布尔代数基础

(2) (3) (4)
A－B＝，当且仅当AB； (A－B)∪B＝A∪B； C∩(A－B)＝(C∩A)－(C∩B)。
（分配律）
交关于差是可分配的。但是，并关于差却不是可分配 的。大家可以通过思考和举一反例来认识这一点。 定义2 集合A，B的对称差AB定义为A与B之差和B与A 之差的并，即AB＝(A－B)∪(B－A)。 显然，A与B的对称差也可以写成如下的定义形式： AB＝(A∩B’)∪(B∩A’)。 由定义2，我们还可以得到对称差的其它几种表示形式 或等价定义。 定理16 若A，B是两个集合，则 (1) AB＝(A∪B)∩(A’∪B’)， (2) AB＝(A∪B)－(A∩B)，
第五章
布尔代数基础
本章主要介绍布尔代数的基本知识，它可以为学生今 后学习计算机逻辑代数，数字逻辑，计算机组成原理，二 进制运算，以及数理逻辑提供一个基础。 5.1 集合的基本概念与基本运算 由事物或对象组成的集体，无论它们是由其成员通过 枚举方式直接表示出来的，还是由其成员所具有的某些本 质属性表示出来的，都称为集合。 称两个集合是相等的，如果构成这两个集合的成员完 全相同。集合的成员也叫元素。 一个集合A中元素的个数叫做集合A的基数，记为│A│。 请注意，•这不是基数的严格的定义。对有穷集合，这样定
今后，我们也采用这种方式，将一部分证明工作留给读者。 证明 (1) 用反证法。设A∩B≠ ，则必存在非空元素 x∈A∩B，故x∈A且x∈B，此与B为A的补集合矛盾。所以，
A∩B＝。 □ 例4 设A＝{a,b,c,d}，B＝{c,d,e,f}，C＝{e,f,g,h}， 则 A∩B＝{c,d}， A∪B＝{a,b,c,d,e,f}， A∩C＝， A∪C＝{a,b,c,d,e,f,g,h}。 根据定义，不难证明定理2。 定理2 对任意集合A和集合B，有 (1) A∩B＝B∩A， （交换律） (2) A∪B＝B∪A， （交换律）
上面的证明中，仍然采用了论证两个集合相等最基本的方 法，即设法先证明等式两边的集合互为子集合。若两个集 合互为子集合，那么，显然这两个集合是相等的。 证明一个定理，有时候需要从定义出发推导、论证， 有时候需要引用已知的结论来简化证明步骤。事实上，定 理 4(1) 的证明中第一部分可以直接引用定理 3 的 (1) 。今后 我们应该逐步习惯于简化的证明方式。 定理5（De Morgan 律） 设A、B为任意集合，则 (1) (A∩B)’＝A’∪B’， (2) (A∪B)’＝A’∩B’。 证明 我们只要证明其中的一个就可以了，因为这两 个式子中的任何一个是另一个在相补关系下的直接结果。 下面，我们证明(1)。 设任意元素x∈(A∩B)’，则x(A∩B)，因此x A或
证明 (1) 设任意元素x∈A∩B，由交的定义知，x∈A， 故A∩BA。 □ 定理4 设A、B为任意集合，则
(1) AB，当且仅当A∩B＝A， (2) A∩B＝A，当且仅当A∪B＝B， (3) A∪B＝B，当且仅当AB。 这个定理说明了一个循环等价关系。象这样的等价关系， 今后可用来作等价的概念定义。 证明 (1) 我们分两部分来证明定理的充分性。 ① 设任意元素x∈A∩B，故x∈A且x∈B，可得A∩BA ； ② 又设任意元素x∈A，由AB知x∈B，故x∈A∩B，可 得AA∩B。 综合①、②，知A∩B＝A•。 由A∩B＝A导出AB是显然的。 □
A B 若AB，则称A是B的子集合，B是A的母集合。显然，对 任何集合A，有AA。若集合A、B之间存在AB且A≠B， 则称A 是B 的真子集合，记为 AB。若AB，又有 BA ，则可 以得出结论A＝B。这是因为A的元素都是B的元素，而B的元 素也是A的元素，说明A，B中拥有相同的元素，所以A和B相 同，故相等。显然，对任何集合A，A1。特别地，1。 5.1.2 集合的基本运算和基本关系 1. 集合的交与并 设A、B是两个集合，定义A和B的公共元素构成的集合C 为A和B的交集，简称A和B•的交，记为C＝A∩B；将集合A的 元素和集合 B 的元素合并在一起，组成一个新的集合 C ，那 么，这样得到的集合C就定义为集合A和集合B的并集，简称 A和B的并，记为C＝A∪B。
