f′(x)>0得x >12，即f(x)的单调递增区间是(12,+∞)．(2)由(1)知不等式f(x)≥2x +mx 恒成立可化为lnx +1x +2x ≥2x +mx 恒成立， 即m ≤x ·lnx +1恒成立令g(x)=x ·lnx +1，g′(x)=lnx +1当x ∈(0,1e )时，g′(x)<0，g(x)在(0,1e )上单调递减． 当x ∈(1e ,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1e ,+∞)上单调递增． 所以x =1e 时，函数g(x)有最小值 由m ≤x ·lnx +1恒成立得m ≤1−1e ，即实数m 的取值范围是(−∞,1−1e ]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，结合切线方程求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为m ≤x ·lnx +1恒成立，令g(x)=x ·lnx +1，根据函数的单调性求出m 的范围即可．20.答案：解：(Ⅰ)根据题意，得c =1；又bc =tan60°=√3，所以b 2=3， 且a 2=b 2+c 2=4， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线PQ 的方程为：y =k(x −1)，(k ≠0)， 代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0；设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为R(x 0,y 0)， 则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2，由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2TR ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以直线TR 为线段PQ 的垂直平分线； 直线TR 的方程为：y +3k 3+4k 2=−1k (x −4k 23+4k 2)，令y =0得：T 点的横坐标t =k 23+4k 2=13k 2+4，因为k 2∈(0,+∞)，所以3k 2+4∈(4,+∞)， 所以t ∈(0,14)；所以线段OF 上存在点T(t,0)，使得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t ∈(0,14)．解析：本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目． (Ⅰ)根据题意，知c =1，再求出b 2与a 2即可；(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，得出关于x 的一元二次方程；再设出P 、Q 的坐标，表示出线段PQ 的中点R ，根据QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出TR 是线段PQ 的垂直平分线；利用直线TR 的方程，求出T 点的横坐标t 的取值范围，即可得出结论．21.答案：解：(1)设a n+1+a n =b n ，则n ≥2时，b n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n ， 当n =1时，b 1=S 1=2，满足n ≥2时b n 的形式， ∴a n+1+a n =b n =2n ；(2)由(1)可知a n+1+a n =b n =2n ，a n+2+a n+1=2n+1， 两式相减，得a n+2−a n =2n ， 又∵a 1=0，a 1+a 2=2， ∴a 2=2，∴a 2n =a 2+(a 4−a 2)+(a 6−a 4)+⋯+(a 2n−2−a 2n−4)+(a 2n −a 2n−2) =2+22+24+⋯+22n−4+22n−2 =2+22−22n−2⋅221−22=22n 3+23．解析：本题考查求数列的通项、前n 项和，利用拆项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)当n ≥2时b n =S n −S n−1=2n ，当n =1时b 1=2满足n ≥2时b n 的形式，即得结论；(2)由a n+1+a n =b n =2n 可得a n+2+a n+1=2n+1，两式相减得a n+2−a n =2n ，利用拆项法将a 2n 写成a2+(a4−a2)+(a6−a4)+⋯+(a2n−2−a2n−4)+(a2n−a2n−2)，计算即可．。
北京市2020年高考数学模拟试卷(含解析)
2020北京高考模拟试卷数 学一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则)(B C A R ⋃( )A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( )A ．2(1)y x =--B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．366．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( )A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．8．已知函数⎩⎨⎧≥=1ln 1,0)(x x x x f ，＜，若不等式k x x f -≤)(对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(-∞，1] B ．[1，)+∞ C ．[0，1) D ．(1-，0]9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A ．7班、14班、15班B ．14班、7班、15班C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班二．填空题（共5小题） 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为 ．12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = ．13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ．15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m +->成立的m 取值范围是 ． 三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =．（1）求证：DE ⊥平面PAD ．（2）求二面角A PC D --的余弦值．。
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷(一)(4月份)(有答案解析)
2020年北京市东城区高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.已知复数其中i是虚数单位，则A. B. C. 1 D. 23.抛物线的准线与y轴的交点的坐标为A. B. C. D.4.设函数，则A. 有最大值B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数5.已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A. 12B. 36C. 72D. 7207.已知圆C与直线及的相切，圆心在直线上，则圆C的方程为A. B.C. D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则A. 729B. 332C. 181D. 969.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A. 8B. 7C. 6D. 5二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．12.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则______．13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为______．14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是______．15.某部影片的盈利额即影片的票房收入与固定成本之差记为y，观影人数记为x，其函数图象如图所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图、图中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：图对应的方案是：提高票价，并提高成本；图对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是______填写所有正确说法的编号三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图1，在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，如图．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线和平面所成角的正弦值；17.在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，，，求的面积．18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月天的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天35件以内含35件的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．Ⅰ根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；Ⅱ为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为单位：元，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数a的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．20.已知椭圆C：的右焦点为F．Ⅰ求点F的坐标和椭圆C的离心率；Ⅱ直线l：过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：；；是的因数．Ⅰ当时，写出数列的前五项；Ⅱ若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求m的值；Ⅲ求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得时，为常数．