金属橡胶材料的非线性刚度

收稿日期 : 2007 - 06 - 12 作者简介 : 李宇燕 (1974 —) ,女 ,讲师 。E2mail :wangwei @opt . ac. cn ; 黄协清 (1940 —) ,男 ,教授 ,博士生导师
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兵 工 学 报
第 29 卷
试件力位移回归方程 。姜洪源等人[7 ] 通过试验建 模的方法 ,推导出金属橡胶环形隔振器弹性模量的 计算公式以及金属橡胶环形隔振器平均刚度与金属 丝直径 、环形隔振器的几何参数 、金属橡胶元件的相 对密度之间的关系 。从以上分析可以看出前人在金 属橡胶非线性刚度研究方面大多局限于试验研究 , 而对材料的刚度理论预估研究较少 。
描述 。
金属橡胶材料不仅是一种多孔材料 , 而且它还
是一种干摩擦阻尼材料 ,它变形后的恢复力 F 由记
忆恢 复 力 F2 [ X ( t)
,
·
X
(
t)
,
t ]和无记忆恢复力
F1 [
X(
t)
,
·
X(
t)
] 组成[10 -
11 ] 。记忆恢复力可用双
折线本构关系近似描述 ,而无记忆恢复力可表示为
·
F1 [ X ( t) , X ( t) ] =
1 金属橡胶材料的非线性本构关系的建立
金属橡胶材料是一种在基体内部随机分布着大 量孔洞的多孔材料 , 因此多孔材料理论适用于金属 橡胶材料 。下面介绍多孔材料的本构关系 。
假定 :1) 在单轴压缩方向多孔材料的各个孔洞 的力学性能是一样的 ;2) 在单轴压缩方向多孔材料 是连续性介质 ;3) 忽略多孔材料在静态载荷作用下 孔壁材料的轴向位移和剪切位移 , 而只考虑孔壁材 料的弯曲位移[3 - 6 ] 。在以上三个假定的基础上建 立多孔材料的结构模型 ,如图 1 所示 ,模型为中空的 立方体 ,孔壁横截面为正方形 , 长度为 l , 壁厚为 t , 梁在中点受压缩载荷 F 作用 , 模型受压后的压缩图 如图 2 所示 。本文所研究的金属橡胶材料实际的孔 洞组织结构类似于中空立方体结构 , 因此针对多孔 材料所做的假设以及建立的模型也适用于金属橡胶 材料 。
工程上制作金属橡胶结构 , 希望知道该结构的 刚度 ,而金属橡胶结构的刚度与材料形状因子密切 相关 ,为此 ,本文以金属橡胶材料的非线性本构关系 为基础 ,推导出材料刚度的理论表达式 ,深入系统地 研究了金属橡胶材料形状因子对材料结构刚度的影 响 ,运用最小二乘法进行多项式拟合 ,得到该材料的 刚度与材料高度的变化关系式 , 从而实现了对材料 的结构刚度的预估 , 为材料的快速制作和设计提供 理论依据 。
第 29 卷第 7 期 2 0 0 8年7月
兵工学报 ACTA ARMAM EN TARII
Vol. 29 No. 7 J ul. 2008
金属橡胶材料的非线性刚度
李宇燕1 , 黄协清2
(11 西安工业大学 机电工程学院 , 陕西 西安 710032 ; 21 西安交通大学 机械工程学院 , 陕西 西安 710049)
L I Yu2yan1 , HUAN G Xie2qing2
(11Department of Mechanical and Electrical Engineering , Xi’an Technological University , Xi’an 710032 , Shaanxi , China ; 21Department of Mechanical Engineering , Xi’an Jiaotong University , Xi’an 710049 , Shaanxi , China)
材料结构刚度可表示为
K=
F X
,
(11)
将式 (9) 代入式 (11) ,可得加载情况下金属橡胶材料
的结构刚度
K= A
E0 hd4 Sρ3 2 192 d5h Lρ2s
+B
E0 hd4 Sρ3 2 192 d5h L 2ρ2s
X+
C
E0 hd4 Sρ3 2
192
d
5 h
Abstract : On t he basis of t heory of porous materials , in terms of nonlinear t heory of dry f riction , and combined wit h t he model of small curved beam , t he nonlinear constit utive relation of metal2rubber was const ructed. The dynamic experiment s were made for tempered hollow cylinder of metal2rubber. The st ruct ural stiff ness and t he nat ural f requency were obtained. The stiff ness f rom t heoretical model was compared wit h t hat f rom experiment . It is found t hat t he former is consistent wit h t he later , t he mod2 el of t he stiff ness f rom nonlinear constit utive relation based on porous materials t heory can correctly de2 scribe nonlinear stiff ness of metal2rubber. Key words : composite material ; metal2rubber ; porous materials t heory ; shape factor ; nonlinear stiff2 ness
图 1 多孔材料的结构模型 Fig. 1 The t hree2dimensional structure of porous materials
根据材料力学知识可得到以下关系式
σ=
Esρ3 2 72ρ2s
ε.
