第一章 电极化张量的空间对称性

例1 下面考察KDP晶体的对称性对张量元的限制。
一阶极化率：
[ 2]x :
对应于脚标变换为
1 → 1, 2 → −2,3 → −3, 因此 (12) → −(12), (13) → −(13)。
χ (1) (−ω , ω ) 必须相同，于是必有 因为是对称变换，所以在两个坐标系中的
(1) (1) χ12 (−ω ; ω ) = χ13 (−ω ; ω ) = 0。
以KDP晶体为例：
′ ′ ′ 参考坐标系 ox1 x2 x3 经 42m 中的一个对称运算操作后，所得到的新坐标系为 ox1 x2 x3，
各种操作的变换关系为：
[ 2]x :
[ 2] y : [ 2]z :
+ −
′ ′ ′ x1 = x1 , x2 = − x2 , x3 = − x3 ;
′ ′ ′ x1 = − x1 , x2 = x2 , x3 = − x3 ;
y x
例：有点(x,y,z)绕 z 轴做180度旋转，求所得点。 解 ：
⎛ x′ ⎞ ⎛ − 1 0 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ − x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y′ ⎟ = ⎜ 0 − 1 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ − y ⎟ ⎜ z ′ ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Kleiman近似下的对易： 当外加辐射场的频率ω远离共振频率ωo时，即无 色散时，电极化张量元与入射辐射场的频率无关：
(2) (2) (2) (2) χμαβ(ω1,ω2) = χμαβ(ω2,ω1) = χμβα(ω1,ω2) = χμβα(ω2,ω1)
此时可减少张量元个数（27 —>18）
xzx yzx zzx
xxz yxz zxz
xxy yxy zxy
xyx ⎤ yyx ⎥ ⎥ zyx ⎥ ⎦
简化为只有3个独立张量元的三阶张量。
⎡0 0 0 xyz ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 0 0 ⎣
⎛ xxx ⎜ ⎜ yxx ⎜ zxx ⎝
记为 x1
xyx yyx zyx
x2
xzx yzx zzx
x3
xxy yxy zxy
xyy yyy zyy
x4
xzy yzy zzy
x5
xxz yxz zxz
xyz yyz zyz
xzz ⎞ ⎟ yzz ⎟ zzz ⎟ ⎠
x6
此时极化强度P可表达为：
⎛ χ x1 χ x 2 χ x3 χ x 4 χ x5 ⎜ P = ε 0 ⎜ χ y1 χ y 2 χ y3 χ y3 χ y5 ⎜χ ⎝ z1 χ z 2 χ z 3 χ z 4 χ z 5
ω1 ω 2
⎛ ExEx ⎞ ⎜ ⎟ ω1 ω 2 Ex E y ⎜ ExEy ⎟ ⎜E E ⎟ ⎜ x z⎟ xyz xzx xzy xzz ⎞ ⎜ E y E x ⎟ ⎟⎜ yyz yzx yzy yzz ⎟ ⎜ E y E y ⎟ ⎟ ⎟⎜ E E ⎟ zyz zzx zzy zzz ⎠ y z ⎜ ⎟ EzEx ⎟ ⎜ ω 2 ω1 ⎜ EzEy ⎟ Ey Ex ⎜ ⎜E E ⎟ ⎟ ⎝ z z⎠
′ ′ ′ x1 = − x1 , x2 = − x2 , x3 = x3 ;
′ x1
⎡4⎤ ⎣ ⎦z
−
′ x2
⎡4⎤ ⎣ ⎦z
+
m2
′ x1
x2
m1
x2
⎡ 4 ⎤ : x1 = − x2 , x2 = x1 , x3 = − x3 ′ ′ ′ ′ ⎣ ⎦z
′ x2
x1
′ ′ ′ ⎡ 4 ⎤ : x1 = x2 , x2 = − x1 , x3 = − x3 ; ⎣ ⎦z
4
xzx yzx zzx
5
xxy yxy zxy
6
xyy yyy zyy
7
xzy yzy zzy
8
xxz yxz zxz
9
xyz yyz zyz
10
xzz ⎞ ⎟ yzz ⎟ zzz ⎟ ⎠
结论： 1. 本征对易对称性： 不能减少张量个数，27元 2. Kleiman近似下的对易： 条件：入射场频率远离共振区 结果：27元减少为18 独立元 3. 全对称对易 条件：入射、出射场频率均远离共振区 结果：18元中只有10 个独立元
x1
[ m1 ] :
[ m2 ] :
′ ′ ′ x1 = x2 , x2 = x1 , x3 = x3 ;
′ ′ ′ x1 = − x2 , x2 = − x1 , x3 = x3 ;