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，．故选：C．先求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数，，故选：A．利用复数模长的性质即可求解．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.答案：B解析：解：抛物线的准线方程为，抛物线的准线与y轴的交点的坐标为，故选：B．利用抛物线的准线方程为，即可求出抛物线的准线与y轴的交点的坐标．本题考查抛物线的方程与性质，比较基础．4.答案：A解析：解：，，当且仅当，即时取等号，有最大值，在上没有单调性．故选：A．根据即可根据基本不等式得出，从而可得出，并且时取等号，从而得出有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．本题考查了基本不等式在求最值时的应用，熟悉的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，即，，满足，即必要性成立，即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出a，b的关系是解决本题的关键．比较基础．6.答案：C解析：解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有种情况，则有种不同的坐法；故选：C．根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：圆心在上，设圆心为，圆C与直线及的相切，圆心到两直线及的距离相等，即：，圆心坐标为，，圆C的标准方程为．故选：A．根据圆心在直线上，设出圆心坐标为，利用圆C与直线及的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．考查了圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．同时考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．8.答案：D解析：解：正项等比数列的公比设为q，，由，可得，即，即，与的等差中项为9，可得，即，相除可得，解得舍去，则．故选：D．正项等比数列的公比设为q，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，解得，故选：C．由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．本题考查了指数函数在实际生活中的应用，关键是将信息提取出来，列出函数的解析式．10.答案：C解析：解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选：C．设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为，，，根据，且，，可得．本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．11.答案：解析：【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．12.答案：1解析：解：角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，，故为第二象限角．可令，此时，，，故答案为：1．由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．【解答】解：几何体的直观图如图：是底面是长为2，宽为1的长方形，高为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：．故答案为．14.答案：或解析：解：由题意可得，抛物线方程为或．若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为，代入，得，则抛物线方程为，此时在抛物线上，符合题意．抛物线的标准方程可以是或．故答案为：或．由题意可设抛物线方程为或，然后分类求解得答案．本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．15.答案：解析：解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图降低了成本，但票价保持不变，即对；图成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：．解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．16.答案：解：Ⅰ证明：在中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，．，将沿DE折起到的位置，使得平面平面BCED，平面BCDE，平面BCDE，．Ⅱ解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，2，，，，2，，，1，，设平面的法向量为y，，则，取，得2，，设直线和平面所成角为，则直线和平面所成角的正弦值为：．解析：Ⅰ推导出，从而平面BCDE，由此能证明．Ⅱ以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线和平面所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：若选择，由余弦定理，分因为，所以；分由正弦定理，得，分因为，，所以，分所以分所以分若选择，则，分因为，所以，分因为，所以；分由正弦定理，得，分因为，，所以，分所以，分所以分若选择，则，所以，分因为，所以，所以，所以；分由正弦定理，得，分因为，，所以，分所以，分解析：取，由余弦定理可得进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取，由正弦定理可得：，，解得B，可得，由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ甲公司员工A投递快递件数的平均数为：，众数为分Ⅱ设a为乙公司员工B投递件数，则当时，元，当时，元，的可能取值为136，147，154，189，203，分，，，，，X136147154189203P分分Ⅲ根据图中数据，由Ⅱ可估算：甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元．分解析：Ⅰ由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．Ⅱ由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．Ⅲ利用Ⅱ的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19.答案：解：由得：，，由已知曲线存在斜率为的切线，存在大于0的实数根，即存在大于0的实数根，在时递增，的范围是；由，，得：时，，在递增；时，若时，，若，则，故在递增，在递减；由及题设得：，由，得：，由得：在递增，，取，显然，，存在满足，即存在满足，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，时，在存在极小值．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题．求出函数的导数，问题转化为存在大于0的实数根，根据在时递增，求出a的范围即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．20.答案：解：Ⅰ椭圆C：，，解得，焦点，离心率．Ⅱ直线l：过点F，，：．由，得依题意．设，，则，．点P关于x轴的对称点为，则直线的方程可以设为，令，．直线过x轴上定点．解析：由椭圆的标准方程即可得出；直线l：过点F，可得l：代入椭圆的标准方程可得：依题意．设，，可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为，则可得直线的方程可以为，令，，把根与系数的关系代入化简即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为及其根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：Ⅰ解：时，数列的前五项分别为：5，1，0，2，2．Ⅱ解：，，，又数列的前3项互不相等，当时，若，则，且对，都为整数，；若，则，且对，都为整数，；当时，若，则，且对，都为整数，，不符合题意；若，则，且对，都为整数，；综上，m的值为2，3，4．Ⅲ证明：对于，令，则．又对每一个n，都为正整数，，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，，故常数．从而常数．故存在正整数M，使得时，为常数．解析：Ⅰ当时，写出数列的前五项；Ⅱ对、分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；Ⅲ令，则进一步推得存在正整数，当时，必有成立．再由成立证明为常数．本题考查数列递推式，考查数列的前n项和，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．。
