抛物线法非线性方程求解
抛物线法求多项式方程
非线性方程求根问题教材中，对于非线性方程求根问题，主要考虑迭代法。
于是教材中大篇幅介绍了迭代的过程，之后又具体论述了开方法和牛顿法以及牛顿法的改进。
对于迭代过程的描述，首先进行根的隔离。
考虑将某个范围划分成若干个子段，然后判断哪个子段有根。
即通过在给定区间上，从左端点出发按一定步长一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索。
采用根的二分搜索使加工规模减半。
其次，进行迭代过程的设计。
其间运用压缩映像原理和局部收敛性定理来判断迭代过程是否对于迭代初值收敛。
第三，由于迭代过程的冗长，考虑迭代加速。
对迭代过程论述清楚后，介绍开方法和牛顿法。
这两者都是按照迭代函数，到迭代收敛性判定，再到迭代加速的顺序展开论述的。
其中对于改进的牛顿法还涉及到了弦截法，此法在之后文章将会有提到。
开方法迭代函数：)(21)(xa x x +=ϕ 牛顿法迭代函数：)()()('x f x f x x -=ϕ 牛顿法改进（引入下山因子λ）迭代公式：)()('1k k k k x f x f x x λ-=+ 弦截法迭代函数：)()()()()(00x x x f x f x f x x ---=ϕ 接下来讨论一种新的迭代法——抛物线法。
基本原理与算法抛物线法是求多项式方程0)(=x P 的实根和复根的有效方法，也可用来求一般函数方程0)(=x f 根。
抛物线法是正割法的推广。
设有非线性方程0)(=x f （1）首先给出方程（1）根*x 的三个初始近似值0x ，1x ，2x 过三个点（0x ，)(0x f ），（1x ，)(1x f ），（2x ，)(2x f ），可构造二次插值多项式0)(2=x P ，用它来代替')(x f ，求0)(2=x P 的根，记为3x 作为0)(=x f 根*x 的第3次近似值，这就是抛物线法（设（0x ，)(0x f ），（1x ，)(1x f ），（2x ，)(2x f ）三点不共线）。
非线性抛物线法的特点
非线性抛物线法的特点牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算函数导数，而有些函数的导数计算十分麻烦。
弦截法和抛物线法便是为了避免上述不便而提出的方法.一、弦截法：牛顿迭代公式： x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) 牛顿迭代公式：\\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\ 牛顿迭代公式：xk+1=xk−f′(xk)f(xk)替换牛顿公式中的f’(x),便得到迭代公式： x k + 1 = x k − f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) f ( x k ) − f ( x k − 1 ) 这就是弦截迭代公式 . x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}\\ 这就是弦截迭代公式. xk+1=xk−f(xk)−f(xk−1)f(xk)(xk−xk−1)这就是弦截迭代公式.算法流程：注意，弦截迭代发要用到前两步的结果：x k 和 x k − 1 . x_{k}和x_{k-1}. xk和xk−1.二、抛物线法根据牛顿多项式插值公式： N n ( x ) = a 0 + a 1 ( x −x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) + . . . + a n( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 )N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+...+a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) Nn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+...+an(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)取三次牛顿插值公式得： N 2 ( x ) = f ( x k ) + f [ x k , x k − 1 ] ( x − x k ) + f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] ( x − x k ) ( x − x k − 1 )N_2(x)=f(x_k)+f[x_k,x_{k-1}](x-x_k)+f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x-x_k)(x-x_{k-1}) N2(x)=f(xk)+f[xk,xk−1](x−xk)+f[xk,xk−1,xk−2](x−xk)(x−xk−1)令上式等于0，得到： x k + 1 = x k − 2 f ( x k ) ω ± ω − 4 f ( x k ) f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] 式中：x_{k+1}=x_k-\frac{2f(x_k)}{\omega±\sqrt{\omega-4f(x_k)f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}]}}\\ 式中：\\ xk+1=xk−ω±ω−4f(xk)f[xk,xk−1,xk−2]2f(xk)式中：{ f [ x k , x k − 1 ] = f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] ( x k −x k − 1 ) = f [ x k , x k − 1 ] − f [ x k − 2 , x k − 2 ] x k − x k − 2 ω = f [ x k , x k − 1 ] + f [ x k , x k − 1 , x k − 2 ] ( x k − x k − 1 )\begin{cases} f[x_k,x_{k-1}]=\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} \\ \\ f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x_k-x_{k-1})= \frac{f[x_k,x_{k-1}]-f[x_{k-2},x_{k-2}]}{x_k-x_{k-2}}\\ \\ \omega=f[x_k,x_{k-1}]+f[x_k,x_{k-1},x_{k-2}](x_k-x_{k-1})\\ \end{cases} ⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩f[xk,xk−1]=xk−xk−1f(xk)−f(xk−1)f[xk,xk−1,xk−2](xk−xk−1)=xk−xk−2f[xk,xk−1]−f[xk−2,xk−2]ω=f[xk,xk−1]+f[xk,xk−1 ,xk−2](xk−xk−1)上式计算可以得到两个值，选择解得时候应该选择离xk更接近的解.弦截法和抛物线法只是对迭代公式进行了更改，并不影响算法的流程，可以参考链接中的代码进行算法仿真.链接非线性方程求解：二分迭代法和牛顿迭代法。
抛物线法非线性方程求解
《MATLAB 程序设计实践》课程考核抛物线法非线性方程求解算法说明：（1）选定初始值210,,x x x ，并计算)(),(),(210x f x f x f 和以下差分： ],[12x x f =1212)()(x x x f x f --10101)()(],[x x x f x f x x f --=20112012],[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=一般取b x a b x a x <<==210,,。
注意不要使三点共线。
（2）用牛顿插值法对三点))(,()),(,()),(,(221100x f x x f x x f x 进行插值得到一条抛物线，它有两个根：,24223CACB B x x -±-+= 其中。
)](,,[],[],,,[),(12012120102x x x x x f x x f B x x x f C x f A -+===两个根中只取靠近2x 的那个根，即±号取于B 同号， 即ACB B B Ax x 4)sgn(2223-+-=（3）用321,,x x x 代替210,,x x x ，重复以上步骤，并有以下递推公式： nn nn n nn n C A B B B A x x 4)sgn(221-+-=+，其中。
)](,,[],[],,,[),(121121-------+===n n n n n n n n n n n n n n x x x x x f x x f B x x x f C x f A（4）进行精度控制。
算法流程图：成立抛物线法的MATLAB程序代码如下：function root=Parabola（f，a，b，x，eps）%抛物线法求函数 f在区间【a，b】上的一个零点%函数名：f%区间左端点： a%区间右端点：b%初始迭代点：x%根的精度：eps%求出的函数零点：rootif(nargin==4)eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp(‘两端点函数值乘积大于0!’);return;elsetol=1;fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);d1=(fb-fa)/(b-a);d2=(fx-fb)/(x-b);d3=(f2-f1)/(x-a);B=d2+d3*(x-b);root=x-2*fx/(B+sign(B)*sqrt(B^2-4*fx*d3)); t=zeros(3); t(1)=a; t(2)=b; t(3)=x; while(tol>eps)t(1)=t(2); %保存3个点 