线性代数矩阵

kE
0
k
L
0
M M M
或
0
0
L
k
k
k
． O
课件 k
8
2.2 矩阵的运算
课件
9
2.2.1 矩阵的线性运算
1．矩阵的加法
定义2 两个m´ n 的同型矩阵 A = (aij )和B = (bij ) 的
对应元素相加，所得 m´ n 的矩阵称为矩阵 A与
B的和,记为C = A+ B，即
课件
4
即
a11 a12 L
A
An
a21
M
a22 M
L
an1 an2 L
a1n
a2n
M
ann
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其中元素 a11, a22 ,L , ann 称为 n 阶方阵的主对角 元素，过元素 a11, a22 ,L , ann 的直线称为n 阶方阵
的主对角线．
（5）n 阶对角阵 非主对角元素全为零的 n 阶方 阵称为 n 阶对角矩阵，即
A或 Am´ n ，其中aij 表示位于第 i 行第 j 列的数,
称为 A的元素（或元），所以 m n 矩阵也可以简
．
记为 (aij ) 或 (aij )m´ n ． 课件
2
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
（1）行矩阵 当 m 1时，即只有一行的矩阵
A = (a1 a2 L an )
或
A = (a1, a2,L , an )
即aii 1 (i 1, 2,L , n)且 aij 0 (i j;i, j 1, 2,L , n),
记为
1 0 L 0
E
En
0
M
1 M
L
0
M
或
0
0
L
1
1
1
O
1 课件
7
（7）n 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数
k 的 n 阶对角阵，称为n 阶数量矩阵，记为
k 0 L 0
第2章 矩阵
2.1 矩阵的概念
课件
1
2.1.1矩阵的定义 定义1 由 m n 个数 aij (i 1, 2,L , m, j 1, 2,L , n)
按一定顺序排成 m 行 n 列的数表
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为一个m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，记为
aij 0 (i j;课i,件 j 1, 2,L , n)
5
记为
a1 0 L 0
diag(a1, a2,L
,
an
)
0 M
a2 M
L
0
M
0 0 L an
或
a1
a2
O
an
其中未写出的元素全为零．
课件
6
（6）n 阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余 元素全为零的 n 阶方阵称为n 阶单位矩阵，
（1）结合律： ( AB)C A(BC)
（2）分配律：A(B C) AB AC, (B C)A BACA
（3）对任意数 有 (AB) ( A)B A(B)
M
amn
当 1 时，称 - A= (- aij )为矩阵 A 的负矩阵，
显然有
A+ (- A) =课件 O
12
所以矩阵的减法可定义为
A- B = A+ (- B)
矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线 性运算，其运算规律：
（1） A B B A ；
（2）(A B) C A (B C) ；
．
（3） A+ O = A ；
（4）()A ( A) ；
（5）( )A A． A ；
（6）(A B) A B ．
课件
13
例2 设
3 2
A
1
5
,
11 1
B
2
7
且 3A 2X B ，求矩阵 X ．
解 在 3A 2X B 等式两端同加上 3A ，得
2X
B
3A
11
mn
矩阵 C (ci，j ) 其中
cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj
l
aikbkj (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n) k 1
记为
C = AB
课件
16
例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
求乘积 AB．
3 4
0 1 43
7552
6 5
1 7
123
而 A C 无意义．
课件
11
2．数与矩阵的乘法 定义3 用数 乘以m´ n矩阵 A 的所有元素， 所得的 m´ n矩阵称为数 与矩阵 A 的数乘矩
阵，简称数乘，记为 A ，即
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
解
0 3 4
C
AB
1 1
0 1
1
3
1 3
2 1
1
1
0 0
03 1 9
3 01 323
440113
3 2 5
10
2
6
课件
17
例4 设矩阵 2
求 AB及
BA
A
．
1
4 2
，B
2 3
46
解
AB
2 1
42
2 3
46
16 8
1362
BA
2 3
46
2 1
42
0 0
00
课件
18
例5 设 A (a1 a2 L an ) ，B (b1,b2,L ,bn )T
求 AB与 BA．
解
AB (a1 a2 L
b1
an
)
b2
M
a1b1
a2b2
L
anbn
n
bn
aibi
i 1
，
b1
BA
b2
M
(a1
a2
bn
L
an )
课件
b1a1
b2 a1
bn a1
b1a2 b2a2
bn a2
b1an b2an bnan19
矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行 的）：
a11 b11
C=
A+
B
a21 b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
3 0 5
A
1
4
7
,
则
1
3
B
4
1 3
2 5 ,
C
2
.
3
A
B
13
称为行矩阵或行向量．
（2）列矩阵 当 n 1时，即只有一列的矩阵
b1
B
称为列矩阵或列向量．课件
b2 bm
3
（3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零
矩阵，记为O ．例如，m n 的零矩阵可记为
0 0 L 0
Omn
0
M
0 M
L
0
M
0
0
L
0
（4）方阵 行． 数和列数都等于 n 的矩阵，称 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵，记为An，
2
1
7
3
3 1
2
5
11
2
1
7
9 3
6 15
2 5
7 8
课件
14
上式两端同乘
1 2
，得
X
12
2
5
7 8
1
5 2
7 2
4
课件
15
2.2.2 矩阵与矩阵相乘
定义4 设 A (aij 是) 一个 m矩l 阵， B (b是ij )一个
矩阵l ，n 则规定 与 的A乘积B 是一个