2020年北京市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年北京市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|−3<x<2}，N={x|(12)x⩽4}，则()A. M∩N=(−2,2)B. M∩N=(−3,−2)C. M∪N=[−2,+∞)D. M∪N=(−3,+∞)2.若复数z=m2+m+(m+1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z等于()A. iB. −iC. 2iD. −2i3.若双曲线y24−x23=1的离心率为()A. 52B. 12C. √72D. √2134.下列函数中既是奇函数，又在区间[−1,1]上单调递增的是()A. f(x)=ln2−x2+xB. f(x)=−|x+1|C. f(x)=12(a x+a−x) D. f(x)=sinx5.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b6.(x−2y)6的展开式中，x4y2的系数为()A. 15B. −15C. 60D. −607.如图，若圆锥母线长为2√2，母线与底面所成角为60°，则体积为()A. √33π B. √63π C. 2√33π D. 2√63π8.设p：a>0；q：a2+a≥0，那么p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆)，一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为()A. 25B. 2+π5+2πC. 12D. 4+π10+2π10.记5个互不相等的正实数的平均值为x，方差为A，去掉其中某个数后，记余下4个数的平均值为y，方差为B，则下列说法中一定正确的是()A. 若x=y，则A<BB. 若x=y，则A>BC. 若x<y，则A<BD. 若x<y，则A>B二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）11.已知向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−12,x−4)，且a⃗//b⃗ ，则实数x=______ ．12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAsinB+bcos2A=√3c.则bc=____________．13.下列函数图象中，正确的有________.(填序号)三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）14.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(1,a)到焦点的距离为2，则该抛物线的准线方程为(1)；a=(2)．15.如图，函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心，A(−π,0)，则点C的坐标为，f(0)=．四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB//DC，PE//DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF//平面ADP；(2)求二面角B−DF−P的余弦值．17.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4−b4=10．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记T n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n，n∈N∗，证明：T n−8=a n−1b n+1(n∈N∗,n≥2)．18.随着科技的进步，视屏会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名依次为A，B，C，D，E，F，在实际中，存在很多软件下载后未使用的情况，为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W(单位：人次)与使用量U(单位：人次)，数据用柱状图表示如下：定义软件的使用率t=U，当t≥0.9时，称该软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的W使用率t作为实际中该款软件的使用率(Ⅰ)在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望(Ⅲ)将(Ⅰ)中的概率值记为x%，对于市场上所有小型会议视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由19.已知函数f(x)=(x−1)(x2+2)e x−2x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：f(x)>−x2−4．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆上，且PF⊥x轴，|PF|=12，椭圆C的离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若P1P2是椭圆上不同的两点，P1P2⊥x轴，圆E过F，P1，P2三点，且椭圆上任意一点都不在圆E内，求圆E的方程．21.已知f(n)=C42C63+C63C84+C84C105+⋯+C2n nC2n+2n+1，g(n)=C44C63+C65C84+C86C105+⋯+C2n n+2C2n+2n+1，其中n∈N ∗，n≥2．(1)求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；(2)记ℎ(n)=f(n)−g(n)，求证：对任意的m∈N∗，m≥2，总有ℎ(2m)>m−12．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的运算，以及指数不等式的解法，属于基础题．根据指数不等式的解法得到N ={x|x ⩾−2}，再由集合的并集的概念得到结果． 解：集合M ={x|−3<x <2}， N ={x|(12)x≤4}={x|x ≥−2}，根据集合的并集的概念得到．故选D ．2.答案：B解析：本题考查复数的概念和运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由复数的定义求出m =0，再利用复数的除法运算即可求解． 解：复数z =m(m +1)+(m +1)i 是纯虚数， 故m(m +1)=0且(m +1)≠0，解得m =0，故z =i ，故1z =1i =1·i i·i=−i ．故选B ．3.答案：C解析：本题考查双曲线的性质，先求出c 的值，从而求出离心率． 解：由题可知a =2，b =√3，则c =√a 2+b 2=√4+3=√7，离心率e=ca =√72，故选C．4.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=ln2−x2+x ，有f(−x)=ln2+x2−x=−ln2−x2+x=−f(x)，为奇函数，但f(−12)=ln3，f(12)=−ln3，不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)=−|x+1|，f(−x)=−|x−1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=12(a x+a−x)，f(−x)=12(a−x+a x)=12(a x+a−x)=f(x)，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，f(x)=sinx，是正弦函数，既是奇函数，又在区间[−1,1]上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性的判断方法．5.答案：B解析：令a=1，b=4则√ab=2，a+b2=52，∵1<2<52<4∴a<√ab<a+b2<b.故选B．假设a和b的值，再根据均值不等式判断选项的正确性。
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(一)(5月份)(有答案解析)
5.答案：D
解析：解：根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何 体，如图所示；
则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形， 所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为 2 ． 故选：D． 根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多 面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值 是面对角线的长． 本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．
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（2）设数列{ }的前 n 项和为 Tn，求证： ≤Tn＜ ．
16. △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足
．
（Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）若△ABC 外接圆半径为 3，
，求△ABC 的面积．
17. 已知如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=4，
（x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）=1，若关于 x 的不等式 f（x）-m＜0 的解 集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是______ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分） 15. 已知等差数列{an}的公差 d≠0，它的前 n 项和为 Sn，若 S5=70，且 a2，a7，a22 成等 比数列． （1）求数列{an}的通项公式；
19. 已知函数 f（x）=alnx-ex-1+1，其中 a∈R．
（1）若 x=1 是函数 f（x）的导函数的零点，求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）≤0 对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围．
北京市西城区2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)
当 a 与 b 共线，方向相反时，
ab
a
b
，故不必要.
故选： A .
【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
f x sinx
9.已知函数
1 2sinx 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后
的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着 x 轴上一点旋转180 ; ②沿 x 轴正方向平移; ③以 x 轴为轴作轴对称; ④以 x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
【详解】(Ⅰ) AA1 平面 ABCD ， AB Ì 平面 ABCD ，故 AA1 AB .
AB AD 2 ， BD 2 2 ，故 AB2 AD2 BD2 ，故 AB AD . AD AA1 A ，故 AB 平面 ADD1A1 .
(Ⅱ)如图所示：分别以 AB, AD, AA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
13.设双曲线
x2 4
y2 b2
1(b 0)
y
的一条渐近线方程为
2 x
2 ，则该双曲线的离心率为
____________.
6 【答案】 2
【解析】
【分析】
根据渐近线得到 b 2 ， c 6 ，计算得到离心率.