t(2)=t(3); t(3)=root;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(1)); %计算3个点的函数值 f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(2)); f3=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(3));d1=(f2-f1)/(t(2)-t(1)); %计算3个差分 d2=(f3-f2)/(t(3)-t(2)); d3=(d2-d1)/(t(3)-t(1));B=d2+d3*(t(3)-t(2)); %计算算法中的B root=t(3)-2*f3/(B+sign(B)*sqrt(B^2-4*f3*d3)); tol=abs(root-t(3)); end end举例应用：采用抛物线法求方程2lg =+x x 在区间[1，4]上的一个根。
求解非线性方程与二次曲线性质
求解非线性方程与二次曲线性质在数学中，我们经常会遇到非线性方程与二次曲线。
这些问题在高中数学中就已经开始学习，而在大学中，这些知识被更深入地学习和应用。
在本文中，我们将讨论如何求解非线性方程以及二次曲线的一些基本性质。
求解非线性方程非线性方程指的是在未知量的一次以上的项中，至少有一项不是常数。
例如，$ax^2+bx+c=0$ 就是一个非线性方程，其中 $a$，$b$，$c$ 都是常数，$x$ 是未知量。
解非线性方程的方法有很多种，下面我们讨论常用方法。
1. 二分法二分法是解非线性方程的一种简单方法。
假设我们需要求方程$f(x)=0$ 的根，那么我们可以先找到一个区间 $[a,b]$，使得$f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号不同。
然后我们从区间的中点 $c$ 开始，计算 $f(c)$ 的符号。
如果 $f(c)$ 的符号与 $f(a)$ 相同，那么我们可以将 $a$ 替换为 $c$，否则将 $b$ 替换为 $c$。
接着我们再计算$c$ 的中点，用同样的方法来判断符号。
不断重复这个过程，直到求得一个满足误差限的根。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于泰勒级数的求根方法，具有快速收敛的特点，但需要计算函数的导数。
假设我们要求解方程 $f(x)=0$ 的根，我们可以选择一个初值 $x_0$，然后按照下面的公式迭代求解：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$其中，$f'(x_i)$ 是 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。
不断重复迭代，直到满足误差限。
二次曲线的性质二次曲线是用一般式表示的形如$ax^2+by^2+2hxy+2gx+2fy+c=0$ 的方程。
在本节中，我们将讨论二次曲线的一些基本性质。
1. 对称轴对称轴是指将二次曲线对称的轴。
以一般式表示的二次曲线的对称轴方程是：$$y=-\frac{b}{2a}x-\frac{h}{a}y-\frac{g}{a}$$其中，$a$，$b$，$h$，$g$ 表示二次曲线的系数。
各类非线性方程的解法
各类非线性方程的解法非线性方程是一类数学方程，其中包含了一个或多个非线性项。
求解非线性方程是数学研究中的重要问题之一，它在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的非线性方程的解法。
1. 试-and-错误法试-and-错误法是求解非线性方程的最简单方法之一。
它基于逐步尝试的思路，通过不断试验不同的数值来逼近方程的解。
这种方法的缺点在于需要反复试验，效率较低，但对于简单的方程或近似解的求解是有效的。
2. 迭代法迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解非线性方程的近似解。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程的解。
不同的迭代方法包括牛顿迭代法、弦截法和割线法等。
这些方法都是基于线性近似的原理，通过不断迭代计算来逼近解。
迭代法的优点是可以得到较为精确的解，适用于多种类型的非线性方程。
3. 数值优化方法数值优化方法是一种求解非线性方程的高级方法，它将问题转化为优化问题，并通过优化算法来寻找方程的最优解。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过不断迭代调整变量的取值，以最小化目标函数，从而求解非线性方程。
数值优化方法的优点是可以处理复杂的非线性方程，并且具有较高的求解精度。
4. 特殊非线性方程的解法对于特殊的非线性方程，还可以使用特定的解法进行求解。
例如，对于二次方程可以使用公式法直接求解，对于三次方程可以使用卡尔达诺法等。
这些特殊解法适用于特定类型的非线性方程，并且具有快速和精确的求解能力。
综上所述，非线性方程的解法有试-and-错误法、迭代法、数值优化方法和特殊非线性方程的解法等。