所以A＝。 □ 定理14 设A、B是两个集合，那么下列等式成立： (1) 若A∪B＝，则A＝且B＝；
(2) 若A∩B＝1，则A＝1且B＝1。 证明 (1) 因AA∪B＝，故A＝；同理可证，B＝。 □ 5. 集合的差与对称差(同学们在中学已经学习) 除了上面介绍的一些运算之外，还有两种重要的集合 运算是大家需要掌握的，它们是集合的差与对称差。 定义1 集合A，B的差A－B定义为一切属于A但不属于B 的元素构成的集合，即A－B＝A∩B’。 对任意集合A，B，不难证明定理15。 定理15 设A，B，C都是集合，那么下列等式成立： (1) 1－A＝A’；
义基数勉强可行，但对无穷集合不恰当。有关集合基数的 概念和知识将来读者会在离散数学或集合论等课程中系统 地学习，目前，我们暂且使用这种不严格的直观上的定义。 5.1.1 从属与包含关系 通常用大写英文字母作为集合的名称。若某事物a是集 合A的一个元素，则记为 a∈A 并说“a属于A”，或者说“a在A中”。 若a不是集合A的元素，则记为 aA 当以枚举形式表示一个集合时，我们用一个大括号把 这些枚举的元素括起来以表示这个集合。 例1 {麻雀，黄鹂，杜鹃，白鹭，红嘴鸥}是一个由五 种鸟组成的集合；
(3)
A B ＝ A ’ B ’。
作为一种运算，对称差满足一些定律。 定理17 设A，B，C都是集合，那么下列等式成立：
A B＝B A； （交换律） (AB)C＝A(BC)； （结合律） A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)； （分配律） A∪(BC)≠(A∪B)(A∪C)。 （并关于对称差不满足分配律） 证明 (3) A∩(BC)＝A∩((B－C)∪(C－B)) ＝(A∩(B－C))∪(A∩(C－B)) ＝(A∩B)－(A∩C))∪(A∩C)－(A∩B)) ＝(A∩B)(A∩C)。 □ (1) (2) (3) (4)
由定理3和定理10易证定理11。 定理11 设A，B是任意的集合，则有A∩(A∪B)＝A。 证明 依定理 3 有A∩(A∪B)A 。又 A ＝A∩A， AA∪B， 因此，由定理 10 知A∩AA∩(A∪B)，故 AA∩(A∪B)。所 以，A∩(A∪B)＝A。 □ 定 理 12 设 A 、 B 是任意的 集合 ，则 AB ，当且仅当 A∩B'＝。 定理13 设A是一个集合，那么下列等式成立： (1) 若对任意的集合B，都有AB，则A＝； (2) 若对任意的集合B，都有BA，则A＝1。 证明 (1) 由题设，特别当B＝时，有A，但A，
利用集合上的基本关系和基本运算，可以导出集合上 的其它一些关系。 定理 9 设 A 、 B 、 C 是任意的集合，那么下列关系成立： (1) 若AB且AC，则AB∩C； (2) 若AC且BC，则A∪BC。
定理10 设A、B、C是任意的集合，若AB，则 (1) A∩CB∩C， (2) A∪CB∪C。
如果从全集合1中取出部分元素构成集合A，剩下的元素构成 集合B，那么，集合A与集合B就形成互补关系。我们称集合B 为集合A的补集合，记为A’＝B。显然，也有B’＝A。而 且此时下列定理1的一系列等式成立。 定理1 设A为一个集合，B为A的补集合，则 (1) A∩B＝， (2) A∪B＝1， (3) ’＝1， (4) 1’＝， (5) (A’)’＝A， (6) (1’)’＝1， (7) (’)’＝。 我们选择证明其中的(1)，其余的证明留给读者作为练习。
xB。换言之x∈A’或x∈B’，故x∈A’∪B’。所以， (A∩B)’A’∪B’； 反之，设任意元素x∈A’∪B’，则x∈A’或x∈B’。换 言之xA或xB，因此x(A∩B)，故x∈(A∩B)’。所以， A’∪B’(A∩B)’。从而，可知(A∩B)’＝A’∪B’。 □
