含三角函数的导数问题

v1.0 可编辑可修改1．已知函数f(x)＝－cos x ＋ln x，则f′(1)的值为( )

A．sin1－1 B．1－sin1

C．1＋sin1 D ．－1－sin1

答案C

解析∵f(x )＝－cos x ＋ln x，∴f′(x )＝1

x

＋sin x，∴

f′(1)＝1＋sin1.

2．曲线y ＝tan x在x＝－

π

4

处的切线方程为______

答案

y＝2x＋

π

2

－1

解析y′＝(

sin x

cos x

)′＝

cos2x＋sin2x

cos2x

＝

1

cos2x

，所以在x＝－

π

4

处的斜率为2，曲线y＝tan x在x＝－

π

4

处的切线方程为y＝2x＋

π

2

－1.

3．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________．

答案(

π

3

，

5π

3

)

∴函数y＝x－2sin x在(0,2π)内

的增区间为(

π

3

，

5π

3

)．

4. 函数()2sin

f x x x

=+的部分图象可能是

A B C D

5．已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，f(－4)，f(

4π

3

)，f(－

5π

4

)的大小关系为______(用“<”连接)．

O

y

x O

y

x O

y

x O

y

x

答案 f (

4π3)

)． 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[

5π4，4π

3

]时，sin x <0，cos x <0， ∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π

3

]时为减函数， ∴f (4π3)

4)，又函数f (x )为偶函数， ∴f (

4π3)

)． 6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．

解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1， 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π

4

)．

令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π

4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π

2.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2，2π)，单调递减区

间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π

2

，极大值为f (π)＝π＋2.

7． 已知函数2

()sin cos f x x x x x =++

（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。 解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+

因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =

所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b +=⎧⎨++=⎩

，解得0

1a b =⎧⎨=⎩

（2）因为2cos 0x +>

所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增 当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =， 所以b 的取值范围是(1,)+∞

8.已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈.

（Ⅰ）当π

2a =时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π

2

a >时，求函数()f x 的单调区间.

解：（Ⅰ）当π

2a =

时，π()()sin cos ,(0,)2

f x x x x x π=-+∈ π

'()()cos 2

f x x x =- --------------------------------1分

由'()0f x =得π

2

x = --------------------------------------2

分

(),f x f 的情况如下

--------------------------------------------------4分

因为(0)1f =，(π)1f =-， 所

以

函

数

()f x 的值域为(1,1)-.

---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-， ①当

π

π2

a <<时，(),'()f x f x 的情况如下

-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π

(,)2a ，单调减区间为π(0,)2

和(,π)a ②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下

------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2

.