初三数学圆知识点复习专题经典[整理版]

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初三圆知识点汇总

初三圆知识点汇总

初三圆知识点汇总圆是初中数学中的一个重要内容,也是中考的必考知识点之一。

下面就为大家详细汇总初三圆的相关知识点。

一、圆的定义1、动态定义:在平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径。

2、静态定义:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

二、圆的相关概念1、弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2、直径:经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最长的弦。

3、弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

弧分为优弧、劣弧和半圆。

4、半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

5、等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。

6、等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。

三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。

(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,则有:(1)点在圆外⇔ d > r;(2)点在圆上⇔ d = r;(3)点在圆内⇔ d < r。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则有:(1)直线与圆相离⇔ d > r;(2)直线与圆相切⇔ d = r;(3)直线与圆相交⇔ d < r。

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

1.半圆或直径所对的圆周角是直角.2.任意一个三角形一定有一个外接圆.. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等.5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6.同圆或等圆的半径相等.7.过三个点一定可以作一个圆.8.长度相等的两条弧是等弧.9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等.10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5.垂直于半径的直线必为圆的切线.6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7.垂直于半径的直线是圆的切线.8.圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的位置关系1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5.相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1.正六边形的中心角为60°.2.矩形是正多边形.3.正多边形都是轴对称图形.4.正多边形都是中心对称图形.1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 .A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 .A.100° B.130° C.80° D.50°3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 .A.100°B.130°C.80°D.50°4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905.半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cmD.6cm 6.已知:如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.507.已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 .A.100° B.130° C.200° D.508. 已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm.A.3B.4C.5D. 10点、直线和圆的位置关系1.已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离2.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交3.已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定4.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定5.一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定6.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D.不能确定7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交8. 已知⊙O 的半径为7cm,PO=14cm,则PO 的中点和这个圆的位置关系是 .A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定•BADO C•CBAO•BOCAD•BOCAD•BOCAD•DBAO •D BAO •DBCAO圆与圆的位置关系1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=10cm,则这两圆的位置关系是 .A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.A.内切B. 外切C. 相交D. 外离3.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含4.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.A.外离B. 外切C.相交D.内切35.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,两圆的一条外公切线长4,则两圆的位置关系是.A.外切B. 内切C.内含D. 相交6.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含公切线问题1.如果两圆外离,则公切线的条数为.A. 1条B.2条C.3条D.4条2.如果两圆外切,它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条3.如果两圆相交,那么它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条4.如果两圆内切,它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条6.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条正多边形和圆1.如果⊙O的周长为10πcm,那么它的半径为 .A. 5cmB.cmC.10cmD.5πcm102.正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为.32A. 2B.C.1D.3.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为.23A. 2B. 1C.D.24.扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= .3A.30°B.60°C.90°D. 120°5.已知,正六边形的外接圆半径为R,那么这个正六边形的边长为 .A.R B.RC.RD.212R 36.圆的周长为C,那么这个圆的面积S= .A.B.C. D.2C ππ2C π22C π42C 7.正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 .A.1:2B.1:C.:2D.1:3328. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .A.2B.C.D.C πC ππ2CπC9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的直径为 .A.2B.4C.2D.22310.已知,正三角形的外接圆半径为3,那么这个正三角形的边长为 .A. 3B.C.3D.3323。

九年级数学知识点整理

九年级数学知识点整理

九年级数学知识点整理初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径:圆上一点与圆心的连线段。

2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧:圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧:小于半圆周的弧。

(2)优弧:大于半圆周的弧。

5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。

6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。

7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形,它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论:平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r,OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。

(直角的外心就是斜边的中点。

)8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。

数学知识点九年级圆的必考知识点(1)圆在一个平面内,一动点以一定点为中心,以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

九年级数学圆知识点大全

九年级数学圆知识点大全

九年级数学圆知识点大全数学中的圆是我们学习的重要几何概念之一,它具有独特的性质和应用。

在九年级数学中,我们将学习有关于圆的知识点,本文将为你详细介绍九年级数学中与圆相关的知识点,帮助你更好地理解和掌握这一部分内容。

一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义:圆是由平面上距离一个点(圆心)相等的所有点构成的集合。

