最优资产组合选择

E(r)
U’’’ U’’ U’
组合的有效边界 S P Q 低风险厌恶
高风险厌恶
最优投资组合的存在性： 1）几何上：有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效 集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是惟一的。 （2）经济上：有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的；无差异曲 线则是主观的，它是由投资者的风险—收益偏好决定的。
2、投资于三种证券的预期收益
rp = W1r1 + W2r2 + W3r3
4.1证券组合的收益与风险
3、投资于多种证券的预期收益
证券投资组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预 期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投 资额的比例，用公式表示如下：
rP=∑Wiri
E（rP）=∑Wi E（ri）
根据模型的假定，所有投资者都会遵循均值—方差
原则来选择证券或证券组合。
有效边界上的组合都满足均值—方差原则，因而，
投资者会选择有效边界上的证券组合，即有效组合。
最优投资组合则是根据投资者的风险偏好确定出的 能够带来最大效用满足的有效组合，因而，最优投资 合是由投资者的风险偏好决定，可由无差异曲线与有 效边界的切点得到。
例题2

一位基金经理正在考虑三种基金：股票基金、债券基金和
回报率8%的货币市场基金。风险基金的概率分布如下：

期望收益率 股票基金（S） 债券基金（B） 20% 12%
标准差 30% 15%
基金回报率间的相关系数ρ=0.10。 1. 两种风险基金的最小方差资产组合的投资比例是多少？ 该组合回报率的期望值与标准差各是多少？



4.2证券组合理论模型的假定

关于假定的一些解释： 根据4，一种证券和证券组合的特征可以由期望收 益率和标准差（或方差）来描述，如果建立一个 以期望收益率为纵坐标、标准差（或方差）为横 坐标的坐标系，那么任何一种证券或证券组合都 可由坐标系中的一个点来表示。 根据5，当给定期望收益率时，投资者会选择标准 差（或方差）最小的组合；而当给定标准差（或 方差）时，投资者会选择期望收益率最高的组合。 这被称为资产选择的共同偏好规则。
c.标准差=0.8×σp=0.8×28%=22.4%
6.假如委托人想把他投资额的y比例投资于你的基金中，以 使他的总投资的预期回报最大，同时满足总投资标准差不超 过18%的条件。 a.投资比率y是多少？b.总投资预期回报率是多少？

a.资产组合标准差=y×28%。如果客户希望标准差不超过18%，则 y=18/28=0.6429=64.29%。 b.预期收益率=8+10y=8+0.6429×10=8+6.429=14.429%

4.3证券组合的可行域与有效边界
一、证券组合的可行域（机会集） 1、两种证券组合的可行域
E(rp) = W1r1 + W2r2
p2 = w1212 + w2222 + 2W1W2 Cov(r1r2)

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由上两式组成的方程组在E（rp）—σP坐标系中确定了一条经
过1点和2点的曲线，这条曲线称为证券1与证券2的结合线。
St. Dev
4.5马科维茨资产组合选择模型

马科维茨利用两个数值来衡量投资者的预期收益水平和不确 定性(风险)。 ①期望收益率（均值） ②收益率的方差

在此基础上建立所谓的均值--方差模型，以阐述如何通过证 券组合的选择来实现收益与风险之间的最佳平衡。这就是证 券组合投资理论。
4.5马科维茨资产组合选择模型
=15%，rf =5%。a.投资者要把她的投资预算的多大比
7.假定：E（rP）=11%，δP
率投资于风险资产组合，才能使她的总投资预期回报率等于8%？她在风险资产组合 P上投入的比例是多少？在无风险资产方面又是多少？
a. E(r)=8%=5%+y(11%-5%)，y=(8-5)/(11-5)=0.5 b.σC=yσp=0.50×15%=7.5%

1. 机 会 集 合 的 参 数 为 ： E(rS)=20%，E(rB)=12%，σS=30%，σB=15%， ρ=0.10，协方差距阵Cov(rS，rB)=ρσSσB： 债券 股票



