分式及分式方程复习

分式及分式方程
一、分式的概念
A
1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
B 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；
（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：
A=0的条当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使
B
件是：A=0，B≠0。

例1：（2014•温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1
练习1.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）
＝0，则x＝；
练习2、①若分式
23
x-
②若分式21
1
x x -+＝0，则x ＝
； ③若分式3223
x x +-＝1，则x ＝
.
二.分式的基本性质
1、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。

M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。

其中，M 是不等于0的整式。

2、分式的约分
把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

3、分式的通分
把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。

几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母
4、最简分式
分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。

利用分式的基本性质可以对分式进行化简 例题2：如果把分式
中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A ．扩大4倍 B ．扩大2倍
C ．不变
D ．缩小2倍
BD
BC
AD BD BC BD AD D C B A ±=±=±
练习1．下列等式成立的是（）
A．B．
C．＝﹣D．＝
例3：约分：
（1）；（2）．
例4：（1）通分：；（2）通分：，．
例5．在下列分式中，是最简分式的是（）
A．B．C．D．
练习1．分式：①，②，③，④中，最简分式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个
三、分式的运算
1、分式的乘法法则
分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

2、分式的除法法则
分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。

3、分式的加减
（1）同分母的分式加减法法则
同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。

（2）异分母的分式加减法法则
异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再加（减）。

5、分式的混合运算
分式的混合运算，与数的混合运算类似。

先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。

例题6：先化简，再求值：
（1）（1+
）÷
，其中x ＝﹣2；
D
B C A D C B A ••=
•C
B D A
C
D B A D C B A ••=
•=÷B C
A B C B A ±=±
（2）（﹣）÷，选一个你喜欢的a值代入求值．例7．已知m＝，求的值．
例8．已知，求常数A、B的值．
例9．若a+b＝1，且a≠0，求（a+）÷的值
三、分式方程
1、分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解
使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。

3、解分式方程的步骤
1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，
2.解整式方程
3.将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。