【详解】
x2 4
y2 b2
1(b 0)
，一条渐近线方程为：
y
2x 2 ，故 b
A. y x 2
B. y sinx
C. y x x3
【答案】C
【解析】
D. 20
D. y 2x
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. y x 2 ，值域为 R ，非奇非偶函数，排除；
2020年北京市石景山高考数学模拟试卷及答案解析
2020年北京市石景山高考数学模拟试卷及答案解析2020年北京市石景山区高三数学统一测试本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
请务必将答案写在答题卡上，试卷上的答案无效。
考试结束后，上交答题卡。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设集合P={1,2,3,4}，Q={x||x|≤3,x∈R}，则P∩Q等于A.{1}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}2.在复平面内，复数5+6i，3-2i对应的点分别为A，B。
若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是A.y=-x+2B.y=x^2C.y=lnxD.y=2-x4.圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=A.-4/3B.-3/4C.3D.25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A.36B.64C.72D.816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.2.4B.5C.87.函数fx=cosωx+(6/π)的最小正周期为π，则f(x)满足A.在(0,π/3)上单调递增B.图像关于直线x=π/6对称C.f(3π/2-x)=f(x)D.当x=5π/6时有最小值-1/28.设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n。
则“S_1+S_3>2S_2”是“{a_n}为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x_1,x_2∈R，使得x_1+x_2<f(x_1)+f(x_2)，则称函数f(x)具有性质P。
北京市2020年高考数学模拟试卷(附答案解析)
2020北京高考模拟试卷数 学一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则)(B C A R ⋃( ) A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+ C ．||2y lg x =+ D ．2x y =4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．6B ．12C ．24D ．366．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．8．已知函数⎩⎨⎧≥=1ln 1,0)(x x x x f ，＜，若不等式k x x f -≤)(对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(-∞，1]B ．[1，)+∞C ．[0，1)D ．(1-，0]9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班二．填空题（共5小题）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为 ．12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = ． 13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ． 15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m +->成立的m 取值范围是 ．三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =． （1）求证：DE ⊥平面PAD ． （2）求二面角A PC D --的余弦值．17．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与． （1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知函数22()f x a x alnx x=++，实数0a >． （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为()I 求椭圆C 的方程：()II 设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN恒过一个定点．21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +，则称{}n a 为“(,)m p -数列”．（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？ （2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列” {}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得101≤≤≤p m ，且1i j k a a a =的概率为12．2020北京高考模拟试卷数学参考答案一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(12)2z i i i =-=+，2z i =-在复平面内所对应的点(2,1)-位于第四象限．故选：D ．2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则()(R A B =⋃ ) A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：根据题意，集合2{|540}(1,4)A x x x =-+<=，{|24}(,2)x B x =<=-∞， 则[2RB =，)+∞，则()(1R A B =⋃，)+∞； 故选：D ．3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =--B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【解答】解：A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件． 故选：C ．4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞【解答】解：10，∴1，则12y =+．∴函数1y =+的值域为[2，)+∞．故选：C ．5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36【解答】解：根据题意，圆22:4410M x y x y +---=即22(2)(2)9x y -+-=，其圆心为(2,2)，半径3r =，过点(0,1)E 的最长弦AC 为圆M 的直径，则||6AC =，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，且||ME则有||24BD =， 又由AC BD ⊥，则四边形ABCD 的面积122()122ABC S S AC BE ∆=⨯=⨯⨯⨯=；故选：B ．6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =【解答】解：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，1C 的解析式为sin 2()cos24y x x π=+=，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，2C 的解析式为cos2cos 2xy x ==． 故选：B ．7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S ABD -，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S ABD -的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD 是边长为8=故选：C ．8．已知函数0,1(),1x f x lnx x <⎧=⎨⎩，若不等式()||f x x k -对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(-∞，1]B ．[1，)+∞C ．[0，1)D ．(1-，0]【解答】解：作出函数0,1(),1x f x lnx x <⎧=⎨⎩的图象，由不等式()||f x x k -对任意的x R ∈恒成立，可得()y f x =的图象不在||y x k =-的图象的上方， 且||y x k =-的图象关于直线x k =对称，当0k 时，满足题意；当||y x k =-的图象与()y f x =的图象相切，即有y x k =-为切线，设切点为(,)m n ， 可得切线的斜率为11m=，则1m =，0n lnm ==，1k =， 则01k <时，也满足题意． 综上可得，k 的范围是(-∞，1]． 故选：A ．