根据具体的方程类型和求解要求，选择合适的方法进行求解，可以得到满意的结果。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
求解非线性方程组的几种方法及程序实现
求解非线性方程组的几种方法及程序实现
求解非线性方程组一直是理论数学和应用数学研究的重点，并采用不同的方法得到准确的结果。
它们可以分为几种类型：
1. 用以绘图的方法解非线性方程组：该方法充分利用结合几何和数理的原理，给出非线性方程组的解，而不用对系数的解的表达式求解手段。
主要是利用可绘图的几何空间分析，它可以帮助理解问题本身，还可以很容易看出非线性方程组的解。
2. 用迭代法求解非线性方程组：这是一种常用的方法，它通过不断迭代收敛求解非线性方程组。
基本思想是通过构造一个迭代函数，其初始值和原始非线性方程组尽可能接近，然后不断迭代收敛求解非线性方程组。
3. 用强调法求解非线性方程系统：这是基于梯度的一种方法，它利用一个概念，即局部线性化，可以降低维数、转化为一个拐点，最后强化搜索全局解。
4. 用牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程组：这是一种准确、快速的非线性方程组求解方法，主要利用牛顿迭代法搜索解的收敛性，加上一些拉夫逊的加速策略得到最终的结果。
5. 用幂法求解非线性方程组：幂法也称为指数序列，是一种重要的求解非线性方程组的方法，基本原理是利用指数的累加和误差的减少，从而最终得到非线性方程组的解。
6. 用逐步逼近法求解非线性方程组：逐步逼近法也称为分步变程法，是一种用于求解非线性方程组的简单方法，其基本思想是用不同的参数，在给定的范围内，逐步逼近目标解。
这些方法的程序实现略有不同，可以利用编程语言比如C、Fortran、Python等，编写程序完成求解。
可以采用函数求解、循环求解、行列式求解或者混合的算法等不同的方式实现，甚至可以用深度学习方法求解有些复杂的非线性方程组。
二次函数的非线性方程求解
二次函数的非线性方程求解二次函数是具有一条抛物线形状的函数，其代数表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
当遇到二次函数的非线性方程时，要求解方程的根（即使方程等式成立的x值），我们可以采用以下方法进行求解。
一、用因式分解法求解二次函数的非线性方程对于形如ax^2+bx+c=0的二次函数方程，我们可以通过因式分解的方法来求解。
步骤如下：1. 将方程整理为标准形式，即将二次项系数a移至方程左侧，将常数项c移至右侧，得到ax^2+bx=-c。
2. 考虑二次函数的性质，根据因式分解法，我们需要找到两个数p 和q，使得它们的和等于一次项系数b，乘积等于二次项系数a乘以常数项-c。
即p+q=b，pq=ac。
3. 通过观察和试错，找到满足上述要求的p和q。
4. 将原方程拆分为两个一次函数方程，即将x项用p和q来替代，得到(ax-p)(ax-q)=0。
5. 根据乘法法则，等式成立时，要么ax-p=0，要么ax-q=0。
解这两个一次函数方程，即可得到方程的根。
例如，对于方程2x^2-5x+3=0，按照因式分解法进行求解：1. 将方程整理为标准形式，得到2x^2-5x=-3。
2. 观察得知，-1和-3满足p+q=-5，pq=6。
3. 将方程拆分为(2x-1)(x-3)=0。
4. 解得x=1/2 或 x=3，这两个值即为方程的根。
二、用配方法求解二次函数的非线性方程除了因式分解法，我们还可以使用配方法来求解二次函数的非线性方程。
步骤如下：1. 将方程整理为标准形式，即将二次项系数a移至方程左侧，将常数项c移至右侧，得到ax^2+bx=-c。
2. 考虑二次函数的性质，通过配方法，我们需要找到一个数k，使得二次项可以表示成(x+k)^2的形式。
3. 将原方程改写成(x+k)^2=-c。
4. 将方程展开并化简，得到x^2+2kx+k^2=-c。
5. 根据二次项系数和常数项的关系，可以得到k的值。
第4章 MATLAB 非线性方程(组)的求解
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
fixpt.m
逐次逼近： 将隐式方程归结为显式计 算
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
是函数表达式中附加的参数x是返回的根fval是根x处的目标函数的值exitflag表明解存在的情况正数表明解存在负数表示解不存在遇到复数nan或者无穷大等
第4章 非线性方程(组)的求解
本章目标：求 f (x) = 0 的根
4.1 二分法 4.2 简单迭代法 4.3 Newton法 4.4 抛物线法 4.5 非线性方程组的求解 4.6 实例解析
p1
x x0 x* x1
4.3 Newton法
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开
取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)2，
在
x0
和
x
之间.