债券
股票
225
45
45
900
最小方差资产组合可由下列公式推出： wMin(S)=[σ2B-Cov(B，S)]/[σ2S+σ2B-2Cov(B，S)] =(225-45)/(900+225-2×45)=0.1739 wMin(B)=0.8261 最小方差资产组合均值和标准差为：
+ 2W2W3 Cov(r2r3)
4.1证券组合的收益与风险
3、投资于多种证券的风险（略）
例题1

你管理一种预期回报率为18%和标准差为28%的风险资产 组合，短期国债利率为8%。

1.你的委托人决定将其资产组合的70%投入到你的风险资 产组合中，另外30%投入到货币市场的短期国库券基金，则 该资产组合的预期收益率与标准差各是多少？

a.资产组合的预期收益率=rf+(rp-rf)y=8+l0y，如果资产组合的预期
收益率等于16%，解出y得：16=8+l0y，

y=(16-8)/10=0.8
80%风险资产组合，20%国库券。 投资于国库券
b.客户资金的投资比例：20%
0.8×25%=20.0%，投资于股票A
0.8×32%=25.6%，投资于股票B 0.8×43%=34.4%，投资于股票C
其中：rP代表证券投资组合的收益率；Wi是投资于i证券的资
金占总投资额的比例或权数；ri是证券i的收益率；
E （rP）代
表证券投资组合的预期收益率；E（ri）是证券i的预期收益率。
4.1证券组合的收益与风险
二、证券组合的风险 1、投资于两种证券的风险
p2 = w1212 + w2222 + 2W1W2 Cov(r1r2) W1 = 资产 1 的投资比例；W2 = 资产 2 的投资比例 12 = 资产 1 的方差； 22 = 资产 2 的方差 Cov(r1r2) = 资产1与资产2的协方差

股票 0.00% 17.39%
债券 100.00% 82.61%
预期收益率 12.00 13.39
标准差 15.00 13.92 最小方差
20.00%
40.00% 45.16%
80.00%
60.00% 54.84%
13.60
15.20 15.61
13.94
15.70 16.54 切线资产组合
二、证券组合的有效边界
1、最小方差边界
在给定期望收益条件下，可行域中具有最小方 差的组合的连线。
2、有效边界
最小方差边界中位于最小方差组合以上的部份 称为证券组合的有效边界，落在有效边界上的证券 组合称为有效组合。 均值—方差原则
E(r)
证券组合的可行域与有效边界
有效边 界 单个资产
最小方差组合
最小方差边界
预期收益率=0.3×8%+0.7×18%=15%/年。

标准差=0.7×28%=19.6%/年

2.假设风险资产组合包括下面给定比率的几种投资，股票A： 25% 股票B：32% 股票C：43%

那么你的委托人包括短期国库券头寸在内的总投资中各部 分投资比例各是多少？

投资于国库券：30.0% 投资于股票A ： 0.7×25%=17.5% 投资于股票B ： 0.7×32%=22.4% 投资于股票C ： 0.7×43%=30.1%

4.3证券组合的可行域与有效边界
根据模型的假设，任何一种证券或证券组合都可由期 望收益—方差坐标系中的一个点来表示。

如果任意给定n种证券，那么所有这些证券及由这 些证券构成的证券组合将在坐标平面上构成一个区 域，称为可行域。 投资者共同偏好规则会导致所谓有效边界的产生 （所有投资者都按均值—方差原则来进行证券组合 的选择）。

%8
20%
St. Dev
2、三种证券组合的可行域

给定三种证券A、B、C，那么不允许卖空时由所有可能的证券组合构 成的可行域就是AB、AC、BC三条结合线围成的区域。 当允许卖空时，A、B、C三种证券对应的可行域便不再是一个有限区 域，而是一个包含该有限区域的无限区域。

4.3证券组合的可行域与有效边界

3.你的风险资产组合的风险回报率是多少？你的委托人的呢？

你的风险回报率=(18-8)/28=0.3571 客户的风险回报率=(15-8)/19.6=0.3571
4.在预期收益与标准差的图表上作出你的资产组合的资本配 置线(CAL)，资本配置线的斜率是多少？在你的基金的资本配 置线上标出你的委托人的位置。


E(r) 18 15
斜率=0.3571
P 委托人

0
19.6
28

5.假如你的委托人决定将占总投资预算为y的投资额投入到你
的资产组合中，目标是获得16%的预期收益率。 a.y是多少？ b. 你的委托人在三种股票上和短期国库券基金方面的投资比例各 是多少？c.你的委托人的资产组合回报率的标准差是多少？
St. Dev.