9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠， 由3152a a a >+，得241112a q a a q >+，若10a >，则42210q q -+<，即22(1)0q -<，此式不成立； 若10a <，则42210q q -+>，即22(1)0q ->，则1q ≠±，此时21121[1]01n n a q S q---=<-，充分性成立；反之，1n a =-，满足210n S -<，此时3152a a a =+，必要性不成立．∴ “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件．故选：B ．10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误； 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．二．填空题（共5小题）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为． 【解答】解：由题意可得左右焦点分别为：1(,0)F c -，2(,0)F c ， 因为P 在y 轴的右侧，所以相等的两边为112PF F F =或212PF F F =由题意可得：222(2)4a c b c ++=整理可得：222430c ac a --=，即22430e e -==，1e >，解得e =，或222(2)4a c b c -+=可得：22430e e +-=，1e >，解得1e =<，不符合双曲线的条件；综上所述，离心率e =． 12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = 3- ． 【解答】解：因为向量(1,1)a =，(3,)b m =-， 所以向量2(5,2)a b m -=-； 2a b -与向量b 共线；5(2)(3)03m m m ∴--⨯-=⇒=-；故答案为：3-．13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ± 【解答】解：抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p+=，解得4p =． 点(4,)A m 在抛物线22y px =上，2244m ∴=⨯⨯，∴m =±故答案为：±．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ．【解答】解：如图所示，四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒， 则22212212cos1207AC =+-⨯⨯⨯︒=，所以AC =又2227916AC CD AD +=+==， 所以90ACD ∠=︒； 由sin sin AB ACACB B=∠∠，sin14ACB ∠===，cos cos(90)sin BCD ACB ACB ∠=∠+︒=-∠=15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m ++->成立的m 取值范围是 [0，9) ．【解答】解：由于定义在R 上的函数()()()f x g x g x =--， 所以()()()()f x g x g x f x -=--=-，所以函数()f x 为奇函数； 对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则21[)]1)2f f =；不等式21[)](2)02f f m +->⇔不等式1)(2)f f m >-，()f x 在R 单调递增，12m ∴>-；30m ∴-<；解得09m <；故答案为：[0，9)． 三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =． （1）求证：DE ⊥平面PAD ． （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解答】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =，∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点由平面几何知识可得DE AD ⊥．点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，连接PG ，PG ∴⊥平面ABCD ．DE ⊂平面ABCD ，PG DE ∴⊥．又ADPG G =，AD ⊂平面PAD ，PG ⊂平面PAD ．DE ∴⊥平面PAD ；（2）解：取BC 的中点F ，连接GF ，以G 为原点，GA 所在直线为x 轴，GF 所在直线为y 轴，GP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由（1）易知，DE CB ⊥，1CE =． 又60ABC DCB ∠=∠=︒，∴DE GF ==2AD =，PAD ∆为等边三角形，∴PG =．则(0G ，0，0)，(1A ，0，0)，(1D -，0，0)，P，(C -．∴(AC =-，(AP =-，(DC =-，DP =设平面APC 的法向量为1(m x =，1y ，1)z ，则00m AC m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111300x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则13y =，11z =，∴(3,3,1)m =． 设平面DPC 的法向量为2(n x =，2y ，2)z ，则00n DC n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩．令2x =21y =，21z =-，∴(3,1,1)AP =-． 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ，则|||33cos ||||13m nm n θ+===⨯，∴二面角A PC D --的余弦值为17．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 ② 使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）①③不能使数列{}n a 是等比数列，②可以．由题意()42(1)22n f a n n =+-=+，即log 22k n a n =+，可得22n n a k +=，且410a k =≠，242122n n n n a k k a k+++==，由常数0k >且1k ≠，可得2k 为非零常数， 则{}n a 是4k 为首项、2k 为公比的等比数列；（2）由（1）可得42122()n n n a k k k -+==，当k 时，12n n a +=，12241n n n a b n +=-，可得211111()41(21)(21)22121n b n n n n n ===---+-+， 前n 项和11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【解答】解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”， 故甲参加围棋比赛的概率为12． （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：(1，2，1，2)，(1，2，1，3)，(1，2，1，4)，(1，2，2，3)，(1，2，2，4)，(1，2，3，4)，(1，3，1，2)，(1，3，1，3)，(1，3，1，4)，(1，3，2，3)，(1，3，2，4)，(1，3，3，4)，其中满足条件的有(1，2，3，4)，(1，3，2，4)两种，故所求概率21126p ==． 19．已知函数22()f x a x alnx x =++，实数0a >． （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）22222222(2)(1)()a a x ax ax ax f x a x x x x +-+-'=-++==．，(0)x >， 令()0f x '=，可得1x a =，2x a =-（舍)． ①当110a >时，110a<． 函数()f x 在区间1(0,)a 上单调递减，在区间1(a ，10)上的单调递增； ②当1010a <时，函数()f x 在区间(0,10)上单调递减． （2）存在(0,)x ∈+∞，使得不等式2()2f x a x <+成立⇔存在(0,)x ∈+∞，使得不等式220alnx x +-<成立， 令2()2g x alnx x=+-，(0)x >， 2222()a ax g x x x x -'=-+=， 0a >，2()0g x x a ∴'>⇒>，2()00g x x a ︒<⇒<<， ()g x ∴在2(0,)a递减，在2(a ，)+∞递增， 2()()(2)2min g x g a a ln lna a∴==+--， 依题意只需220a aln alna +--<即可．令()22h x x xln xlnx =+--，()12120h x ln lnx ln lnx '=+--=-=，可得2x =． ()h x ∴在(0,2)递增，在(2,)+∞递减，且h （2）0=．∴实数a 的取值范围(0，2)(2⋃，)+∞．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为 ()I 求椭圆C 的方程：()II 设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点．