将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
x = g (x)
f (x) 的根
g (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …,
非线性方程的五种解法
1、问题描述用五种不同的方法解方程x-s-ulog10(x)=0，令s=1，u=2；则原方程变为x-1-2*log10(x)=0。
2、计算机性能配置描述I5 处理器、主频2.4GHz 、内存2GB、双核3、处理方法与结果分析Ⅰ、牛顿法算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)/f′(x n)反复做一下操作：⒉计算x1处的函数值为f1，导数值为f2⒊若f2=0,则显示导数为零的信息，break⒋x2=x1-f1/f2,k=k+1,err=│x2-x1│⒌若err<eps，则输入近似根x2与迭代次数k，break⒍若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break设置精度eps=10^(-8)、设置最大迭代次数n=100。
当初始值x1=100时，方程的根root=1.00000000、花费时间timecost=8.4840s结果分析：牛顿迭代法的收敛特性依赖于初始值x1的选择。
另外，牛顿法需要求导，这无疑限制牛顿法的使用范围。
结果精度相对较高。
Ⅱ、弦截法算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)*( x n-x1)/(f(x n)-f(x1))⒉计算x1处的函数值为3.5，x2处的函数值为2反复做一下操作：⒊x k+1=x k-f(x k)*( x k-x1)/(f(x k)-f(x1))，k=k+1⒋若│x2-x1│<eps，则输出近似根x k+1，break⒌若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break设置精度eps=10^(-8)、设置最大迭代次数n=100。
当初始值x(1) =3.5,x(2)=2时，方程的根root=1.000000026、花费时间timecost=118.0630s结果分析：不需要计算导数，但是收敛速度比较慢。
所求根的精度不是很高。
Ⅲ、快速弦截法算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)*( x n-x n-1)/(f(x n)-f(x n-1))⒉计算x1处的函数值为3.5，x2处的函数值为2反复做一下操作：⒊x3=x3-f( x2-x1)/(f(2)-f(1))，k=k+1⒋若│x3-x2│<eps，则输出近似根x3，break⒌若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)/f′(x n)⒉计算x1处的函数值为f1，导数值为f2⒊若f2=0,则显示导数为零的信息，break⒋x2=x1-f1/f2,k=k+1,err=│x2-x1│⒌若err<eps，则输入近似根x2与迭代次数k，break⒍若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break设置精度eps=10^(-8)、设置最大迭代次数n=100。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
计算方法一元非线性方程求根6.3
(x)
( x x )g( x )
*
mg ( x ) ( x x ) g ( x )
*
所以，x*是 ( x ) 的单零点.可将Newton法的迭代函数修改为
( x) x ( x) ( x)
'
x
f ( x) f ( x) [ f ( x )] f ( x ) f ( x )
第六章非线性方程组的迭代解法
6.3
一元方程的常用迭代法
6.3.1 Newton迭代法
6.3.2 割线法与抛物线法
第六章非线性方程组的迭代解法
6.3.1 Newton迭代法
x 设x*是方程f(x)=0的实根， k 是 x k x 一个近似根，用Taylor 展开式有 " f ( ) * ' * * 2 0 f ( x ) f ( x k ) f ( x k )( x x k ) ( x xk ) , 2 这里假设 f ' ' ( x ) 存在并连续。若 f ' ( x k ) 0 ，可得
第六章非线性方程组的迭代解法
定理6.5 设 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 , 且f(x)在包含x*的 一个区间上有二阶连续导数,则Newton迭代法（6.3.2）至 少二阶收敛，并且
* ' *
lim
k
x k 1 x
*
* 2
( xk x )
f (x ) 2 f (x )
X
将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有
(x) x
' *
f (x) f ( x)
'
'
高等代数中的非线性方程组 求解方法与案例
高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。
该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。
三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。
该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。
该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。
1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
22.03 抛物线法
= C ∈ ( 0,1);
(2)超线性的, (2)超线性的,若 超线性的 (3)p阶收敛的, (3)p阶收敛的,若 阶收敛的
k→∞
lim
X ( k +1 ) − X * X (k) − X *
X ( k +1 ) − X *
p
= 0;
= C ≠ 0, p > 1.
