第七章 压杆稳定

第七章压杆稳定

本章重点介绍有关压杆稳定的基本概念和压杆临界力的计算方法，简单说明其它形式构件的稳定性问题。

第一节压杆稳定的概念

考察图7-1所示的受压理想直杆，当压力F小于某一数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离其直线平衡位置，产生轻微弯曲，当扰动除去后，压杆又回到原来的直线平衡位置。这表明压杆的直线平衡是稳定的。当压力逐渐增加达到一定数值时，压杆在外界扰动下，偏离直线平衡位置，扰动去除，则不能再回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新的平衡，因此称该直线平衡是不稳定的。从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值，称为临界载荷或临界力，用F cr表示。压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。

图7-1

杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。但细长压杆失稳时，杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。可见，压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效的又一种失效形式。由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是严重的。历史上瑞士和俄国的铁路桥，都发生过因为桥桁架中的压杆失稳而酿成的重大事故。因此在工程实际中，对于压杆稳定性问题必须充分重视。

当压杆的材料、尺寸和约束等情况已经确定时，临界力是一个确定的值。因此可根据杆件实际的工作压力是小于还是大于压杆的临界力，来判断压杆是稳定的还是不稳定的。可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。

第二节细长压杆的临界载荷

一、两端铰支细长压杆的临界力

取一根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取相应的坐标系（图7-2a）。考察微弯状态下任意一段压杆的平衡（图7-2 b），则杆件横截面上的弯矩为

(a)

根据挠曲线近似微分方程，有

(b)

将式(a)代入式(b),有

(c)

其中

(d)

微分方程(c)的一般解为

(e)

其中Ｃ1、Ｃ2常数,可根据两端支承的约束边界条件确定，在两端铰支的情况下，边界条件为

（０）＝（ｌ）＝０

将微分方程的解代入，得

Ｃ2=0, Ｃ1sinkl=0 (f)

后式表明,Ｃ1或者sinkl等于零。但若Ｃ1=0，则y=0，杆轴为直线，这与压杆处于微弯的平衡状态相矛盾。因此，只能是

sinkl=0

解得 (n=0,1,2,...）

由此得

代入式(d)，得(n=0,1,2,…) (g)

上式表明，使压杆保持曲线形式平衡的压力，在理论上是多值的，但有实际意义的是使压杆处于微弯状态的最小压力，才是临界力F cr。若取n=0，得F=0，表明压杆上无压力，与实际情况不符。因此只能取n=0，才使F为最小值，于是求得临界力为：

（7-1）

这就是两端球铰支承的细长压杆的临界力计算公式，此式最早是由数学家欧拉提出的，故又称为欧拉公式。

压杆两端为球铰支承时，允许压杆在通过轴线的任一纵向平面内弯曲。而实际上，弯曲将发生在抗弯刚度EI最小的纵向平面内。因此，在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应以I min代入。

二、其它支称情况下细长压杆的临界力

受压杆件的约束，除两端铰支之外，还有其它多种形式。不同约束形式压杆的临界力，可用类似的方法导出。但已导出两端铰支压杆的临界力公式之后，便可用比较简单的方法，得到其它约束条件下压杆的临界力。

图7-3a 为一两端铰支的压杆，图7-3b 为一端固定，另一端自由的压杆，且以微弯的形式处于平衡。现将后者的挠曲线对称地向下延长，对比两图发现，一端固定，一端自由，长为的压杆的挠曲线，与两端铰支，长为l的压杆的挠曲线的上半段相同。因此对于一端固定，一端自由，长为l的压杆，其临界力等于两端铰支，长为2l的压杆的临界力。即

(7-2)

图7-3ｃ表示两端均为固定支座的压杆，由图可见，距两端均为l/4的、两点为反弯点，其弯矩等于零。故可将C、D两点视为铰支，长为L/2的中间部分，可视为两端铰支的压杆。其临界力仍可用两端铰支细长压杆公式计算，只要用l/2代替式中的l即可。于是得到两端固定压杆的临界力公式为

(7-3)

图7-3ｄ表示一端固定，一端铰支的细长压杆。由挠曲线的形状可知，距固定端约为0.3l处为反弯点。长为0.7l的AC段的挠曲线，与图7-3 的挠曲线相同。因此以0.7l代替式中的l，便得到一端固定，一端铰支的压杆的临界力为

(7-4)

上述四种杆端约束情况的临界力公式可统一写成：

(7-5)

此公式即为欧拉公式的一般形式。式中ul称为相当长度，u称为长度系数，以上四种约束情况的长度系数，列于表7-1中。

上述四种杆端约束是典型情况，实际问题中，压杆的约束情况比较复杂，各种不同情况的长度系数值，可从有关部门的实际手册或规范中查到。

例7-1 由压杆挠曲线的近似微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧拉公式。

解该压杆失稳后的计算简图见图7-4。上端铰支座处除了压力F以外还应有横向反力Q。根据挠曲线的近似微分方程可得：

令，上式变成

该微分方程的通解为：

转角方程为：

将杆件的边界条件x=0时，y=0，dy/dx=0和x=l时，y=0代入上两式可得：

求解该齐次线性方程组。因为A、B和不能同时等于零，即要求上述齐次线性方程组必须有非零解，所以其系数行列式应等于零：

展开得：

tankl=kl

解此方程求得最小解为（不含零解）

kl=4.49

故

第三节欧拉公式的适用范围及经验公式

将临界力除以压杆的横截面面积，可以得到压杆的临界应力，即

利用惯性半径i与惯性矩I之间的关系I=i2A（见附录I），可以将上式写成：