2. 圆的要素:圆心、半径、直径,这三个要素是圆的基本要素。

3. 圆的基本性质:圆上任意两点与圆心的距离相等;圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度;直径是圆上任意两点之间的最长线段。

二、圆的相关线段和角1. 弦:在圆上连接两点得到的线段叫做弦。

直径是一个特殊的弦,它通过圆心并且长度等于圆的直径。

2. 弧:在圆上连接两点得到的弧(简称弧段)。

弧由弦所确定,弧长是弧的长度,是弧上所有点按照圆周距离的累加。

3. 弦切角:在圆上,以弦的两端点为顶点,圆上一个点为腰的角叫做弦切角。

弦切角的大小等于它所对应的弧所对的角。

三、圆的重要定理1. 切线定理:一个切线垂直于半径。

垂直于半径的线段叫做切线,切线与半径的交点与圆心的连线垂直。

2. 弦弧定理:在圆上,等长的弦所对应的弧也等长。

3. 弧心角定理:在圆上,等长的弧所对应的弧心角也相等。

4. 切割线定理:如果有两条决定于一圆的割线相交成一点,那么从这个点到四个割线外割出的四条弦对应的两对点构成两组共轭点。

四、圆的计算1. 圆的周长:圆的周长等于圆周上任意一段弧长,可以通过直径或半径来计算。

周长公式:C = 2πr 或C = πd,其中C表示周长,r表示半径,d表示直径,π约等于3.14。

2. 圆的面积:圆的面积可以通过半径来计算。

面积公式:S =πr²,其中S表示面积,r表示半径,π约等于3.14。

五、圆与其他几何图形的关系1. 圆与直线的关系:在平面几何中,一条直线可以与圆有三种不同的位置关系,分别是相离、相切和相交。

2. 圆与多边形的关系:正多边形的外接圆和内切圆,以及正多边形与圆内接四边形的关系等。

九年级数学圆知识点归纳

九年级数学圆知识点归纳

一、圆的基本性质:1.定义:平面上离定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。

2.圆的要素:圆心、半径。

3.圆的元素之间的关系:a.半径相等的圆互相重合。

b.位于同一直线上且相交的两个圆的交点两两相互重合。

c.等圆的圆心位于同一直线上。

二、圆的方程与切线:1.圆的标准方程:(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)为圆心坐标,r为半径。

2.切线的定义:与圆仅有一个公共点的直线叫做圆的切线。

切点为圆上的点,切线与半径垂直。

3.切点的判别条件:圆心到直线的距离等于半径,即直线与半径的垂直平分线重合。

4.切线方程的求解:a.公式法:将切点代入圆的方程求解。

b.几何法:通过圆心到切线的垂线求解。

三、圆的内接三角形:1.内接三角形定义:将一个圆放置在一个三角形内,使得三角形的每一边都与圆相切,则称这个三角形为内接三角形。

2.内接三角形的性质:a.每个内接角等于其对应的弧所对的圆心角的一半。

b.三条内角的和等于180°。

c.角平分线上的垂足连线到对边的垂线与切线垂直。

d.内接三角形与圆心连线的中点连线到对边的垂线等于半径。

e.内接三角形的面积等于半周长与半径的乘积。

除了上述知识点外,还可以探讨其他与圆相关的内容,如:1.圆的面积公式:S=πr²。

2.弧长公式:L=2πr(θ/360°),其中θ为圆心角度数。

3.扇形面积公式:S=a/360°*πr²,其中a为弧所对的圆心角度数。

4.球的表面积与体积公式:对于半径为r的球,其表面积为4πr²,体积为(4/3)πr³。

总结:九年级数学中关于圆的知识点主要涵盖了圆的基本性质、圆的方程与切线、圆的内接三角形等内容。

对这些知识点的掌握和理解对于学生的数学学习和解题能力具有重要的意义。

九年级初三 圆 知识点大汇总

九年级初三 圆 知识点大汇总

九年级初三圆知识点大汇总考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义(1)弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