(1)
式中 :σ是压缩应力 ;ε是压缩应变 ; Es 是孔壁材料
的弹性模量 ;ρ3 是多孔材料的密度 ;ρs 是孔壁材料
基本能描述金属橡胶材料的非线性刚度特性 。
关键词 : 复合材料 ; 金属橡胶材料 ; 多孔材料理论 ; 形状因子 ; 非线性刚度
中图分类号 : T G14611
文献标志码 : A
文章编号 : 100021093 (2008) 0720819205
Nonl inear Stiffness of Metal2Rubber
通过对金属橡胶材料的非线性本构关系进行系 统的研究 ,发现该材料的刚度是非线性的 ,研究金属
橡胶材料的非线性刚度特性对分析该材料的迟滞特 性及动态性能具有重要的理论意义 。国内外专家学 者在该方面进行了大量的探索和研究 , 并取得了丰 硕的研究成果 。前苏联萨玛拉国立航空航天大学的 学者们[1 ]对金属橡胶材料的刚度特性做了系统的 研究 ,得到了刚度与相对变形幅值的变化规律 。哈 尔滨工业大学王少纯等人[2 ] 对圆环状金属橡胶试 件进行了月球温度范围内的准静态刚度试验 , 得出 了力位移试验曲线 , 采用最小二乘法对试验曲线进 行了数据拟合 ,用 Matlab 编程计算得出了金属橡胶
摘要 : 以多孔材料理论为基础 ,以干摩擦非线性理论为依据 ,并结合小曲梁模型建立了金属橡
胶材料的非线性本构关系 ,对经回火处理的金属橡胶结构进行动态试验 ,得到了材料的结构刚度及
其系统的固有频率 ,将由理论模型计算出来的刚度和由实验测得的刚度进行比较 ,发现理论和实验
吻合较好 ,说明由多孔材料理论建立的金属橡胶材料的非线性本构关系推导出来的刚度理论模型
的密度 ;ρ3 /ρs 是初始相对密度 。 而
σ=
F S
,
(2)
ε=
X L
,
(3)
S 、X 、L 分别为多孔材料的受压面积 、压缩量 、原高
度 。将 (2) 、(3) 式代入 (1) 式 ,可得
F=
Es Sρ3 2 72 Lρ2s
X,
(4)
(4) 式 是 对 多 孔 材 料 的 力 2位 移 关 系 的 近 似 线 性
金属橡胶材料是将金属丝卷成螺旋形 , 经过编 织 ,加压成型 ,并经热处理而成的金属材料 , 它不仅 具有类似橡胶的弹性性质 , 而且它还是一种多孔材 料 。金属橡胶材料将弹性与多孔性集于一身是其它 材料所无法替代的 , 它有阻尼大 、吸收冲击能 、耐高 低温作用 、不易老化等特点 ,金属橡胶材料作为隔振 器件在军事 、航空航天 、汽车等领域日益得到广泛地 重视 。
由以上非线性特性分析结果对 (4) 式进行修正 , 可得加载情况下金属橡胶材料的力与位移的非线性
第 7 期
金属橡胶材料的非线性刚度
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图 2 多孔材料的三维结构受压后的变形图 Fig. 2 The deformation of t he t hree2dimensional structure
X+ G
Es Sρ3 2 72 L 2ρ2s
X2 +
H
Es Sρ3 2 72 L 3ρ2s
X3.
