空间向量及其运算

7
【知识拓展】 1．向量三点共线定理：在平面中 A、B、C 三点共线的充要 条件是：O→A＝xO→B＋yO→C(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点. 2．向量四点共面定理：在空间中 P、A、B、C 四点共面的充 要条件是：O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)，O 为空间中 任意一点.
【答案】 C
12
2．(2018·大连模拟)向量a＝(－2，－3，1)， b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论 正确的是( )
A．a∥b，a∥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
【解析】 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2， －3，1)＝2a，
13
3．与向量(－3，－4，5)共线的单位向量 是________．
15
4．如图，在四面体 O-ABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则O→E＝________．(用 a，b，c 表示)
16
【解析】 O→E＝21O→A＋21O→D＝21O→A＋41O→B＋14O→C ＝21a＋41b＋41c. 【答案】 12a＋14b＋14c
21
【思维升华】 用已知向量表示某一向量 的方法
用已知向量来表示未知向量，一定要结合 图形，以图形为指导是解题的关键．要正确 理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在 22
跟踪训练 1 (2018·青岛模拟)如图所示，在空间几何体 ABCD­ A1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M， N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各 向量：
＝－21a＋a＋c＋12b ＝21a＋21b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝21B→C＋A→A1 ＝21A→D＋A→A1＝21c＋a， 所以M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝23a＋21b＋23c.
19
(2)三棱锥 O-ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
20
【解析】 M→G＝M→A＋A→G＝21O→A＋32A→N ＝21O→A＋32(O→N－O→A) ＝21O→A＋3212（O→B＋O→C）－O→A ＝－61O→A＋31O→B＋31O→C. O→G＝O→M＋M→G＝21O→A－61O→A＋13O→B＋13O→C ＝31O→A＋31O→B＋31O→C.
§8.6 空间向量及其运算
1．空名间称向量的有关概概念念
零向量
模为_0_的向量
单位向量
长度(模)为_1_的向量
相等向量 方向_相__同__且模_相__等__的向量
表示 0
a＝b
1
相反向量 方向相__反__且模相__等__的向量 表示空间向量的有向线段所在
共线向量 的直线互相_平__行__或__重__合__的向量
3
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，xa＋那yb么＋z对c 空 间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}， 使得p＝______________，{a，b，c}叫做空 间的一个基底.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
4
5
②两向量的数量积
|a||b|cos〈a，b〉
a的相反 向量为－a
a∥b
共面向量 平行于同一个_平__面__的向量
2
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存
在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理
xa＋yb
ຫໍສະໝຸດ Baidu
共面向量定理的向量表达式：p＝________， 其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(1)A→P； (2)M→P＋N→C1.
23
【解析】 (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋21D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋21b. (2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P
24
已知空间两个非零向a·量b a，b，则
_______________叫做向量a，b的数量积， 记作____，即a·b＝λ|a(a||·bb)|cos〈a，b〉．
b·a
(2)空间向量数量积的a·b运＋a算·c 律
①结合律：(λa)·b＝_______；
6
4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
14
【解析】 因为与向量 a 共线的单位向量是±|aa|，又因为向量
(－3，－4，5)的模为 （－3）2＋（－4）2＋52＝5 2，所以与向
量(－3，－4，5)共线的单位向量是±5
1
2(－3，－4，5)＝±
2 10
(－3，－4，5)．
【答案】
3102，25 2，－
22和－3102，－25 2，
2
2
B.12a2
C.14a2
D. 43a2
10
【解析】 如图，设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝|c| ＝a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60°.A→E＝12(a＋b)，A→F＝21c，
11
∴A→E·A→F＝21(a＋b)·21c＝41(a·c＋b·c)＝14(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝14a2.
17
题型一 空间向量的线性运算 【例 1】 (1)如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．用A→B，A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝________．
18
【解析】 O→C＝21A→C＝21(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝21(A→B＋A→D)＋A→A1 ＝21A→B＋21A→D＋A→A1. 【答案】 12A→B＋12A→D＋A→A1
8
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打 “√”或“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共 面．( )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝ a·(b·c)．( )
9
1．已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，
AD 的中点，则A→E·A→F的值为( )
A．a2