定理6 对任意的集合A，A。 证明 使用反证法。假设定理不成立，即存在集合 A ， 使得A不成立。这就是说，存在元素x∈,但xA，这与 是空集合相矛盾。故定理成立，空集合是一切集合的子集 合。 □ 定理7 空集合是唯一的。 证明 设1和2都是空集合，由定理6知 11 }是由英语的26个小写字母组成的集合。 例2 A＝{x│ax2+bx+c＝0 且 a,b,c∈R}，R是实数集。 例3 B＝{a,b,aa,ab,bb,aaa,aab,abb,bbb,aaaa,…} 这种带省略的表示形式实际上可表示一些集合元素有某 种出现规律的无穷集合。 集合的表示应当注意以下两点： (1) 同一个集合中的元素是互不相同的。 (2) 集合中的元素之间不规定次序。 与空集合相对应的一个大的集合是所谓的全集合，即一 切事物构成的集合。这是一个虚构的集合，但它在布尔代数 的运算中是有用的。我们用1来表示这个虚设的全集合。 考虑两个集合 A 和 B 。若集合 A 的每一个元素也是集合 B 的一个元素，则称集合B包含集合A，也称集合A包含在集合B 中，记为
(3) A∩A＝A， (4) A∪A＝A， （幂等律） (5) A∩A’＝， (6) A∪A’＝1， (7) A∩＝， (8) A∪＝A。 我们选择证明其中的 (2) ，其余的 (1) 、 (3)-(8) 大家可 以自己试着去证明。 证明 (2) 我们分两部分来证明。首先证明左边的集合 是右边集合的子集合，然后再证明右边的集合是左边集合的 子集合。这样，若两个集合互为子集合时，必然相等。 ① 设任意元素x∈A∪B，则x∈A或者x∈B，也可表述为 x∈B或者x∈A，故A∪BB∪A； ② 同理可证，B∪AA∪B。
明了 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C)； 反之，设x∈(A∪B)∩(A∪C)，则x∈A∪B且x∈A∪C。
若x∈A，那么x∈A∪(B∩C)；若xA，那么必有x∈B且x∈C， 因此x∈B∩C，也有x∈A∪(B∩C)。这就证明了 (A∪B)∩(A∪C)A∪(B∩C)； 所以，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)。 □ 4. 集合上的其它一些关系
所以，A∪B＝B∪A。 □ 定理 2(2) 的上述证明方法是证明两个集合相等时最常 用的方法，也是最基本的方法。 2. 集合上的一些基本关系 下面我们在集合相补、包含、交与并的基础上，首先来 建立一些基本关系。 定理3 设A，B为任意集合，则 (1) A∩BA， (2) A∩BB， (3) AA∪B， (4) BA∪B。 我们选择证明其中的 (1) ，其余的 (2)-(4) 大家可以自 己试着去证明。
3. 集合上的一些运算定律 与中学数学中加法和乘法的结合律、分配律一样，集合的 运算除了满足我们已经看到的幂等律、交换律之外，也满 足结合律和分配律。采用类似于定理5的证明方法，容易证 明定理8。 定理8 设A、B、C是任意的集合，则 (1) A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C， （结合律） (2) A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C， （结合律） (3) A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)， （分配律） (4) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)。 （分配律） 证明 (3) 设x∈A∪(B∩C)，则x∈A或x∈B∩C。若是 前 一 种 情 况 ， 那 么 x∈A∪B 且 x∈A∪C ， 因 而 x∈(A∪B)∩(A∪C)；若是后一种情况，那么x∈B且x∈C，
第五章
布尔代数基础
逻辑与代数是计算机科学最重要的基础，布尔代数是 数理逻辑早期的雏形，是一种用代数演算的方法来研究思 维结构的逻辑系统，同时也为计算机的运算提供重要基础。
问题：什么是逻辑呢？
对逻辑来说不存在清规戒律，每个人都可以构造自己 的逻辑，即他自己表达思想的语言形式，只要他愿意。但 如果他想讨论这种逻辑，那么，对他的唯一要求是他必须 说清楚他的方法，即给出语法和语义规则，而不是给出哲 学论据。 Carnap（卡尔纳普）