有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益，高风险”原则； 有效边界是一条向上凸的曲线； 有效集曲线上不可能有凹陷的地方（凸性） 图中，单个资产位于有效边界以内，这表明，风险资产组合中只包含单一证 券是无效率的，分散化投资能够带来更高的收益和更低的风险。
4.4最优投资组合的选择

由1和2构成的所有证券组合都位于这条曲线上，这条曲线就
是1、2两种证券组合的可行域。
E(r)
13%
证券1和证券2的组合可行域
2
= -1 = .3 = -1
1
12%
=1

证券1与证券2的结合线在一般情况下是一条双曲线。其弯曲 程度决定于这两种证券之间的相关性ρ12。 ρ12 =1时为一条直线，而ρ12 =—1时成为一条折线。
一、马科维茨资产组合选择模型

Markowitz（1952）的资产选择模型考察的是存在多个风险资产时，投资 者最优资产组合的选择。

边界资产组合（Frontier Portfolio）：如果一个资产组合在其期望收益 相同的资产组合中拥有最小的方差，我们就称其为边界资产组合，所有边 界资产组合构成的资产组合集构成一个投资组合边界（Portfolio Frontier）。 Markowitz资产组合模型的假设：
证券组合的风险不能简单地等于单个证券风险以投资比重 为权数的加权平均数，因为两个证券的风险具有相互抵消 的可能性。 引入了协方差和相关系数的概念（第三章已讲授）。
4.1证券组合的收益与风险
2、投资于三种证券的风险
2p = W1212 + W2212 + W3232 + 2W1W2 Cov(r1r2) + 2W1W3 Cov(r1r3)
第4章 最优资产组合选择
4.1 证券组合的收益与风险 4.2证券组合理论模型的假定
4.3证券组合的可行域与有效边界
4.4最优投资组合的选择
4.5马科维茨资产组合选择模型
4.6 资产组合风险分散化
4.1证券组合的收益与风险
一、证券组合的收益
1、投资于两种证券的预期收益 投资者将资金投资于1、2两种证券，则两种证券投资组合的 预期收益率等于各个证券预期收益率的加权平均值，用公式 表示为： rp = W1r1 + W2r2 W1 = 证券 1的投资比例 W2 = 证券 2 的投资比例 r1 = 证券 1 的预期收益 r2 = 证券 2 的预期收益 W1 + W2=1


60.00%
80.00% 100.00%
40.00%
20.00% 0.00%
16.80
18.40 20.00
19.53
24.48 30.00
4.2证券组合理论模型的假定

证券组合理论的假定： 1．投资者认为，每一个投资选择都代表一定持有期内预期 收益的一种概率分布。 2．投资者追求单一时期的预期效用最大化，而且他们的 效用曲线表明财富的边际效用递减。 3．投资者根据预期收益的变动性，估计资产组合的风险。 4．投资者完全根据预期收益率和风险进行决策，因此， 他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差(或标准 差)的函数。 5．在特定的风险水平上，投资者偏好较高的收益；在一 定的预期收益率水平上，投资者偏好较小的风险。

E(rMin)=0.1739×20+0.8261×12=13.39%
=[0.17392×900+0.82612×225+2×0.1739×0.8261×45]
½
Min=[W2Sσ2S+W2Bσ2B+2WSWBCov(S，B)]1/2
=13.92%

制表并画出这两种风险基金的投资机会集合，股票基金的投 资比率从0%到100%按照20%的幅度增长。