(如图中的AB)(2)直径经过圆心的弦叫做直径。

(如途中的CD)直径等于半径的2倍。

(3)半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

(4)弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)考点三、垂径定理及其推论垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为:过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性,圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角,顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距,从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角,顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

初三数学九年级上《圆》整章知识点复习

初三数学九年级上《圆》整章知识点复习

数学九年级上《圆》复习一、知识点总结1.垂径定理:垂直于弦的直径 这条弦,并且 弦所对的两条弧.平分弦( )的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.2.同圆或等圆中:(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.3.圆心角与圆周角性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数.(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半.(3)同弧或等弧所对的圆周角________,同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________. (4)半圆(或直径)所对的圆周角是______,90°的圆周角所对的弦是________. 4.过 点确定一个圆。

5.直线和圆的位置关系________.________.________.6.切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; (2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线. 7.切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径.8.切线长定理:过圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.9.(1)如果弧长为l ,圆心角的度数为n °,圆的半径为r ,那么弧长的计算公式为l =__________.此时该弧所围成的扇形的面积是计算公式是S= = (2)圆锥的轴截面为由母线.底面直径组成的等腰三角形.圆锥的侧面展开图是一个__________,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________,扇形的半径等于圆锥的__________.因此圆锥的侧面积:S 侧=12l ·2πr =πrl(l 为母线长,r 为底面圆半径);圆锥的全面积:S 全=S 侧+S 底=πrl +πr 2.10.和三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条 的交点,它到三边的距离相等,且在三角形内部.二、知识小检测1.在圆中80°的弧所对的圆心角的度数是_________________. 2.如图,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30°, ∠COB=_______°DF EBAOP3.在直径为10的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如下图所示,如果油面宽AB=8,那么油的最大深度是________________.4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,AB=4,CM 是斜边AB 的中线,以C 为圆心、2为半径画圆,则A 、B 、M 三点中在圆外的是_______________,在圆上的是________________. 5.如图,在⊙O 中,弦AB=1.8,圆周角∠ACB=30°,则⊙O 的直径等于_______________. 6.如图, PA 、PB 、DE 都为⊙O 的切线,切点分别为A 、B 、F ,且PA=6,∠DOE=65º. 则△PDE 的周长为 ;∠APB = ;7.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AD ∥半径OC ,弧AD 的度数为800,则∠BOC = 。

(完整版)初三圆知识点复习总结

(完整版)初三圆知识点复习总结

初三数学圆知识点垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧简单记成:一条直线:①过圆心②垂直弦③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧.......... .一. 一 ____ __ ■_ ___ ______ _____ ___ ______ 0^0 可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ③CE DE ④BC BD ⑤AC任意2个条件推出其他3个结论。

例1.如图,在。

中,弦CD 垂直于直径 AB 于点E,若/ BAD=30。

,且BE=2 ,则CD= .例2 .已知(DO 的直径CD 10cm, AB 是OO 的弦,AB 8cm,且AB CD ,垂足为M ,则AC 的长为(C )A . 2^5cmB . 4扼cm C. 2”5cm 或 4V5cm D . ^3cm 或 4右cm例3、如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连结外圆上的两点 A 、AB 与车轮内圆相切于点D ,做 CDL AB 交外圆于点C .测得 CD=10cm , AB=60cm 个车轮的外圆半径为. 例4、如图,在5 X 5的正方形网格中,一条圆弧 经过A, B, C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是 A.点P B .点Q C .点R D .点M 二、圆周角定理1、圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,等于它所对的圆心的角的一半。

即:ACB 是AB 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论:推论1:半圆或直径所对的圆周角是直角; 推论2:圆内接四边形的对角互补; 由对称性还可知:1、在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等;2、 在同圆或等圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;3、 在同圆或等圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等; 简记:在同圆或等圆中,①弦②圆心角③弧中只要一个相等,其它两个也相等。