因为我们所涉及的变换是一种简单类型的变换，在旋转后的坐标系中，某一特定点 的每一个坐标等于参考坐标系中某个坐标的正值或负值。因而我们可以用一种规则 来代替对称运算给出的实际变换。 步骤如下： （1）确定在两个坐标系中脚标的变换关系； （2）确定变换符号，变换符号由各次变换符号的连乘确定。 相应于脚标变换关系为 1 → −2, 2 → 1,3 → −3, 例如 ⎡ 4 ⎤ z 变换， ⎣ ⎦
电极化张量的性质对极化率张量元素的影响
1. 本征对易对称性：
χ μαβ (ω1 , ω 2 ) Eα (ω1 ) Eβ (ω 2 )
( 2) ( 2) = χ μβα (ω 2 , ω1 ) Eβ (ω 2 ) Eα (ω1 )
即随着χ脚标的改变，E1和E2的先后次 序也随着改变。这种改变将只是在数学形式 上对χ矩阵及光场矩阵进行改变，而不能减 少χ张量的个数(仍然是27个元)。 其改变如 下图：
经 ⎡ 4 ⎤ z 操作，有 ⎣ ⎦
(2) (2) χ zzz = (−1)3 χ zzz
+
(2) χ xxx 经 [ 2] y
操作， 有
(2) (2) χ xxx = ( −1)3 χ xxx
(2) 与此类似，可以推得 χ (−ωσ ; ω1 , ω2 ) 中三个脚标都相同的张量元均为零，即有：
6元
3. 全对称对易 假设入射辐射场的频率ω1，ω2及由非线性效应 产生的辐射场的频率ω3均远离共振频率ωo，则χ的 三个脚标均可交换。即：
χ μαβ = χ αμβ = χ βαμ = ......
此时电极化张量由18 10个独立张量元
⎛ xxx ⎜ ⎜ yxx ⎜ zxx ⎝
xyx yyx zyx
⎛ x′ ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ ′⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y ⎟ = ⎜ −1 0 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ -x ⎟ ⎜ ⎜ z′ ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟⎜ z ⎟ ⎜ − z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(-y,x,z)
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z (x,y,z)
y x (y,-x,-z)
(2) (2) 所以 χ113 ( −ωσ ; ω1 , ω2 ) = ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ (−1) χ 223 (−ωσ ; ω1 , ω2 )
+
(2) (2) χ123 ( −ωσ ; ω1 , ω2 ) = (−1) ⋅ (+1) ⋅ (−1) χ 213 (−ωσ ; ω1 , ω2 )
[ 研究与另外两个坐标轴 y、z 相联系的二次对称变换 [ 2 ] y 、2]z 可知，
χ (1) (−ω , ω )
的所有非对角元都为零。
11 → 镜像变换 [ m1 ] 相对应的脚标变换为 1 → 2, 2 → 1,3 → 3，于是有（ ） （22），
(1 (1 χ 11) (−ω ; ω ) = χ 22) (−ω ; ω ) ≠ 0
18元
ω1 ω2 ⎡ ⎤ Ex Ex ⎢ ω1 ω2 ω1 ω2 ⎥ ⎢Ex Ey + Ey Ex ⎥ χ x6 ⎞ ω1 ω2 ω ω ⎟⎢Ez Ex + Ex 1 Ez 2 ⎥ χ y 6 ⎟⎢ ⎥ ω1 ω2 Ey Ey ⎥ ⎟⎢ χ z 6 ⎠⎢ ω1 ω2 ω1 ω2 ⎥ Ez Ey + Ey Ez ⎢ ⎥ ω1 ω2 Ez Ez ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
4) 镜面对称操作： m 如 即为以x-z平面为镜面做镜面对称。
my
z (x,-y,z) (x,y,z)
y x 其矩阵表示为：
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ my = ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
二、晶体对称性对晶体宏观物理性质的影响