4、分式方程的应用。

例10：解方程
（1）（2）．
例11．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0
例12．若关于x的方程产生增根，则m＝．
例13．为了支援四川汶川大地震灾区人民重建家园，我市某校号召师生自愿捐款，已知第一次共捐款90000元，第二次共捐款120000元，第二次人均捐款额是第一次人均捐款额的1.2倍，捐款人数比第一次多100人．问第一次和第二次人均捐款各多少元？
例14．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
当堂检测
一、选择题
1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＝﹣2D．x≠﹣2
2．在，，，中，是分式的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．分式有意义的条件是（）
A．x≠0B．x≠1C．x≥0D．x＞1
4．如果把中的x、y都扩大5倍，那么分式的值（）
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
5．若方程的根为正数，则k的取值范围是（）
A．k＜2B．﹣3＜k＜2C．k≠﹣3D．k＜2且k≠﹣3
6．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
A．B．C．D．
二、填空题
7．若分式的值为0，则x的值为．
8．已知+＝3，求＝．
9．若解分式方程产生增根，则m＝．
10．若方程有增根，则m＝．
三．解答题
11．计算：
（1）÷（﹣）（2）
（3）1（4）（）
12．先化简再求值：（+）÷，其中a＝2．
13．解分式方程：（友情提示：别忘记检验哦！）
（1）+＝1 （2）﹣＝0．
14.一台电子收报机，它的译电效率相当人工译电效率的75倍，译电3 000个字比人工少用2小时28分．求这台收报机与人工每分钟译电的字数．
15．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
16．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少
米？
作业
一、选择题
1．下列各式：中，是分式的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若分式的值为0，则x的值为（）
A．4B．﹣4C．±4D．3
3．下列方程不是分式方程的是（）
A．B．
C．D．
4．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0
二、填空题
5．当x＝时，分式的值为零．
6．如果分式的值为5，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值是．7．，，的最简公分母为．
8．若关于x的分式方程+3＝有增根，则m的值为．
三、解答题
9.已知，试求的值．
10．计算：
（3）﹣x+1 （4）（ab+b2）÷
（5）（1+）÷（）（6）
11．计算或化简：
①计算（﹣）÷．
②已知a≠0，且满足a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
12．解方程：
（1）＝；（2）＝；
（2）+＝1；（4）+1＝．
13．某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
（1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？
14．一项工程，甲，乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
分式与分式方程复习
答案
例题
例2：．【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：
＝＝2•，
即分式的值扩大2倍．
故选：B．
练习1．【解答】接：A、两边不相等，故本选项不符合题意；
B、＝，两边不相等，故本选项不符合题意；
C、＝＝﹣，两边不相等，故本选项不符合题意；
D、＝＝，故本选项符合题意；
故选：D．
例3．【解答】解：（1）＝；
（2）＝＝．
例4．【解答】解：（1）＝，＝；
（2）＝，＝．
例5、【解答】：B．
练习1．【解答】解：①，分子、分母中含有公因式a+2，能约分为，不是最简分式；
②，分子、分母中含有公因式x，能约分为，不是最简分式；
③，分子、分母中含有公因式7，能约分为，不是最简分式；
④，分子、分母中不含有公因式，不能再约分，是最简分式．
故选：D．
例6．
（1）当x＝﹣2时，
原式＝×＝x+1＝﹣1
（2）当a＝2时，
原式＝[﹣]×
＝（﹣）×
＝
例7．【解答】解：原式＝++，
＝，
＝，
＝，
＝﹣．
当m＝n时，原式＝﹣＝．
例8．【解答】解：已知等式整理得：＝，
可得x+3＝Bx+A﹣2B，即B＝1，A﹣2B＝3，
解得：A＝5，B＝1．
例9．【解答】解：∵a+b＝1，且a≠0，
∴（a+）÷
＝
＝
＝a+b
＝1．
例10．【解答】解：①去分母得：7+2（x+2）＝1﹣3x，去括号得：7+2x+4＝1﹣3x，
移项合并得：5x＝﹣10，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解；
②去分母得：3（x+1）﹣x﹣3＝0，
去括号得：3x+3﹣x﹣3＝0，
移项合并得：2x＝0，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
例11．【解答】解：方程两边同乘（x+1），得m＝﹣x﹣1
解得x＝﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
例12．【解答】解：去分母得：x＝2x﹣m，
将x＝﹣5代入得：﹣5＝﹣10﹣m，
解得：m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
例13．【解答】解：设第一次人均捐款x元，则第二次人均捐款为1.2x元，
依题意得：+100＝
解得：x＝100
经检验：x＝100是原方程的根．
∴1.2x＝120
答：第一次人均捐款100元，第二次人均捐款120元．
例14．【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，由题意，得＝2×+300，
解得x＝5，
经检验x＝5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
＝（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
＝1500×9+4320﹣12000
＝13500+4320﹣12000
＝5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
当堂检测
一、选择题
1．D． 2.B．3．B． 4. B 5．A．6．C．
二、填空题
7．﹣3．8．﹣．9．﹣5．10．1．．三、解答题
11．【解答】解：（1）原式＝﹣••＝﹣；
（2）原式＝；
（3）原式＝1﹣•＝1﹣＝﹣；
（4）原式＝•＝2x+4．
12．【解答】解：原式＝•＝•＝，
当a＝2时，原式＝2．
13．【解答】解：（1）去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
移项合并得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：5x﹣4x﹣4＝0，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
14．【解答】解：设人工每分钟译电字数x个，则电子收报机每分钟译电字数为75x，根据题意，得
，
解得x＝20．
经检验，x＝20是原方程的根，
75x＝1500．
答：人工每分钟译电20个字，电子收报机每分钟译电1500个字．
15．【解答】解：（1）设乙队单独完成需x天．
根据题意，得：×20+（+）×24＝1．
解这个方程得：x＝90．
经检验，x＝90是原方程的解．
∴乙队单独完成需90天．
答：乙队单独完成需90天．
（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（+）×y＝1．
解得，y＝36，
①甲单独完成需付工程款为60×3.5＝210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）＝198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
16．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1.2x米，由题意，得﹣＝2．
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每天铺设管道60米．
作业
一、选择题
1．C．2．A ．3D．4：B
二、填空题
5．3．6．．7．6x2y2．8．1．
三、解答题
9.【解答】解：由得，a﹣b＝ab．
∴＝＝＝﹣5．
10．【解答】解：（1）a÷b•＝a
＝；
（2）8x2y4
＝6x3y
＝12x；
（3）﹣x+1
＝
＝
＝；
（4）（ab+b2）÷
＝b（a+b）
＝；
（5）（1+）÷（）＝
＝；
（6）
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
11.【解答】解：①原式＝﹣•
＝﹣；
②已知等式整理得：a+＝3，
两边平方得：（a+）2＝a2++2＝9，
则a2+＝7．
12．【解答】解：（1）＝，
x＝5；
（2）＝，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0．
故原方程无解；
（3）解得x＝0．
检验：当x＝0时，（2x+5）（2x﹣5）＝﹣25≠0．故原方程的解是x＝0；
（4）+1＝，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0．
故原方程无解．
13．【解答】解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元．
根据题意得，
20x＝1000
解之得x＝50，
经检验x＝50是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴该种纪念品4月份的销售价格是50元；
（2）由（1）知4月份销售件数为（件），
∴四月份每件盈利（元），
5月份销售件数为40+20＝60件，且每件售价为50×0.9＝45（元），每件比4月份少盈利5元，为20﹣5＝15（元），
所以5月份销售这种纪念品获利60×15＝900（元）．
14．【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得+＝，
解得x＝20，
经检验知x＝20是方程的解且符合题意．
1.5x＝30
故甲公司单独完成此项工程，需20天，乙公司单独完成此项工程，需30天；
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，
根据题意得12（y+y﹣1500）＝102000，解得y＝5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）＝105000（元）；
故甲公司的施工费较少．。