1正弦定理(1)

五、小结
1.正弦定理: a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径 2.应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角
注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定 理求第三角，再用正弦定理求另两边．
题型二: 已知两边和其中一边的对角，求出三角 形的另一边和另外两个角. 注意有两解、一解、无解三种情况（求角B时应检验！）
三、例题讲解 题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另 一边和另外两个角. 例3.在△ABC中，A=60º，a 3 ,b 1 ，解此三角形．
解:由正弦定理可得 sin B b sin A 1 sin60o 1
a
3
2
Q 0o B 180o 由bB＜a，30Ao=,或60Bo,可 1知50Bo＜A
三、例题讲解
例4 在△ABCBaidu Nhomakorabea,A=45º，a 6,b 4 ,这样的三角形有_1_个
1.画∠PAQ=45º
P
2. 在AP上取AC=b=4
C
3.以C为圆心,a=6为半径画弧,
ba
弧与AQ的交点为B
A 45°
BQ
三、例题讲解 已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况 (一)当A为锐角
a≥b 一解
A的范围 A为钝角或直角
A为锐角
a,b关系 a＞b a≤b
a＜bsinA a=bsinA bsinA＜a＜b
a≥b
解的情况 一解 无解 无解 一解 两解 一解
四、练习
1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c， 则下列关系一定成立的是 ( D ) A．a>bsinA B.a=bsinA C.a<bsinA D．a≥bsinA
3.利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三 角形的各种情况（注意已知角的分类）
六、作业
1.在△ABC中,若b=2a,Ｂ=Ａ+60ｏ，求角A的大小。
在△ABC中，A=45º，a 6,b 4 ，解此三角形．
变式:
(1)在△ABC中，A=45º，a 3,b 4 ，解此三角形．
(2)在△ABC中，A=45º，a 2 2 ,b 4 ，解此三角形．
2.在△ABC中,由已知条件解三角形,下列有两解的是( C )
A．b=20, A=45º, C=80º B．a=30, c=28, B=60º C．a=14, b=16, A=45º D．a=12, c=15, A=120º
※判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤(适合填空或选择题)： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系.
(3)在△ABC中,A=45º，a 2,b 4 ,这样的三角形有_0_个_
(4)在△ABC中,A=135º，a 6,b 4 , 这样的三角形有_1_个_
(5)在△ABC中,A=135º，a 3,b 4 ,这样的三角形有__0_个
若已知三角形的两条边及其中一边的对角（若已知 a、b、A的值），则可用正弦定理求解，且解的情 况如下
a
为0，即无解；
（2）若 sin B b sin A 1, 则满足条件的三角形的个数
为1；
a
（3）若
sin B
b sin A 1, a
则满足条件的三角形的个
数为1或2.显然由 0 sin B bsin A 1 可得B有两个值，
a
一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大角对大边”“三
角形内角和为1800”等，此时需要进行讨论.
(二)当A为钝角
bsinA<a<b 两解
a>b 一解
a≤b 无解
bsinA=a bsinA>a
一解
无解
(三)当A为直角
C a
b
C a
b
A
a>b 一解
A
a≤b 无解
P
C ba
变式:
A 45°
BQ
(1)在△ABC中,A=45º，a 3,b 4 ,这样的三角形有_2_个_
(2)在△ABC中,A=45º，a 2 2 ,b 4,这样的三角形有_1_个_
B 30o ∴C=180º-(A+B)=90º
c a sinC sin A
3 sin90o sin 60o
2
三、例题讲解 题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另 一边和另外两个角. 若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下： （1）先利用 a b 求出sinB，从而求出角B；
sin A sin B 注意：求角B时应注意检验！
（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；
（3）再利用 a c 求出边c. sin A sin C
总结：从代数的角度分析“已知两边和其中一边 的对角，求另一边对角”时三角形解的情况，下 面以已知a、b、A，解三角形为例加以说明.
（1）若 sin B bsin A 1, 则满足条件的三角形的个数
(3)在△ABC中，A=45º，a 2,b 4 ，解此三角形．
六、作业 2.在△ABC中，已知b=2a,B=A+60ｏ，求角A的大小。
3.(1)在△ABC中，已知b= 2,c=1，B=45°,解此三角形. (2)在△ABC中，已知a= 3 ,b= 2 , B=45°,解此三角形.
4.在△ABC中，已知 a 3 3, c 3 3,C 15 ,求此 三角形的面积．