lim
k →∞ X (k ) − X *
取
xk + 1 = x k −
2ak bk + sgn bk b − 4ak ck
2 k
,
由此可得（ 由此可得（2.10） ）
{
ak = f ( xk )
c k = [ x k , x k − 1 , x k－ 2 ] f
bk = [ x k , x k − 1 ] f + c k ( x k − x k − 1 )
用p(x)近似f(x), 取P(x)=0较靠近 xk 的根 xk+1 为f(x)=0的改进近似 p(x)近似f(x), P(x)=0较靠近 近似 的改进近似 变形(a)式 插项),于是 于是, 根。 变形(a)式(插项 于是 由 p ( x ) = 0 , 得 的最小值， 考虑 xk +1 − xk 的最小值，
+ f [ xk −2 , xk −1, xk ] ⋅ ( x − xk )( x − xk −1 ) ( a ) p( x) = fk + f [ xk , xk −1 ] ⋅ ( x − xk ) 由 p( x ) = 0, 得 ck (x − xk )2 + ck (xk − xk−1)(x − xk ) − xk + xk ak ck
xk+1 = xk − xk − xk−1 f (xk ) f (xk ) − f (xk−1)
非线性方程组解法
解 f (0) 0, f (2) 0, f (x) 在区间（0，2）内至少有一个实根。 设从x=0出发，取h=0.5为步长向右进行根的搜索，列表如下
k
X ( k1) X *
lim
C (0,1);
k X (k ) X *
(2)超线性的,若
X ( k1) X *
lim
0;
k X (k ) X *
(3)p阶收敛的,若
X ( k1) X *
lim
k
X (k) X*
p
C 0, p 1.
2. 二分法解非线性方程的条件、思想方法、执行次数k：
p( x) fk [ xk , xk1] f ( x xk ) [ xk2 , xk1, xk ] f ( x xk )( x xk1) (a)
一阶差商
二阶差商
牛顿插值
用p(x)近似f(x), 取P(x)=0较靠近 xk 的根 xk1 为f(x)=0的改进近似 根。考虑 xk1 xk 的最小值，变形(a)式(插项),于是, 由p( x) 0,得
生成含根区间[a1, b1], 且[a1, b1] 满足下式:
(1) [a1, b1] [a0 , b0 ]
(2)
b1
a1
h 2
(3) f (a1 ) f (b1 ) 0
以[a1, b1]取代[a0 , b0 ], 继续以上过程, 得[a2 , b2 ].
一般的, 设已得含根区间[ai ,bi ]，i 0,1,, k ,满足：
使用二分法时，误差限
x xn
数学中的非线性方程求解
数学中的非线性方程求解非线性方程是指未知量与其函数之间不满足线性关系的方程。
解决非线性方程的问题一直是数学领域的研究重点之一，因为非线性方程在自然科学、工程技术以及金融经济等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨几种常见的非线性方程求解方法。
一、二分法二分法也称为区间二分法，是求解非线性方程最基本的方法之一。
该方法利用非线性方程连续性的特点，将方程的解所在的区间不断二分并缩小区间范围，最终找到非线性方程的解。
考虑一个一元非线性方程f(x)=0，其中f(x)在区间[a, b]上连续且f(a)与f(b)异号。
根据区间中值定理可知，存在一点c属于(a, b)，使得f(c)=0。
我们可以按以下步骤进行二分法的求解：步骤1：选择区间[a, b]，计算函数值f(a)与f(b)。
步骤2：如果f(a)与f(b)异号，则继续进行下一步。
否则，结束计算，方程无解。
步骤3：计算区间中点c=(a+b)/2，并计算f(c)。
步骤4：如果f(c)接近于0或满足终止条件，则c为方程解。
否则，根据f(a)与f(c)的符号确定新的区间[a, c]或[c, b]。
步骤5：重复步骤3和步骤4，直至满足终止条件。
二、牛顿法牛顿法是一种迭代逼近的方法，通过使用函数的一阶和二阶导数来逼近非线性方程的解。
该方法基于泰勒级数展开，通过不断迭代逼近函数零点的位置。
考虑一个一元非线性方程f(x)=0，我们可以按以下步骤进行牛顿法的求解：步骤1：选择一个初始近似值x0。
步骤2：计算函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
步骤3：使用初始近似值x0和函数导数来进行迭代计算，得到新的近似值x1。
迭代公式为x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
步骤4：计算函数f(x1)的值。
步骤5：如果f(x1)接近于0或满足终止条件，则x1为方程解。
否则，将x1作为新的近似值，重复步骤3和步骤4。
