概率分布期望方差(大全)

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X 的分布列； （2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解 （1）P （X=0）=
33
A 2=
3
1
； P （X=1）=
33
13A C =
21；P （X=3）=33
A 1
=61； ∴随机变量X 的分布列为
（2）E （X ）=1×21+3×6
1
=1. D （X ）=(1-0)2
·
31+(1-1)2·21+(3-1)2
·6
1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的分布列； （2）X 的均值.
解 （1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P （X=0）=3
109⎪⎭
⎫
⎝⎛=0001729；
P （X=10）=101×2
109⎪⎭⎫
⎝⎛+10
9×12C ×
101×109=0001243; P(X=20)= 101×12C ×
10
1×109=000118; P(X=50)=109
×210
1=00019;
P(X=60)=
3
101 =
000
11
. 故X 的分布列为
（2）E （X ）=0×
0001729+10×0001243+20×000
118+50×00019+60×00011
=3.3(元). 3（本小题满分13分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生
产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优
等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产
品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

解：（1）
98
7,573514
=⨯=，即乙厂生产的产品数量为35件。

（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的
优等品2,5
故乙厂生产有大约2
35145
⨯
=（件）优等品， （3）ξ的取值为0，
1，2。

211
23323222
555331
(0),(1),(2)10510
C C C C P P P C C C ξξξ⨯=========
所以ξ的分布列为
故012.105105
E ξξ=⨯+⨯+⨯+=的均值为
4湖南理18．（本小题满分12分）
始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。

（Ⅰ）求当天商品不进货的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。

4．解（I ）P （“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”）P
+（“当天商品销售量为1件”）.10
3
205201=+=
（Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3. P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;4
1205==
P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售
量为2件”）P +（“当天商品销售量为3件”）
.4
3
205209201=++=
故X 的分布列为
X 的数学期望为.4
4342=⨯+⨯
=EX 5、江西理16．（本小题满分12分）
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100
元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X 的分布列；
（2）求此员工月工资的期望。

．（本小题满分12分）
解：（1）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4
1444
4
5()(0,1,2,3,4)i
C C P X i i C -===
即
（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500
1(3500)(4)70
8(2800)(3)35
53
(2100)(2)70
11653
3500280021002280.
707070
P Y P X P Y P X P Y P X EY ========
==≤=
=⨯+⨯+⨯=则
所以新录用员工月工资的期望为2280元.
6、辽宁理（19）（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
（I ）假设n =4，
在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，
求X 的分布列和数学期望；
（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲
2
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附
：
样
本
数
据
n
x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差
])()()[(1
222212x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．
6．解：
（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且
4813444
822444
831
444
8
4811(0)
,70
8
(1),
3518
(2),358
(3),3511(4).70
P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ==
============
=
即X 的分布列为
………………4分
X 的数学期望为
181881()01234 2.7035353570
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分
（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
222222221
(403397390404388400412406)400,
8
1
(3(3)(10)4(12)0126)57.25.
8
x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
2
222222221
(419403412418408423400413)412,
8
1(7(9)06(4)11(12)1)56.
8
x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 7、山东理18．（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望
E ξ.
7．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，
乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，
则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件。

因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 由对立事件的概率公式知
()0.4,()0.5,()0.5,P D P E P F ===
红队至少两人获胜的事件有：
,,,.DEF DEF DEF DEF
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为
()()()()
0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.
P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。