九年级常考的圆知识点总结

九年级常考的圆知识点总结

九年级常考的圆知识点总结圆是我们九年级数学中的一个重要知识点,也是经常出现在考试中的内容。

本文将对九年级常考的圆知识点进行总结和归纳,希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、圆的定义和性质圆是平面内所有与一个确定点距离相等的点构成的集合。

其中,确定的点称为圆心,相等的距离称为半径。

圆的性质有很多,包括以下几个重要的方面:1. 圆上任意两点与圆心的距离相等;2. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离;3. 圆的半径垂直于切线;4. 圆的切线与半径的交角是直角;5. 圆的内接四边形的两对对边和相等。

二、圆的基本要素和计算1. 弧度制和度度量制弧度制是一种角度的计量单位,它是以圆的半径长的弧所对的圆心角来定义的。

与之相对的是度度量制,在度度量制中,一个圆被划分成360个度。

在解决圆的相关问题时,我们需要根据具体情况选择使用弧度制还是度度量制。

2. 圆的弧长和扇形面积当我们需要计算圆上两点之间的弧长时,可以使用下列公式进行计算:L = rθ,其中L表示弧长,r表示圆的半径,θ表示弧所对的圆心角的度数或弧度数。

而当我们需要计算一个扇形的面积时,可以使用下列公式:S = 0.5r²θ,其中S表示扇形的面积,r表示圆的半径,θ表示扇形所对的圆心角的度数或弧度数。

三、圆的位置关系和相交性质1. 相离和相切当两个圆没有任何交点时,我们称它们为相离的;当两个圆只有一个公共切点时,我们称它们为相切的。

2. 相交和内切当两个圆有两个交点时,我们称它们为相交的;当一个圆完全包含在另一个圆内部,并且两个圆的圆心重合时,我们称它们为内切的。

四、圆的切线和切点1. 切线的性质圆的切线与半径的交角是直角,这是一个重要的性质。

同时,切线与半径的长度相等。

2. 切点的坐标计算当我们知道切线的方程和圆的方程时,可以通过联立两个方程来求解切点的坐标。

五、圆的证明问题圆的证明问题是考察同学们对圆性质的理解和运用能力的重要环节。

九年级圆知识点总结归纳完整版

九年级圆知识点总结归纳完整版

九年级圆知识点总结归纳完整版圆是初中数学中一个重要的几何概念,它有着广泛的应用。

本文将对九年级圆的相关知识点进行总结和归纳,帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、圆的定义圆是平面上的一个几何图形,由与其内部距离相等的所有点组成。

其中,距离圆心最远的点称为圆上的点,这个距离称为半径,用字母r表示。

圆上的任意两点之间的距离称为弦,圆的直径是一条穿过圆心并且与圆上的两点相接的弦,直径的长度是半径的两倍。

二、圆的性质1. 圆的周长公式:C = 2πr,其中C是圆的周长,r是圆的半径,π是一个无理数,近似值为3.14或22/7。

周长是圆上一周的长度,也可以说是圆的边界长度。

2. 圆的面积公式:A = πr²,其中A是圆的面积。

面积是圆所包围的平面区域的大小。

3. 切线的性质:切线是与圆只有一个交点的直线。

圆与切线相切时,切线与半径的夹角是直角。

4. 弦的性质:圆的直径是最长的弦,且直径平分圆。

如果两弦在圆内或圆上的交点连线通过圆心,则交线垂直于这两条弦。

三、圆的定位1. 圆的内切和外切:当一个圆与一个三角形的三条边都相切时,该圆称为三角形的内切圆;当一个圆与一个三角形的每条边的延长线相切时,该圆称为三角形的外切圆。