步骤6：重复步骤3至步骤5，直至满足终止条件。
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《MATLAB 程序设计实践》课程考核抛物线法非线性方程求解算法说明：（1）选定初始值210,,x x x ，并计算)(),(),(210x f x f x f 和以下差分： ],[12x x f =1212)()(x x x f x f --10101)()(],[x x x f x f x x f --=20112012],[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=一般取b x a b x a x <<==210,,。
注意不要使三点共线。
（2）用牛顿插值法对三点))(,()),(,()),(,(221100x f x x f x x f x 进行插值得到一条抛物线，它有两个根：,24223CACB B x x -±-+= 其中。
)](,,[],[],,,[),(12012120102x x x x x f x x f B x x x f C x f A -+===两个根中只取靠近2x 的那个根，即±号取于B 同号， 即ACB B B Ax x 4)sgn(2223-+-=（3）用321,,x x x 代替210,,x x x ，重复以上步骤，并有以下递推公式： nn nn n nn n C A B B B A x x 4)sgn(221-+-=+，其中。
)](,,[],[],,,[),(121121-------+===n n n n n n n n n n n n n n x x x x x f x x f B x x x f C x f A（4）进行精度控制。
算法流程图：成立抛物线法的MATLAB程序代码如下：function root=Parabola（f，a，b，x，eps）%抛物线法求函数 f在区间【a，b】上的一个零点%函数名：f%区间左端点： a%区间右端点：b%初始迭代点：x%根的精度：eps%求出的函数零点：rootif(nargin==4)eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp(‘两端点函数值乘积大于0!’);return;elsetol=1;fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);d1=(fb-fa)/(b-a);d2=(fx-fb)/(x-b);d3=(f2-f1)/(x-a);B=d2+d3*(x-b);root=x-2*fx/(B+sign(B)*sqrt(B^2-4*fx*d3)); t=zeros(3); t(1)=a; t(2)=b; t(3)=x; while(tol>eps)t(1)=t(2); %保存3个点 t(2)=t(3); t(3)=root;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(1)); %计算3个点的函数值 f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(2)); f3=subs(sym(f),findsym(sym(f)),t(3));d1=(f2-f1)/(t(2)-t(1)); %计算3个差分 d2=(f3-f2)/(t(3)-t(2)); d3=(d2-d1)/(t(3)-t(1));B=d2+d3*(t(3)-t(2)); %计算算法中的B root=t(3)-2*f3/(B+sign(B)*sqrt(B^2-4*f3*d3)); tol=abs(root-t(3)); end end举例应用：采用抛物线法求方程2lg =+x x 在区间[1，4]上的一个根。
流程图：解：在MA TLAB 命令窗口中输入： >> r=Parabola('sqrt(x)+log(x)-2',1,4,2) r =1.8773实验1用ode45、ode23、ode113解下列微分方程 流程图 编辑相应方程的M 文件是（1）y’=x-y，y(0)=1，0<x<3 (要求输出x=1、2、3点的y值); >> [x,y]=ode45('fun',[1,2,3],1)x =123y =1.00001.36792.1353>> [x,y]=ode23('fun',[1,2,3],1)x =123y =1.00001.36772.1352>> [x,y]=ode113('fun',[1,2,3],1) x =123y =1.00001.36792.1353（2）x’=2x+3y,y’=2x-y,x(0)=-2.7,y(0)=2.8,0<t<10,作相平面图；>>ode45(‘fun2’,[0,10],[-2.7,2.8])>> ode23('fun2',[0,10],[-2.7,2.8])>> ode113('fun2',[0,10],[-2.7,2.8])（3）50,1)0(',0)0(),sin(2)'(01.0''2<<===+-t