1.诺伊曼原理： 晶体的任何物理性质所具有的对称元素必须包括晶体所属点群的全部对称元素。 即晶体物理性质的对称性必须高于或至少不低于晶体所属点群的对称性。 说明： 1）物理性质：指与晶体有关的一些可以测量的物理量之间的关系。 2）物理性质具有某个对称元素：就是说代表这个物理性质的张量在这个对称 元素表示的对称操作变换下，保持不变。诺伊曼原理的实施，实际上就是一个 “去撇”操作。 3）诺伊曼原理是一个假设原理，是从长期以来大量事实总结出来的，并且已经 过大量的实验检验是正确的，但是如果一旦出现反例，就要进行重新修正。 4）物理性质的对称性“必须包括”晶体对称性。 2. 诺伊曼原理的应用——对极化率张量独立分量数目的制约 1）下标变换法（直接观察法）： 2）解析法
这就穷尽了对 χ
（1）
所有对称的限制。从而可知，KDP晶体的一阶极化率张量的形式为：
⎡ xx 0 0 ⎤ ⎢ 0 xx 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 zz ⎥ ⎣ ⎦
下面讨论KDP晶体的对称性对二阶极化率张量 χ 由以上对称操作变换矩阵，可以进行如下演算：
(2) χ zzz
(2)
(−ωσ ; ω1 , ω2 ) 的限制。
1) 旋转轴对称： 晶格绕轴转2π/n后，能够得到与原来相同的图 形。 有1、2、3、4、6次转轴，如2z表示绕 z 轴转 2π/2度。 z （ x,y,z） （-x,-y,z） y
x
这种旋转也可用矩阵表 示：
z （-x,-y,z）
（ x,y,z）
⎛ −1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2 z = ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
xyx yyx zyx
xzx yzx zzx
ω E x 2 E ω1 y
⎛ ExEx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ EyEx ⎟ ⎜E E ⎟ ⎜ z x⎟ xzz ⎞ ⎜ E x E y ⎟ ⎟⎜ yzz ⎟ ⎜ E y E y ⎟ ⎟ ⎟⎜ E E ⎟ zzz ⎠ z y ⎜ ⎟ ExEz ⎟ ⎜ ⎜ EyEz ⎟ ⎜ ⎜E E ⎟ ⎟ ⎝ z z⎠
xxy yxy zxy xyy yyy zyy xzy yzy zzy xxz yxz zxz xyz yyz zyz
ω E ω1 E x 2 y
⎛ xxx ⎜ ⎜ yxx ⎜ zxx ⎝
xxy yxy zxy
xxz yxz zxz
xyx yyx zyx
xyy yyy zyy
ω 2 ω1
⎛ xxx ⎜ ⎜ yxx ⎜ zxx ⎝
(2) (2) χ xyz = (−1) ⋅ (+1) ⋅ (−1) χ yxz
+
[ [ 而进行 [ 2]x 、2] y 、2]z 操作，均可得到：
(2) (2) χ xyz = χ yxz
与此类似，亦有关系式：
(2) (2) (2) (2) χ xzy = χ yzx , χ zxy = χ zyx
晶体空间对称性与 非线性极化张量之间的对称性
一. 晶体的对称操作： 1.旋转对称操作： 晶格绕轴转2π/n后，能够得到与原来相 同的图形
2.镜面对称操作：
晶格以某一平面为镜面得到与原来相同 的图形 中心点为对称点
3.中心对称操作：
4.旋转反演变换： 晶体绕某一个轴旋转α角再作中心对称操 作后得到复原的变换
(2) (2) (2) χ xxx = χ yyy = χ zzz = 0
(2) χ xxz 经 [ 2]x 操作，有
(2) (2) χ xxz = (−1) χ xxz
照此类推， χ
(2) χ xyz
(2)
( −ωσ ; ω1 , ω2 ) 中两个脚标相同的张量元亦为零。
进行 ⎡ 4 ⎤ z 对称操作，有 ⎣ ⎦
根据以上演算的结果，可以知道，对于42m晶类的晶体，有27个张量元的二阶非线性极化 率张量只剩下6个张量元不为零，且其中两两相等，即只有3个独立张量元。原来有27个 张量元的三阶张量
⎡ xxx ⎢ yxx ⎢ ⎢ zxx ⎣
xyy yyy zyy
xzz yzz zzz
xyz yyz zyz
xzy yzy zzy
2) 中心对称： 图示如下：
z
1
(x,y,z)
1
y
(-x,-y,-z) x
矩阵表达 为：
⎛−1 ⎜ 1 =⎜ 0 ⎜ 0 ⎝
0 −1 0
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ − 1⎟ ⎠
3) 旋转反演轴： 绕轴旋转后以该轴上某一点做中心反演 如： 4 z 表示绕z轴转2π/4弧度，再做中心对称。 如图示：
⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 4 z = ⎜ −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎝ ⎠