又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，
因此(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯=
(1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++
0.40.50.50.40.50.50.60.50.5
0.35
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=
由对立事件的概率公式得
(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--=
所以ξ的分布列为：
因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
20．解（Ⅰ）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i
表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得
P （A 1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P （A 2）=0．1+0．4=0．5，
P （A 1） ＞P （A 2）,
∴甲应选择L
i
P （B 1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，
P （B 2） ＞P （B 1）,
∴乙应选择L
2．
（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知()0.6,()0.9P A P B ==,又由题意知，
A,B 独立，
(0)()()()0.40.10.04P X P AB P A P B ∴====⨯= (1)()()()()()P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+
0.40.90.60.10.42=⨯+⨯=
(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ====⨯=
∴00.0410.4220.54 1.5.EX =⨯+⨯+⨯=
8、四川理18．（本小题共12分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率
分别为
11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24
；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ； 8．解析：
（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111
428
P =
⋅=，付2
元为2111248P =
⋅=，付4元为31114416
P =⋅= 则所付费用相同的概率为123
5
16
P P P P =++= （2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8
1(0)8
11115(2)442216
1111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416
P P P P P ξξξξξ
====⋅+⋅=
==⋅+⋅+⋅===⋅+⋅=
==⋅=
84822
E ξ=+++=
9、天津理16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2
个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，
（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 9．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、
互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的
实际问题的能力.满分13分.
（I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),
i A i ==则
21
32322531
().5
C C P A C C =⋅=
（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则2
3B A A =，又
22111
3222222222
53531
(),2
C C C C C P A C C C C =⋅+⋅= 且A 2，A 3互斥，所以23117
()()().2510
P B P A P A =+=
+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.
212
279(0)(1),10100
7721(1)(1),101050749
(2)().
10100
P X P X C P X ==-
===-==== 所以X 的分布列是
X 的数学期望()012.100501005
E X =⨯+⨯+⨯=
10重庆理17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望 10．（本题13分）
解：这是等可能性事件的概率计算问题.
（I ）解法一：所有可能的申请方式有34
种，恰有2人申请A 片区房源
的申请方式22
42C ⋅种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为
2244
28
.273
C ⋅= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1
().3
P A =
从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为
222
44128(2)()().3327
P C ==
（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又
42132224
3244234431(1),27
3()(22)1414
(2)((2))
272733P C C C C C C P P ξξξ==
=+-======或 12123
3424344
44
(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或
综上知，ξ有分布列
从而有
114465123.2727927
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
11.（2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这
3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.
解 （1）设ξ1、ξ2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则
方案甲中ξ1的分布列为
方案乙中ξ2的分布列为
若甲化验次数不少于乙化验次数,则
P=P(ξ1=1)×P(ξ2=1)+P(ξ1=2)×［P(ξ2=1)+P(ξ2=2)］+P(ξ1=3)×［P(ξ2=1)+P(ξ2=2)+P(ξ2=3)］+P(ξ1=4) =0+
51×（0+53）+51×（0+53+52）+52=25
18=0.72. (2)E （ξ）=1×0+2×
53+3×52=5
12
=2.4. 12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1. （1）求乙投球的命中率p ；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B. 由题意得(1-P(B))2
=(1-p)2
=16
1
, 解得p=
43或p=45（舍去），所以乙投球的命中率为4
3.
（2）由题设和（1）知P(A)=21,P(A )=21,P(B)= 4
3, P(B )=
4
1. ξ可能的取值为0，1，2，3，故
P(ξ=0)=P(A )P(B ∙B )=21×2
41⎪⎭⎫
⎝⎛=32
1,
P(ξ=1)=P(A)P(B ∙B )+12C P （B ）P （B ）P （A ） =21×2
41⎪⎭⎫
⎝⎛+2×43×41×21=327, P(ξ=3)=P(A)P(B ·B)=21×2
43⎪⎭⎫ ⎝⎛=32
9,
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
32
15
. ξ的分布列为
ξ的数学期望
E （ξ）=0×
321
+1×327+2×3215+3×32
9=2. 13.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数. （1）求ξ的分布列、期望值及方差； （2）求η的分布列、期望值及方差. 解 （1）ξ的可能值为0，1，2. 若ξ=0，表示没有取出次品，其概率为： P （ξ=0）=
312
31002C C C =
11
6; 同理，有P （ξ=1）
=312
21012C C C =
229；P （ξ=2）=312
11022C C C =221
.
∴ξ的分布列为：
∴E （ξ）=0×
11
6+1×229+2×221=21.
D （ξ）=(0-21)2×116+2
211⎪⎭⎫ ⎝⎛-×229+2
212⎪⎭
⎫
⎝⎛-×221
=
223+889+889=44
15
. (2)η的可能值为1，2，3，显然ξ+η=3. P(η=1)=P(ξ=2)=221,P(η=2)=P(ξ=1)=22
9, P(η=3)=P(ξ=0)=
11
6. ∴η的分布列为：
E （η）=E （3-ξ）=3-E （ξ）=3-21=2
5. ∵η=-ξ+3，∴D （η）=（-1）2
D （ξ）=
44
15. 14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.
（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； （2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列. 计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？ 解 （1）设ξ为损失数，分布列为：
∴E （ξ）=3 000×0.3=900（元）.
（2）设η为损失数，则 P （η=0）=0.7×0.8=0.56.
P(η=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38. P （η=3 000）=0.3×0.2=0.06.
分布列为：
∴E （η）平均每天损失为370元.
∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.
15.（2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. （1）求ξ的分布列、期望和方差；
（2）若η=a ξ+b,E （η）=1,D （η）=11,试求a,b 的值. 解 （1）ξ的分布列为
∴E （ξ）=0×
21+1×201+2×101+3×203+4×5
1=1.5.
D （ξ）=(0-1.5)2
×21+(1-1.5)2×201+(2-1.5)2×10
1+(3-1.5)2×203+(4-1.5)2
×
5
1
=2.75. (2)由D （η）=a 2D （ξ）,得a 2
×2.75=11,即a=±2. 又E （η）=aE （ξ）+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
∴⎩⎨⎧-==,2,2b a 或⎩
⎨⎧=-=42
b a 即为所求.
16.A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A 有效的概率为
32，服用B 有效的概率为2
1
. （1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.
解 （1）设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2. 依题意有 P （A 1）=2×31×32=9
4
, P （A 2）=32×32=9
4. P(B 0)=
21×21=41, P(B 1)=2×
21×21=2
1
. 所求的概率为
P=P(B 0 A 1)+P （B 0 A 2）+P （B 1 A 2） =
41×94+41×94+21×94=9
4. （2）ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B(3,
9
4
). P （ξ=0）=3
95⎪⎭⎫ ⎝⎛=729125
，
P （ξ=1）=13
C ×94×2
95⎪⎭
⎫ ⎝⎛=243100
,
P(ξ
=2)=2
3
C ×2
94⎪⎭
⎫
⎝⎛×95=24380,
P(ξ=3)=3
94⎪⎭
⎫
⎝⎛= 72964.
ξ的分布列为
数学期望E （ξ）=0×
729125+1×243100+2×24380+3×72964=3
4
.。