【解答】解：()I由题意可知，22212222a b c e a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b c ==， 所以椭圆的标准方程2212x y +=； ()II 证明：方法一：设点0(2,)P y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．其中22112x y +=，22222x y +=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥， 1011112y y y x x -=--，2022212y y y x x -=--，即221111020x y x y y +--=，222222020x y x y y +--=， 注意到22112x y +=，22222x y +=，于是，110220x y y --=，220220x y y --=， 所以，M ，N 满足0220x yy --=，由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．方法二：设点0(2,)P y ，过点P 且与圆222x y +=相切的直线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，由圆的知识可知，M ，N 是圆以OP 为直径的圆22200(1)()1()22y y x y -+-=+和圆222x y +=的两个交点， 由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩，消去二次项得直线MN 方程为0220x yy --=， 由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．方法三：由圆的极点极线可知，已知0(M x ，0)y 为圆222:()()C x a y b R -+-=外一点，由点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=， 特殊地，知0(M x ，0)y 为圆222:C x y R +=外一点，由点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 的方程为200xx yy R +=．设点0(2,)P y ，由极点与极线可知，直线MN 的方程022x yy +=，即0220x yy +-=，由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．所以直线MN 恒过一个定点(1,0)．21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +，则称{}n a 为“(,)m p -数列”．（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？（2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列” {}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得1100m p ，且1i j k a a a =的概率为12． 【解答】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1-，1-，1”，“1，1，1”，其中“1-，1-，1”共有：213412C C =种，“1，1，1”共有：344C =种，利用分类计数原理得：i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项， 则使得1i j k a a a =的取法有：12416+=种．（2）与（1）基本同理，“1-，1-，1”共有21m p C C 种，“1，1，1”共有3p C 种，而在“(,)m p -数列”中任取三项共有3m p C +种， 根据古典概型有：213312m p pm p C C C C ++=， 再根据组合数的计算公式能得到： 22()(3232)0p m p p mp m m ---+--=，①p m =时，应满足11003m p m p p m ⎧⎪+⎨⎪=⎩，(m ∴，)(p k =，)k ，{2k ∈，3，4，⋯，100}，共99个， ②2232320p p mp m m --+--=时，应满足221100332320m p m p p p mp m m ⎧⎪+⎨⎪--+--=⎩， 视m为常数，可解得p 1m ，∴15，根据p m可知，p = 1m ，∴15，根据p m可知，p =（否则1)p m -，下设k =p 为正整数知k 必为正整数， 1100m ，549k ∴，化简上式关系式可以知道：21(1)(1)2424k k k m -++==， 1k ∴-，1k +均为偶数，∴设21k t =+，*()t N ∈，则224t ，21(1)246k t t m -+∴==，由于t ，1t +中必存在偶数， ∴只需t ，1t +中存在数为3的倍数即可， 2t ∴=，3，5，6，8，9，11，⋯，23，24， 5k ∴=，11，13，⋯，47，49．检验：(1)(1)48501002424k k p -++===，符合题意，共有16个，综上所述：共有115个数对(,)m p符合题意．。
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2020年北京高考数学模拟试卷1一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（5分）复数z＝i2020+（1+i1−i）2021，（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x|x≤1，x∈N}，B＝{1，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{2，4}C．{﹣1，2，4}D．{﹣1，0，2，4} 3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．y=√2−x B．y=1 x−2C．y=(12)x−2D．y=log12(2−x)4．（5分）函数f(x)=2x−1，x∈[2，6]的值域为（）A．R B．[13，2]C．[25，2]D．[1，+∞）5．（5分）直线m：x+y﹣1＝0被圆M：x2+y2﹣2x﹣4y＝0截得的弦长为（）A．4B．2√3C．2√5D．4√66．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x−π6）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2sin（4x−π6）+2B．g（x）＝2sin（4x−π6）﹣2C．g（x）＝2sin（x−π6）+2D．g（x）＝2sin（x−π6）﹣27．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．92C．32D．38．（5分）已知函数f(x)={cos(π2+x)，x ≤0e x−1，x ＞0，若f （x ）≥ax ﹣1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，+∞）B ．[0，e ]C ．[0，1]D ．[e ，+∞）9．（5分）设a ，G ，b ∈R ，则“G 2＝ab ”是“G 为a ，b 的等比中项”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）2017年12月15日，成都七中举行了第39届教育研讨会．在听课环节中，设第一节课进入学报二厅听课的人数为a ，第二节课进入学报二厅听课的人数比第一节增加了10%，而第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了10%，设第三节课进入学报二厅听课的人数为b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＜bC ．a ＞bD ．a ，b 无法比较大小二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 11．（5分）双曲线x 24−y 212=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．12．（5分）已知向量a →=（1，﹣k ），b →=（2，﹣4），若（3a →+b →）∥a →，则实数k ＝ ． 13．（5分）抛物线y 2＝4x 上到其焦点F 距离为5的点有 个．14．（5分）已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ，BD ＝6，则此平行四边形面积的最大值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）在R 上是减函数，且f （2）＝﹣1，则满足f （2x ﹣4）＞﹣1的实数x 的取值范围是 ． 三．解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 为等边三角形，AB ⊥AC ，D 是BC 的中点． （Ⅰ）证明：AC ⊥PD ；（Ⅱ）若AB ＝AC ＝2，求二面角D ﹣P A ﹣B 平面角的余弦值．17．（14分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }为正项等比数列，已知a 3＝5，S 3＝9，b 1＝a 1，b 5＝S 4．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； （2）记T n 为数列{a n •b n }的前n 项和，求T n ．18．