三年级奥数等差数列2

小学三年级奥数专项练题《等差数列(一)》

【课前】(★)

请观察下面的数列，找规律填数字。

①5，9，13，17，21，_____；

②7，11，15，19，_____，27，_____，35；

③200，180，160，140，_____；

④102，92，82，72，____，52。

【知识要点屋】

1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。

2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。

3．名词：公差，首项，末项，项数

5 ，9，13，17，21，25

(★★★)

⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；

⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。

(★★★)

一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。

【铺垫】

(★★)

计算下面的数列和：

3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝_____。

(★★★)

计算下列各题

⑴1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝_____；

⑵1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝_____。

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入

哪些数？

2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应

插入哪些数？

解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。

2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。

解答：d=（55-6）÷（8-1）=7

（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。

（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。

解答：（30-2）÷2+1=15

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。

解答：（62-2）÷6+1=11

（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）。

（2）今天是周日，再过78天是周几？

（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）。

解答：（98-11）÷3＋1=30

（2）今天是周日，再过78天是周几？

解答：（78＋1）÷7=11……2，所以是周一。

在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题。在三年级我们已经介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得准确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和的规律。

1+2+3+?+98+99+100 =（1+100）+（2+99）+?+（50+51）=101×50，即（100+1）×（100÷2）=101×50=5050

按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，?是等差数列,公差是1;

1，3，5，7，?是等差数列，公差是2；

5，10，15，20，?是等差数列，公差是5.

由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：项数=（末项-首项）÷公差+1；

第几项=首项+（项数-1）×公差；

总和=（首项+末项）×项数÷2.

本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。我们要求同学们注意灵活应用这三个公式。

【例题精讲】例1

计算下面各题：

（1）2+5+8+?+23+26+29；

（2）（2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99）。

解（1）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数为（29-2）÷3+1=10 的等差数列求和。原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155

（2）解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50；解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=1×50=50.

说明两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；

解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?+1” ，从而解得更巧、更好。

例2 计算：

1÷2003+2÷2003+3÷2003+?+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003. 分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。

解原式=（1+2+3+?+2002+2003）÷2003=（1+2003）

×2003÷2÷2003=1002. 说明此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整个解答显得简捷明快。

例3

某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名1 人，第二名并列2 人，第三名并列3 人??第十五名并列15 人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？

分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，?，15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。

解：（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）

例4 某体育馆西侧看台上有30 排座位，后面一排都比前面一排多2 个座位，最后一排有132 个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位？