线面垂直的判定和性质

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，错误的打“×”)
内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(
内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．
­EFG中必有()
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
3．如图，三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，则二面角V­AB­C的度数为．
4．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心．
考点1直线与平面垂直的判定与性质
证明直线与平面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．
证明直线与平面垂直
如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中
点，BB 1＝3，AB 1＝10，∠CBB 1＝60°.
(1)求证：AM ⊥平面BCC 1B 1；(2)求斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积．
(1)已知线段的长度，一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直，如本例第(1)
问．
(2)解答本例第(2)问时，易误认为B 1M 是斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高，从而得到错误答案．
证明空间两条直线垂直
(2019·成都模拟)如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB∥EF，AF＝2，EF＝2AB＝4AD＝42，平面ABCD⊥平面ABEF.
(1)求证：BE⊥DF；
(2)求三棱锥C­AEF的体积V.
证明线线垂直一般是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直．
[教师备选例题]
(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
考点2面面垂直的判定与性质
证明面面垂直的两种方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，
注意：三种垂直关系的转化
(1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
(2)(2019·青岛模拟)如图，四棱锥P­ABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，PA，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.
①证明：平面PAE⊥平面STRQ；
②若AB＝1，求三棱锥Q­BCT的体积．
解答本例T (2)第(2)问时，借助已知的点面距求高，这是常用的方法，求S △BCQ 时，可
先求底边和高，再求面积．
(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC
为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .
(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝2
3
DA ，求三棱锥Q ­ABP 的体积．
考点3点到平面的距离
求点到平面的距离(高)的两种方法
(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利
用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．
(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．
定义法求距离(高)
(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB 两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为．
(2)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
①证明：PO⊥平面ABC；
②若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
解答本例T
(2)
第②问时也可以使用等体积法求解．
[教师备选例题]
如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为8
3
，求该四棱锥的高及四
棱锥的侧面积．
等体积法求距离(高)
如图，在三棱柱ABC­A
1B
1
C
1
中，侧面ABB
1
A
1
为矩形，AB＝1，AA
1
＝2，D是AA
1
的中
点，BD与AB
1交于点O，且CO⊥平面ABB
1
A
1
.
(1)证明：BC⊥AB
1
；
(2)若OC＝2OA，求三棱柱ABC­A
1B
1
C
1
的高．
解答本例第(2)问的关键是把三棱柱的高转化为求三棱锥的高，再利用等体积法求解．
[教师备选例题]
如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF ＝4，EF∥AB，M为BC的中点．
(1)求证：FM∥平面BDE；
(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．
(2019·武汉模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠DAB
＝
π3，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝102
.
(1)证明：PB ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离．
考点4直线与平面所成的角
求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成
的角为30°，则该长方体的体积为(
)A．8B．62C．82
D．83
(2)(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，
点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.
①求证：AD ⊥BC ；
②求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；③求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
在相互垂直的平面内作交线的垂线，是得到线面垂直的常用方法．
1.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段CC 1的中点，则直线D 1E 与平面ADE 所成
角的余弦值为(
)A.35
B.45
C.55
D.255
2．(2019·天津高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.
(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；
(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．。