（12分）随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越来越高，银行为了提高柜员，员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作出评价，评价分为满意、基本满意、不满意三种，某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机抽出40人（男女各半）进行分析比较对40人一月中的顾客评价“不满意“的次数进行了统计，按男、女分为两组，再将每组柜员员工的月“不满意”次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如下频数分布表．分组 [0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]女柜员 2 3 8 5 2 男柜员13943（1）在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图；并求出男、女柜员的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员的满意度谁高？ （2）在抽取的40名柜员员工中，从“不满意”次数不少于20的柜员员工中随机抽取3人，求抽取的3人中，男柜员不少于女柜员的概率． 19．（12分）已知函数f(x)=lnxx ． （1）求函数f （x ）的单调区间与极值；（2）若不等式f （x ）≤kx 对任意x ＞0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点(√3，12)．直线l ：y ＝x +m 与y 轴交于点P ，与椭圆交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若MP →=3PN →，求实数m 的值．21．（13分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）． （1）求P 0，P 1，P 2，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用P n ﹣2和P n ﹣1表示P n ； （2）求证：{P n ﹣P n ﹣1}（n ＝1，2…，100）是等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率．2020年北京高考数学模拟试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5分）复数z ＝i 2020+（1+i 1−i）2021，（i 是虚数单位）的共轭复数表示的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵i 4＝1，1+i 1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i ．∴z ＝1505+i 2021＝1+i ．z 的共轭复数1﹣i 表示的点在第四象限， 故选：D ．2．（5分）已知全集U ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈N }，B ＝{1，3}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{﹣1，2，4}D ．{﹣1，0，2，4}【解答】解：根据题意，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈N }＝{0，1}，B ＝{1，3}，则A ∪B ＝{0，1，3}，又由全集U ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则∁U （A ∪B ）＝{﹣1，2，4}； 故选：C ．3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（ ） A ．y =√2−x B ．y =1x−2C ．y =(12)x−2D ．y =log 12(2−x)【解答】解：对于A ，函数在（0，2）递减，不合题意； 对于B ，函数在（0，2）递减，不合题意； 对于C ，函数在（0，2）递减，不合题意； 对于D ，函数在（0，2）递增，符合题意； 故选：D ．4．（5分）函数f(x)=2x−1，x ∈[2，6]的值域为（ ） A ．RB ．[13，2]C ．[25，2]D ．[1，+∞）【解答】解：∵x ∈[2，6]，∴x﹣1∈[1，5]，∴2x−1∈[25，2]，∴f（x）的值域为[25，2]．故选：C．5．（5分）直线m：x+y﹣1＝0被圆M：x2+y2﹣2x﹣4y＝0截得的弦长为（）A．4B．2√3C．2√5D．4√6【解答】解：根据题意，圆M，x2+y2﹣2x﹣4y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，其圆心为（1，2），半径r=√5，圆心M到直线m的距离d=|1+2−1|√1+1=√2，则直线m被圆M截得的弦长为2×√r2−d2=2√3；故选：B．6．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x−π6）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2sin（4x−π6）+2B．g（x）＝2sin（4x−π6）﹣2C．g（x）＝2sin（x−π6）+2D．g（x）＝2sin（x−π6）﹣2【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x−π6）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（x−π6），再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即g（x）＝2sin（x−π6）+2，故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．92C．32D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V=13×1+22×2×x=3⇒x＝3．故选：D．8．（5分）已知函数f(x)={cos(π2+x)，x≤0e x−1，x＞0，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，e]C．[0，1]D．[e，+∞）【解答】解：作出函数y＝f（x）和函数y＝ax﹣1的图象，如图所示，若f（x）≥ax﹣1恒成立，则由图象可知，必有0≤a≤k，其中k为y＝e x﹣1过点（0，﹣1）的切线斜率．设函数y＝f（x）与y＝ax﹣1的切点为(x0，e x0−1)，∵y'＝e x，∴k=e x0=(e x0−1)−(−1)x0−0，∴x0＝1，k＝2，∴0≤a≤e，∴a的取值范围为[0，e]．故选：B ．9．（5分）设a ，G ，b ∈R ，则“G 2＝ab ”是“G 为a ，b 的等比中项”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ．当a ＝b ＝G ＝0时，满足G 2＝ab ，但a ，G ，b 不能构成等比数列， 所以“G 2＝ab ”是“G 是a ，b 的等比中项”的必要不充分条件． 故选：B ．10．（5分）2017年12月15日，成都七中举行了第39届教育研讨会．在听课环节中，设第一节课进入学报二厅听课的人数为a ，第二节课进入学报二厅听课的人数比第一节增加了10%，而第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了10%，设第三节课进入学报二厅听课的人数为b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＜bC ．a ＞bD ．a ，b 无法比较大小【解答】解：因为第一节进入学报二厅听课的人数为a ，第二节比第一节增加了10%， 则第二节进入学报二厅听课的人数为a +0.1a ＝1.1a ， 而第三节又比第二节减少了10%，所以第三节进入学报二厅听课的人数为1.1a ﹣1.1a ×0.1＝0.99a ． 所以b ＝0.99a ． 则a ＞b ． 故选：C ．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 11．（5分）双曲线x 24−y 212=1的焦距是 8 ，渐近线方程是 y =±√3x ．【解答】解：双曲线x 24−y 212=1的a ＝2，b ＝2√3，c =√4+12=4，可得2c ＝8，渐近线方程为y ＝±√3x ． 故答案为：8，y ＝±√3x ．12．（5分）已知向量a →=（1，﹣k ），b →=（2，﹣4），若（3a →+b →）∥a →，则实数k ＝ 2 ． 【解答】解：由题意，得3a →+b →=3(1，−k)+(2，−4)=(5，−3k −4)， 因为(3a →+b →)∥a →．所以1×（﹣3k ﹣4）﹣5（﹣k ）＝0， 解得k ＝2． 故答案为2．13．（5分）抛物线y 2＝4x 上到其焦点F 距离为5的点有 2 个． 【解答】解：设符合条件的点P （x 0，y 0），则|PF |＝x 0+1＝5，∴x 0＝4，y 0＝±4，所以符合条件的点有2个． 故答案为：214．（5分）已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ，BD ＝6，则此平行四边形面积的最大值为 12 ．