复变函数全套课件 494p-北京交通大学-闻国光老师
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y (z)
模： | z || OP | r 辐 角 : Argz
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
15
z 0时， tan(Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z i 2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z2 0)
9
•运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即， z1+z2=z2+z1；
16
当z落于一,四象限时，不变.
. 当z落于第三象限时，减 .
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
10
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
12
§2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
13
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数 ( x, y ),
拉斯变换等
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
4
背
景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
6
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数
7
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 2 2 • 复数的模 | z | x y 0 • 判断复数相等
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z ( 3) z z Re(z ) Im( z ) x y 2 z |z|
2 2 2 2
11
z1 z1 ( ) z2 z2
例1 : 设z1 5 5i , z2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz. z=0时，辐角不确定. y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x x 0, y 0
复变函数与积分变换（B）
教材
《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
1
2017年9月3日
第一章 复数与复变函数
2
对
象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y)
数z与点z同义.
Βιβλιοθήκη Baidu
14
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 向量OP为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z ) Im( z ) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
8
2. 代数运算
•四则运算
定义
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 标， 则 任意点 P( x, y) 一 对 有 序 实 数 ( x, y) z x iy 平 面 上 的 点 P ( x, y )
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
5
•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照 性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
模： | z || OP | r 辐 角 : Argz
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r
z 0 OP 0
o
x
x
15
z 0时， tan(Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z i 2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z2 0)
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•运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即， z1+z2=z2+z1；
16
当z落于一,四象限时，不变.
. 当z落于第三象限时，减 .
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
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3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
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1 i i 1 i
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§2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
13
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数 ( x, y ),
拉斯变换等
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
4
背
景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
6
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数
7
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 2 2 • 复数的模 | z | x y 0 • 判断复数相等
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z ( 3) z z Re(z ) Im( z ) x y 2 z |z|
2 2 2 2
11
z1 z1 ( ) z2 z2
例1 : 设z1 5 5i , z2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz. z=0时，辐角不确定. y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x x 0, y 0
复变函数与积分变换（B）
教材
《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
1
2017年9月3日
第一章 复数与复变函数
2
对
象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y)
数z与点z同义.
Βιβλιοθήκη Baidu
14
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 向量OP为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z ) Im( z ) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
8
2. 代数运算
•四则运算
定义
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 标， 则 任意点 P( x, y) 一 对 有 序 实 数 ( x, y) z x iy 平 面 上 的 点 P ( x, y )
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
5
•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照 性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.