第一课时根式及分数指数幂教案

第一课时根式及分数指数幂

教学目的：

1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中

2. 理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 教学重点：1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解. 授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入

1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a

n n ∈⋅⋅=

个； )0(10≠=a a ； *),0(1

N n a a a n

n ∈≠=

- 2．运算性质：

)

()(),()()

,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+

3．注意

① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -

② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b

a )(=n

n b a -⋅=n n b a

二、讲解新课

1、根式

知识回顾：中学的平方根和立方根是如何定义的呢？ 一般地，如果2

x a =，那么x 叫做a 的平方根， a 的正平方根叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根， 负数没有平方根，0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 一般地，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。 类比上述两定义，一般地，如果

一个数的四次方等于a ，则这个数叫做a 的四次方根； 一个数的五次方等于a ，则这个数叫做a 的五次方根；…… 定义形成：

一般地，如果n

x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,且n ∈ N+. 定义1：如果n x a = (n>1, *

n N ∈)，那么x 叫做a 的n 次方根。 定义2：式子n

x a =叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 【小试牛刀1】 一、填空：

（1）27的立方根等于

（2）-32的五次方根等于 （3）6

a 的三次方根等于

（4）25的平方根等于 （5）16的四次方根等于 （6）0的七次方根等于

总结：根式性质：

① 当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。

记作：n a x =

② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： n

a x ±= ；

负数没有偶次方根。

③ 0的任何次方根为0。记作：00=n ④ a a n n =)(

【师生探究1】a a n n

=一定成立吗？ 总结：当n 为奇数时，a a n

n

=。

当n 为偶数时，{

)

0(a )0(><-=

=a a a n

a a

n

二、化简下列等式

（1）33

8-）（ （2）210-）（ （3）44-3）

（π （4）)(a 2b a b >-）（ 【变式】去掉‘a>b ’结果如何？

2、分数指数幂

【师生探究2】：观察下列式子，并总结出一定的规律（a>0）

()

()

5

1025

525

104123

4

4

3

4

12

3

1243

3

43

122

1052

5

10)()

(3

3332222a

a a a a

a

a a

===

===

======

问题：1、从以上四个例子你能发现什么结论？

2、4532,,c b a 如何表示？

结论1：方根的结果与分数指数幂是相通的，分数指数幂只是方根的另一种写法。

规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

【小试牛刀2】

一

将下列各根式和分数指数幂进行互化：

23(3)(0)a a > 34

(4)()()x y x y ->

【点拨】利用m n

a =

问题3、)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a n

m

分析：1,,,0(1

*00>∈>=

=

=--n N n m a a a

a a a

n

m

n

m n

m n

m

结论2：1m n

m n

a

-

=

a

二、学案例题2（学生板书）

解下列方程 （1）8

1

x 3

1-= （2）1512x 43

=-

规定：（1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

（2）有关化简的习题中，规定若无特殊说明，底数中的字母均为正数。 3、有理指数幂的运算性质：

)

()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+

【课堂练习】

1、学案例题1 +预习引导2 —求值：

（1

）3

2

132

181004--

⎛⎫

⨯ ⎪⎝⎭

. （2）433333391624337+--.

（3）63125.132⨯⨯ （4

）

0,0)x y >> 2、学案例题3已知32

12

1=+-

a

a ，求下列各式的值：

（1）1

-+a a ；（2）2

2

-+a a ；（3）

2

12

12323

-

-

-+a

a

a a

3、学案例题4 已知x

x x x x g x f --+=-=2

2)(,22)(.

（1）求2

2

)]([)]([x g x f -的值；（2）设48f(x)f(y),g(x)g(y)==,求

)

()

(y x g y x g -+的值。

4 学案预习引导

5 1

2

()(2)(37)f x x x =---的定义域为__________________.

4、课堂小结

（师）通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.

5、课后作业

1、（必做题）学案上的课后检测

2、（选做题）化简：

（1

+（2）

(

)

2

1-a +

()21a -+(

)33

1a - 备选题:

1、105,1002,a 2a b b ==+=若则

2、要使

2

3

341x (1)2

x -+-（5-）有意义，则x 的取值范围是： 3、若a>1，

b<0，且a b

b

a -+=a

b b a --=