02013初等数论练习题及标准答案

初等数论练习题一

一、填空题

１、τ(242０)＝２7； ϕ(24２0)=_8８0_

2、设a,n 是大于１的整数,若ａn -１是质数，则a=_2．

3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-４,－3，-2,-1，0,1，２，３,4}.

4、同余方程9x+12≡０（m ｏd 37)的解是x ≡11(mo ｄ 3７）。

5、不定方程18x-23y=100的通解是ｘ=9００+23t ，y=７0０+18t t ∈Z 。．

6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7

８、⎪⎭

⎫ ⎝⎛10365 = -1 。 9、若p 是素数,则同余方程x p - 1

≡１(mod p 二、计算题

1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 1０5)。

解：因105 ＝ 3⋅5⋅７，

同余方程3x 2+11ｘ-2０ ≡ 0 (ｍod 3)的解为x ≡ １ (ｍｏd ３）, 同余方程3ｘ2+11x -38 ≡ 0 (m ｏd 5)的解为x ≡ 0,3 (mod 5)， 同余方程3x ２+11x -2０ ≡ 0 (m ｏd ７）的解为ｘ ≡ 2,6 (mod 7）， 故原同余方程有4解。

作同余方程组:x ≡ ｂ１ (ｍod 3），x ≡ b 2 (ｍod 5),x ≡ b 3 (m ｏd 7),

其中b 1 ＝ 1，b 2 = 0,3，ｂ3 = ２,6,

由孙子定理得原同余方程的解为ｘ ≡ 13，5５，58,１０0 （ｍod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42（mo ｄ 1０7）是否有解?

11074217

271071107713231071107311072107

710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（

）（解： 故同余方程x 2≡42（ｍo ｄ 107)有解。

3、求(12７156+34)28除以１１1的最小非负余数。

解:易知1271≡50(mo ｄ １11）。

由502 ≡5８(mo ｄ 111）， 5０３ ≡58×50≡1４(mod 11１），５０9≡１４3≡８０（mod 1１1）知５028 ≡（５09)３×5０≡80３×5０≡80３×50≡6８×50≡70（mod 111） 从而5056 ≡16(ｍｏｄ 111）。

故（12７1５6+34）28≡(16+３4）28 ≡5０2８≡７0（mo ｄ 11１)

三、证明题

１、已知p 是质数,（a,p)＝１,证明：

（１）当ａ为奇数时,a ｐ－１+（ｐ-1）ａ

≡0 (mod ｐ)；

(2)当a 为偶数时,a p-1－（ｐ-1)a ≡0 (m ｏd ｐ)。

证明：由欧拉定理知ａp-1≡1 （mod p)及(p －１)a ≡－1 （ｍod p)立得（1)和(２)成立。

2、设ａ为正奇数,n 为正整数,试证n 2a ≡1(m ｏd 2n ＋2)。 (1)

证明 设a = 2m + １,当n = 1时，有

a 2 = (2m + １）2 = 4m (m + 1） + 1 ≡ １ (mod 2３）,即原式成立。

设原式对于n = k 成立,则有

k a 2≡ 1 (mod 2k + 2) ⇒k a 2＝ 1 + q 2k ＋ 2, 其中q ∈Z ，所以 12+k a ＝ (1 + ｑ2k ＋ 2)２ ＝ １ + ｑ '2k + 3 ≡ 1 (ｍod 2k + 3)，

其中q '是某个整数。这说明式(1)当n = k + 1也成立。

由归纳法知原式对所有正整数n 成立。

3、设ｐ是一个素数,且1≤ｋ≤p-1。证明：k p 1C - ≡ （－１ ）k （mo ｄ p ）

。 证明:设A=!

)()2(1C 1k k p p p k

p ---=- ）（ 得： k!·A =（p-1)(ｐ－2）…(ｐ－k)≡(-1)（-2)…（-ｋ)（mod ｐ)

又(k!，p ）=１，故A ＝ k

p 1C - ≡ （-1 )k (mod p )

4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明:p 6≡1(mod ８４)。

说明：因为84＝4×3×7,所以,只需证明：

p 6≡1(mod ４） ｐ6≡1(mod3） p 6≡1(mod 7) 同时成立即可。