2. 圆的相似:两个圆的半径之比等于两个圆的周长之比,它们是相似的。

四、圆的推理与证明1. 直径在同一直线上的圆是同心圆:当两个圆的直径重合时,它们是同心圆。

2. 圆内接四边形的性质:一个四边形能够内切于一个圆的充要条件是,这个四边形的对角线互相垂直。

3. 正多边形外接圆的性质:一个正n边形可以内切与一个圆的充要条件是,这个正n边形的对角线互相垂直。

五、圆的应用1. 圆与三角形的应用:可以利用圆的性质来解决三角形的推理证明题,如证明三角形内切圆的性质、利用相似三角形证明圆的性质等。

2. 圆的平移、旋转和镜像:圆可以通过平移、旋转和镜像等变换来进行操作,这在解决几何问题时有着重要的作用。

初三数学知识点总结归纳圆

初三数学知识点总结归纳圆

初三数学知识点总结归纳圆圆是初中数学中的一个基础概念,它在几何学和代数学中都有重要的应用。

本文将对初三数学中与圆相关的知识点进行总结归纳。

一、圆的定义和基本性质在几何学中,圆是由平面上距离固定点相等的所有点组成的集合。

圆由以下几个要素组成:1. 圆心:圆心是圆上每一个点到圆心的距离都相等的点,通常用字母O表示。

2. 半径:半径是圆心到圆上任意一点的距离,通常用字母r表示。

3. 直径:直径是圆上通过圆心的一条线段,它的两个端点都在圆上。

4. 弦:弦是圆上连接两点的线段,它的两个端点可以在圆内、圆上或圆外。

基本性质:1. 圆上任意两点之间的距离都等于半径的长度。

2. 圆上的任意弦垂直于该弦所对应的圆心角。

3. 圆上的任意弦,如果和圆心的连线垂直,则它所对应的圆心角为直角。

4. 圆上的任意弦和半径所夹的圆心角相等。

5. 圆上的圆心角是弦所对应的两个弧所夹的角的一半。

二、圆的常见问题和计算公式1. 弧长和扇形面积:- 弧长公式:弧长 = 弧所对应的圆心角(单位:弧度) * 半径- 扇形面积公式:扇形面积 = 弧所对应的圆心角(单位:弧度) / 2 * 半径的平方2. 圆的周长和面积:- 周长公式:周长= 2 * π * 半径- 面积公式:面积= π * 半径的平方3. 相关角:- 同位角:同位角是两个弧之间或角之间所对应的相等的角。

- 对顶角:对顶角是两个相交弧所对应的两对相等角。

4. 切线与切点:- 切线是与圆只有一个交点的直线。

切线与半径所构成的夹角是直角。

- 切点是切线与圆的交点,切点到圆心的线段与切线垂直。

三、圆的相关定理1. 弧长和扇形面积等于整个圆的弧长和面积。

- 弧长:一个弧的弧长等于整个圆的弧长(360度)乘以弧所对应的圆心角度数除以360。

- 扇形面积:一个扇形的面积等于整个圆的面积乘以扇形所对应的圆心角度数除以360。

2. 切线与半径垂直- 切线与切点的切线垂直。

3. 弦上的角等于其所对应的弧所对应的圆心角的一半。

(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典

(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典
∴ PA2 PC PB
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
( 4 )割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
(如上图) 。
即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1,正方形 ABCD的边长为 1,以 BC为直径。在正方形内作半圆 于 E,求 DE: AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论,
即:① AOB DOE ;② AB DE ; ③ OC OF ;④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 :半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧
C
是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙ O 中,∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是
C
直角三角形。
即:在△ ABC 中,∵ OC OA OB
B
A
推论 1:( 1 )平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2 )弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3 )平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系:两圆相交于两点,相切于一点,相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系:内切圆和外切圆的切点在圆心连线上,内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释:在解决两圆位置关系问题时,需要注意圆心的位置关系,切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1.切线的定义:过圆上一点,且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2.切线的性质:1)切线与半径的关系:切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理:切线与半径的关系可以推出切线定理:过圆外一点作圆的切线,切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法:切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释:切线是圆的一个重要性质,切线定理是判定切线的重要工具,切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1.圆的面积公式:S=πr².2.弧长公式:L=αr(α为圆心角的度数).3.扇形的面积公式:S=(α/360°)πr².要点诠释:圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式,扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的侧面积公式:S=πrl.2.圆锥的全面积公式:S=πr(l+r).要点诠释:圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式,其中l为斜高,r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形,其对称轴是连接两圆心的直线。