y y t y y y ,作y 的图； 解：将多阶微分方程变为一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==211y dt dy y y因此原方程可改写成：)sin(201.0''122221t y y y y y +-==编辑M 文件fun3.m计算以及绘图程序如下： ode45:>> [t,y]=ode45('fun3',[0,5],[0,1]); >> plot(t,y(:,1))得到y 的图线如下：y 值如下：ode23:>> [t,y]=ode23('fun3',[0,5],[0,1]); >> plot(t,y(:,1))得到y 值的图如下：y值如下：Ode113:>> [t,y]=ode113('fun3',[0,5],[0,1]); >> plot(t,y(:,1))得到y值的图如下：Y值如下：（4）20,1)0(',2)0(,45)(3)('5)(''22<<===--txxetxtxtx t，作x的图；解：ode45：>> [t,x]=ode45('fun4',[0,2],[2,1]);plot(t,x(:,1))Ode23:>> [t,x]=ode23('fun4',[0,2],[2,1]);plot(t,x(:,1))Ode113：>> [t,x]=ode113('fun4',[0,2],[2,1]);plot(t,x(:,1))（5）Vanderpol方程当mu=2时编辑M文件Vanderpol2.mOde45:>> [x,y]=ode45('Vanderpol2',[0,20],[2,0]);plot(x,y)Ode23：>> [x,y]=ode23('Vanderpol2',[0,20],[2,0]);plot(x,y)Ode113:>> [x,y]=ode113('Vanderpol2',[0,20],[2,0]);plot(x,y)当mu=1时编辑M文件Vanderpol.mOde45：>> [x,y]=ode45('Vanderpol',[0,20],[2,0]);plot(x,y)Ode23:>> [x,y]=ode23('Vanderpol',[0,20],[2,0]);plot(x,y)Ode113：>> [x,y]=ode113('Vanderpol',[0,20],[2,0]);plot(x,y)实验3 分别用ode45流程图：解：在命令窗口输入：>>ode45(‘f’,[0,50],[1,-1])>>ode15s(‘f’,[0,50],[1,-1])编制命令文件bj1.m和bj2.m分别运行得>> bj1t =13.2500>> bj2t =0.3900可以看出ode15s的计算效率比ode45高很多。
实验4流程图：解：将二阶微分方程转化成一阶微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====)4()3()2()1(x dt dy x y x dt dx x x源程序代码：function dx=appolo(t,x)mu=1/82.45;lamda=1-mu;x=x(1);y=x(3);r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);r2=sqrt((x(1)+lamda)^2+x(3)^2);dx/dt=x(2);dx @/dt 2=2*x(4)+x(1)-lamda*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-lamda)/r2^3;dy/dt=x(4);dy @/dt 2=-2*x(2)+x(3)-lamda*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];在命令窗口输入如下程序：>>x0=[1.2;0;0;-1.04935371]; （设定边间条件：微分方程的条件，将边界条件存放在一个4行1列的矩阵x0中）>>options=odeset('reltol',1e-8);（options 是积分参数设置条件，误差条件，为ode45设置相对误差：1e-8，reltol 相对误差）>>[t,y]=ode45('appolo',[0,20],x0,options); （ode 是求常微分方程的函数）>>plot(y(:,1),y(:,3)) （plot 是绘制二维图形的函数，用来画卫星轨迹，以y 矩阵第一列为x 轴，以其第三列为y 轴画图）>>title('Appolo 卫星运动轨迹')（图的标题）>>xlabel('X')（X 轴）>>ylabel('Y')（Y 轴）运行结果：。