(7)
金属橡胶孔壁材料含有多个螺旋卷 , 它的弹性
模量 Es 是以材料的螺距 h 、材料的螺旋卷直径 dh 、 丝线的直径 d 、金属丝线的弹性模量 E0 为参变量 的多元函数 。因此有必要对该材料的弹性模量进行
壁材料的弹性模量
Es
=
3
E0 hd4
8
d
5 h
,
(8)
将 (8) 式代入 (6) 式 ,可得
F= A
E0 hd4 Sρ3 2
192
d
5 h
Lρ2s
X+B
E0 hd4 Sρ3 2
192
d
5 h
L
2ρ2s
X2 +
C
E0 hd4 Sρ3 2
192
d
5 h
L
百度文库
3ρ2s
X3 ,
(9)
将 (8) 式代入 (7) 式可得
of porous materials under static loading
本构关系为
F= A
Es Sρ3 2 72 Lρ2s
X+B
Es Sρ3 2 72 L 2ρ2s
X2 +
C
Es Sρ3 2 72 L 3ρ2s
X3.
(6)
同样可得卸载情况下金属橡胶材料的力与位移
的非线性本构关系为
F= D
Es Sρ3 2 72 Lρ2s
n1
∑ a0sgn[ X ( t) ] +
ak| X ( t) | k - 1 X ( t) +
k =1
∑ ·
b0sgn[ X ( t) ] +
n2
bk|
·
X ( t) |
k
-
1
·
X
(
t)
,
(5)
k =1
式中 : a0 , ak , b0 , bk 为常数 。 运用大量的试验数据对恢复力进行参数识别 ,
结果表明 ,该材料的无记忆恢复力中确实含有比较 明显的非线性项 , 只有无记忆恢复力部分才引起材 料的非线性特性[10 - 11 ] 。而且通过大量的试验及数 值仿真发现对由金属橡胶组成的干摩擦系统的幅频 特性起决定作用的是位移三次非线性因素 , 而五次 和更高次的位移非线性因素 、速度非线性因素对材 料的幅频特性影响不大 , 因此材料变形后的恢复力 只考虑 ( 5) 式的第二项且表示为位移的三次多项 式[13 - 14 ] 。于是加载情况下 (5) 式中的 ak 只取 a1 , a2 , a3 三项 ,可分别表示为 A , B , C , 而卸载情况下 (5) 式中的 ak 也只取 a′1 , a′2 , a′3 三项 ,可分别表示为 D , G , H ,这六项系数可通过实验数据拟合得到 。
F= D
E0 hd4 Sρ3 2
192
d
5 h
Lρ2s
X+ G
E0 hd4 Sρ3 2 192 d5h L 2ρ2s
X2 +
H
E0 hd4 Sρ3 2
192
d
5 h
L
3ρ2s
X3 ,
(10)
式 (9) 、(10) 是对金属橡胶材料加载情况和卸载情况
的力2位移关系的近似描述 。
2 金属橡胶结构的非线性刚度
定量分析 。现以金属橡胶材料的某一弹性梁元为研
究对象 。根据梁元的受力与约束情况可建立小曲梁
模型 ,如图 3 所示 , 假设小曲梁只发生弯曲变形 , 弹
性梁元之间是串联关系 。
图 3 小曲梁模型
Fig. 3 The model of small curved beam
根据虚功原理和材料力学知识可得金属橡胶孔