2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦,相切的两个圆的连心线经过切点。

4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。

圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。

2) 圆周角是顶点在圆上,两边都与圆相交的角度。

圆周角的性质包括:①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半;②同弧或等弧所对应的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对应的弧相等;③90度的圆周角所对应的弦为直径;半圆或直径所对应的圆周角为直角;④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角。

初三数学圆知识点归纳实用精选

初三数学圆知识点归纳实用精选

初三数学圆知识点归纳实用精选初三数学圆知识点归纳1.点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>dd>r.二.圆的对称性:1.与圆相关的概念:④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

4.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对弧也相等;推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;四.确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.初三数学圆知识点总结初中数学知识点总结:圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系,我们做下面的知识点总结学习。

九年级数学圆的知识点总结大全

九年级数学圆的知识点总结大全

第四章:《圆》一、知识回顾圆的周长: C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr²圆环面积计算方法:S=πR²-πr²或S=π(R²-r²)(R是大圆半径,r是小圆半径)二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;A四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+; 内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级圆的常考知识点总结

九年级圆的常考知识点总结

九年级圆的常考知识点总结圆是我们日常生活中经常遇到的几何对象之一,也是数学中非常重要的一个概念。

在九年级的几何学习中,圆的相关知识点常常被考察。

下面,我将总结一些九年级圆的常考知识点,帮助大家更好地理解和掌握。

一、圆的定义与性质圆是平面上到一定距离的点的集合,这个固定距离称作圆的半径。

根据圆的定义,我们可以得出一些重要的性质:1. 圆心和半径:圆心是到圆上任意一点的距离相等的点,半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

根据这一性质,我们可以得到等半径的圆是同心圆,同心圆的圆心是重合的。

2. 直径与半径:直径是通过圆心的一条线段,且两个端点都在圆上。

直径与半径之间有一个简单的关系:直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧与弦:圆上两点之间的线段称为弦,而弧则是圆上两点之间的弧段。

一个弧对应一个弦,一个弦对应一个弧。

需要注意的是,对于同一条弧来说,不同的弦对应不同的拱长。

二、圆的角度与弧度1. 圆周角:以圆心为顶点的角称为圆周角,其对应的圆周称为全角。

在圆周角中,如果其度数为360度,则与之对应的全角是整个圆周。

2. 弧度制:弧度是一个用于衡量角度的单位,弧度制也是描述角度的重要方法之一。

一圆周等于2π弧度,即360度约等于6.28弧度。

弧度与度数之间的换算关系是π弧度=180度。

三、圆的内切与外接1. 内切与外切圆:如果一个圆与一个三角形的三条边都相切,那么这个圆就是这个三角形的内切圆。

类似地,如果一个圆与一个三角形的三条边的延长线都相切,那么这个圆就是这个三角形的外接圆。

2. 欧拉公式:对于任何一个三角形,其外心、内心和重心三点共线,且它们的连线互相垂直并且交于一点,这一点称为费马点。

欧拉公式指出,三角形的外心、内心和重心这三个点的连线长度之间有一定的关系。

四、圆的面积与周长1. 面积:圆的面积公式是S=πr²,其中S表示圆的面积,r表示圆的半径。

圆的面积是它的半径的平方乘以π。

需要注意的是,圆的面积没有单位,因为π是一个常数。

中考数学圆知识点总结5篇

中考数学圆知识点总结5篇

中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线,这个定点称为圆心,定长称为半径。

圆有无数条对称轴,对称轴经过圆心。

圆具有旋转对称性,任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。

二、圆的性质1. 圆心距性质:任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的,两圆外离;任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的,两圆内含;任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的,两圆相交。