【解答】解：平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ，BD ＝6，过点A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于点F ，如图所示；设BE ＝x ，DF ＝y ，则BF ＝3x ；Rt △BDF 中，DF 2+BF 2＝BD 2，y 2+（3x ）2＝62； 9x 2+y 2＝36，即36＝9x 2+y 2≥2×3xy ＝6xy ，当且仅当3x ＝y 时取等号； 所以xy ≤6，所以平行四边形ABCD 的面积为： S ＝2xy ≤12，即平面四边形ABCD 面积的最大值为12． 故答案为：12．15．（5分）已知函数f （x ）在R 上是减函数，且f （2）＝﹣1，则满足f （2x ﹣4）＞﹣1的实数x 的取值范围是 （﹣∞，3） ． 【解答】解：∵f （2）＝﹣1，∴由f （2x ﹣4）＞﹣1得，f （2x ﹣4）＞f （2），且f （x ）在R 上是减函数， ∴2x ﹣4＜2，解得x ＜3，∴满足f （2x ﹣4）＞﹣1的实数x 的取值范围是（﹣∞，3）． 故答案为：（﹣∞，3）．三．解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 为等边三角形，AB ⊥AC ，D 是BC 的中点． （Ⅰ）证明：AC ⊥PD ；（Ⅱ）若AB ＝AC ＝2，求二面角D ﹣P A ﹣B 平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC 中点E ，联结DE 、PE ， ∵△P AC 为等边三角形，∴PE ⊥AC ．∵AB ⊥AC ，D 是BC 的中点，E 为AC 中点，∴ED ⊥AC ． ∴AC ⊥PED 面，∵PD ⊂平面P AD ， ∴AC ⊥PD ．（Ⅱ）平面P AC ⊥平面ABC ，∴PE ⊥平面ABC ，PE ⊥DE ，∵PE ，AC ，ED 三线两两垂直，以E 为坐标原点，EC ，ED ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系C （1，0，0），A （﹣1，0，0），B （﹣1，2，0），D （0，1，0），P （0，0，√3）．设平面P AD 的法向量为n →=(x ，y ，z)， PD →=(0，1，−√3)， PA →=(−1，0，−√3)，∵PD →⊥n →，PA →⊥n →， ∴{y −√3z =0−x −√3z =0令z =√3，y ＝3，x ＝﹣3，平面P AD 的法向量为n →=(−3，3，√3)． 设平面P AB 的法向量为m →=(x′，y′，z′)， AB →=(0，2，0)，AP →=(1，0，√3)， ∵AB →⊥m →，AP →⊥m →， ∴{2y ′=0x′+√3z′=0令z ′=√3，y '＝0，x '＝﹣3，平面P AB 的法向量为m →=(−3，0，√3)． 设二面角D ﹣P A ﹣B 的平面角为θ，cosθ=n →⋅m →|n →||m →|=9+39+9+39+3=2√77， ∴二面角D ﹣P A ﹣B 平面角的余弦值2√77．17．（14分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }为正项等比数列，已知a 3＝5，S 3＝9，b 1＝a 1，b 5＝S 4．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； （2）记T n 为数列{a n •b n }的前n 项和，求T n ．【解答】解：（1）设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ， 由a 3＝a 1+2d ＝5和S 3＝3a 1+3d ＝9得a 1＝1，d ＝2， a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1．b 1＝a 1＝1，由b 5＝S 4得b 1⋅q 4=4a 1+6d =16， 所以q =2，b n =1⋅q n−1=2n−1． 所以数列{b n }的通项公式为b n =2n−1．（2）a n⋅b n=(2n−1)⋅2n−1．T n=1×1+3×2+5×4+⋯⋯+(2n−1)⋅2n−1．2T n=1×2+3×4+5×8+⋯⋯+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n．相减可得_T n=1×1+2×2+2×4+⋯⋯+2⋅2n−1−(2n−1)⋅2n=1+2n+1−4−(2n−1)⋅2n．即有T n=(2n−3)⋅2n+3．18．（12分）随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越来越高，银行为了提高柜员，员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作出评价，评价分为满意、基本满意、不满意三种，某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机抽出40人（男女各半）进行分析比较对40人一月中的顾客评价“不满意“的次数进行了统计，按男、女分为两组，再将每组柜员员工的月“不满意”次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如下频数分布表．分组[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]女柜员23852男柜员13943（1）在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图；并求出男、女柜员的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员的满意度谁高？（2）在抽取的40名柜员员工中，从“不满意”次数不少于20的柜员员工中随机抽取3人，求抽取的3人中，男柜员不少于女柜员的概率．【解答】解：（1）对于女柜员列出频率分布表如下，分组[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]女柜员23852频率0.10.150.40.25.0.1对于男柜员列出频率分布表如下；分组[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25]男柜员13943男柜员0.050.150.450.20.15分别画出女柜员和男柜员的频率分布直方图，如图所示；设女柜员、男柜员员工的月平均“不满意”次数分别为x 、y ，则x =120×（2×2.5+3×7.5+8×12.5+5×17.5+2×22.5）=120×260＝13， y =120×（1×2.5+3×7.5+9×12.5+4×17.5+3×22.5）=120×275＝13.75， 又x ＜y ，∴女柜员员工的满意度要高． （2）在抽取的40名柜员员工中，“不满意”次数不少于20的柜员员工共有5人，其中女员工2人，男员工3人， 从“不满意”次数不少于20的柜员员工中随机抽取3人， 基本事件总数n ＝C52=10，抽取的3人中，男柜员不少于女柜员包含的基本事件个数：m =C 33+C 32C 21=7，∴抽取的3人中，男柜员不少于女柜员的概率p =m n =710． 19．（12分）已知函数f(x)=lnxx ． （1）求函数f （x ）的单调区间与极值；（2）若不等式f （x ）≤kx 对任意x ＞0恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）定义域为（0，+∞）.f ′(x)=1−lnx2， 令f ′(x)=1−lnxx 2=0，得x ＝e ． f （x ）的单调递增区间为（0，e ），单调递减区间为（e ，+∞）． f （x ）的极大值为f(e)=lne e =1e ，无极小值． （2）∵x ＞0，lnx x≤kx ，∴k ≥lnxx 2， 令ℎ(x)=lnx 2，又ℎ′(x)=1−2lnx 3，令h '（x ）＝0，解得x =√e ，h （x ）的单调递增区间为(0，√e)，单调递减区间为(√e ，+∞)． 当x =√e 时函数h （x ）有最大值，且最大值为12e，所以k ≥12e． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点(√3，12)．直线l ：y ＝x +m 与y 轴交于点P ，与椭圆交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）若MP →=3PN →，求实数m 的值．【解答】解：（1）因为离心率√32=√1−(b a)2，且E 过点(√3，12)，即3a +14b =1，解得a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆E 的方程为：x 24+y 2=1；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （0，m ），联立方程组{x 24+y 2=1y =x +m，整理得：5x 2+8mx +4m 2﹣4＝0，所以x 1+x 2=−8m 5，x 1⋅x 2=4m 2−45，又因为MP →=3PN →，所以（﹣x 1，m ﹣y 1）＝3（x 2，y 2﹣m ），即x 1＝﹣3x 2，与x 1+x 2=−85m 联立，解得：x 2=45m ，x 1=−125m ， 代入x 1⋅x 2=4m 2−45，解得：m 2=517，m =±√8517，验证：当m =±√8517时，△＞0成立，符合题意， 故所求m =±√8517．21．（13分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解答】解：（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，⋮p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。