2. 切线性质:圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。

3. 圆的幂性质:如果两条弦与同一条直径垂直,那么这两条弦所对的直径段相等。

4. 圆锥曲线性质:以圆锥的底面直径为长轴,以圆锥的高为短轴的椭圆,叫做圆锥椭圆。

圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。

双曲线类似。

三、圆的应用1. 在建筑设计中,可以利用圆的旋转对称性,设计出美观大方的建筑外观。

如圆形广场、圆形剧场等。

2. 在机械制造中,许多零部件都是圆形或环形的设计,如轴承、齿轮等。

这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。

3. 在电子科技领域,许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计,如电容、电感等。

这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。

4. 在生物学和医学领域,许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计,如人体的大脑、心脏等。

对于这些结构和器官的研究和理解,有助于我们更好地认识生命的奥秘。

四、圆的解题技巧1. 圆的题目中,常常会出现一些隐含的条件,如切线的性质、圆的幂性质等。

我们需要认真分析题目中的条件,找出这些隐含的条件,并加以利用。

2. 对于一些复杂的题目,我们可以利用几何软件进行辅助分析,如使用CAD软件进行绘图分析,可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。

3. 在解题过程中,我们需要注重几何语言的准确性和规范性,避免出现混淆概念、计算错误等问题。

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《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒无交点⇒d R r>+;外切(图2)⇒有一个交点⇒d R r=+;A相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+; 内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD图4图5BD例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是( )A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2.下列命题中,正确的是( ).A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为________cm.3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .(1)求证:四边形OEHF 是正方形. (2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD ⊥BC 于D ,求证:AD=21BF.例题3、度数问题1、已知:在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知:⊙O 的半径1=OA ,弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE=6cm ,EB=2cm ,∠BED=30°,求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB ∥CD ,求:AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB ,交小圆于C 、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证:22b a BD AD -=⋅.AB DCEOOAE F例题7、平行与相似已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,于CD AE ⊥E ,CD BF ⊥于F .求证:FD EC =.六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。

此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。

即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径F EDCBAOCBAODCBAOCBAO推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?【例2】如图,已知⊙O 中,AB 为直径,AB=10cm ,弦AC=6cm ,∠ACB 的平分线交⊙O 于D ,求BC 、AD 和BD 的长.【例3】如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,OD ∥BC ,交AC 于D ,BC=4cm .(1)求证:AC ⊥OD ; (2)求OD 的长; (3)若2sinA -1=0,求⊙O 的直径.【例4】四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BC=b ,AB=AC=AD=a ,如图,求BD 的长.CBAO【例5】如图1,AB 是半⊙O 的直径,过A 、B 两点作半⊙O 的弦,当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时,则有AC ·AC +BC ·BC=AB 2.(1)如图2,若两弦交于点P 在半⊙O 内,则AP ·AC +BP ·BD=AB 2是否成立?请说明理由. (2)如图3,若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点,则AB 2=.参照(1)填写相应结论,并证明你填写结论的正确性.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。

即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠例1、如图7-107,⊙O 中,两弦AB ∥CD ,M 是AB 的中点,过M 点作弦DE .求证:E ,M ,O ,C 四点共圆.EDCBA九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理:即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠利用切线性质计算线段的长度例1:如图,已知:AB 是⊙O 的直径,P 为延长线上的一点,PC 切⊙O 于C ,CD ⊥AB 于D ,又PC=4,⊙O 的半径为3.求:OD 的长.NMOBO利用切线性质计算角的度数例2:如图,已知:AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C,AE⊥CD于E,BC的延长线与AE的延长线交于F,且AF=BF.求:∠A的度数.利用切线性质证明角相等例3:如图,已知:AB为⊙O的直径,过A作弦AC、AD,并延长与过B的切线交于M、N.求证:∠MCN=∠MDN.利用切线性质证线段相等例4:如图,已知:AB是⊙O直径,CO⊥AB,CD切⊙O于D,AD交CO于E.求证:CD=CE.利用切线性质证两直线垂直例5:如图,已知:△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于D ,DE 切⊙O 于D ,交AC 于E .求证:DE ⊥AC .十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。

即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅PO DCBAO EDCBADCBPAO(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线⋅=⋅∴PC PB PD PE例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。

在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=_________cm。

图2例3.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:PB=1:4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3例4.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,(1)求证:;(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。

图4例5.如图5,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。

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