高考复习：导数压轴题零点问题中如何找点

∴a>2 时, g x 有两个零点，即 f x 有两个零点。
点评：本题解答的第一步利用函数的零点与方程的根把 f x 的零点问题转化为 g x 的 零点问题，使得在导数中不含参数；在找点环节，找左边为正的点时，选择
舍弃ex−1
是为了构造一个减函数，而在找右边为正点时选择舍弃1是为了构造一个增函
x
数，使得放缩以后的函数大于零都有解。
比如在本例中，寻找 x=lna 右边的零点时,如果我么利用不等式ex > x 进行放缩，
则f x
=
ex
−
ax
>
x
−
ax,x
−
ax
=
0
无解，放缩失败，若利用不等式ex
>
1 x
进行放缩，则 f x
=
ex
−
ax
>
1 x
−
ax，令
1 x
−
ax
=
0，则
x
=
1 a
<
lna, 放缩失败.我们发现函数 y = ax 本身就是一条斜率可以无穷大的直线，故我
①a ≤ e + 1 时，r' t > 0 恒成立，r t 在 0, + ∞ 单增，r t > r 0 = 0,r t 无零点；
−
1 x2
,由
1
可知 xex−1
+1
>
0,故 x <
0 时，
ex−1
+
1 x
<
0,又
a
>
0,
∴g x
=
ex−1
−a+
1 x
<
0,即
g
x
在
− ∞,0
无零点，即
f
x
无零点
x > 0 时，g'' x
=
ex−1
+
2 x3
>
0,
∴ g' x 在 0, + ∞ 单增，又g' 1
= 0,
∴0<x
< 1 时,
g' x < 0,x > 1 时g' x > 0,即 g x 在 0,1 单减， 1, + ∞ 单增，
∴ x > 0，g x ≥ g 1 = 2 − a,
①0 < a < 2 时，g 1 > 0,则 g x 没有零点，即 f x 无零点；
②a=2 时，g 1 = 0，则 g x 有一个零点，即 f x 有一个零点；
③a>2 时，g 1 < 0,(下面进入找点环节)
g x = ex−1 − a + 1 >− a + 1 ,令 − a + 1 = 0 得 x = 1 < 1 ⇒ g 1 > 0 ⇒ g x 在
题目 2：已知函数 f x = e−x,g x = ax,a ∈ R.
1 当 a = 1 时，求 h(x) = f x + g x 的极小值；
2 当 t > 0 时，关于 t 的方程 f − t − 1 + ln t + 1 − e = g t 有且只有一个实数解，求实数
a 的取值范围。
解析：（2）方程 f − t − 1 + ln t + 1 − e = g t 即et+1 + ln t + 1 − e − at = 0,
①直线放缩：ex >
,ex
≥
x
+
1,
ex
≥
1 e
x，lnx
<
，lnx
≤
x
−
1,lnx放缩：lnx
<
1 2
x2,
lnx
<
1 3
x3,
lnx
<
x,
lnx
>−
1 x
，ex
>
x2,ex
>
xt
③有界放缩：如−
1
≤
sinx
≤
1,x
>
0
时，0
<
e−x
<
1,x
>
1
时，0
<
1 x
<
1
等。
下面就:由两道道例题来说明几种方法的运用。 题目 1：已知函数 f x = xex−1 − ax + 1,其中 a ∈ R.
令r t
= et+1 + ln t + 1
− e − at t > 0 ,r' t
= et+1 + 1 − a,r'' t
t+1
= et+1 −
1 t+1
2
,
t > 0 ⇒ et+1 > e,
1 t+1
2
< 1,
∴
et+1
−
1 t+1
2
>
e−1
>
0,
∴
r'
t
在
0, + ∞
单增，
r' 0 = e + 1 − a,
x
x
x
a
a
1 a
,1
有一个零点，
思考：进行放缩时为什么选择舍弃ex−1？
g x = ex−1 − a + 1 > ex−1 − a,令ex−1 − a = 0 得 x = 1 + lna > 1 ⇒ g 1 + lna > 0,
x
⇒ g x 在 1,lna + 1 有一个零点, 思考：进行放缩时为什么选择舍弃1？ x
导数压轴题零点问题中如何找点
前言：最近今年的的高考压轴题中，“双变量”的不等式问题及“零点个数问 题”是十分的火热了，前期我们已经讨论过“双变量”的不等式问题，这一期我 们来 讨论“零点个数问题”。在“零点个数问题”中，“找点”无疑是难点中的难 点了， 这里笔者谈一些个人的看法，欢迎同行批评指正。 问题 1：为什么要找点？
①直接找。显然 f 0 = 1 > 0,故 f x 在区间 0,lna
存在一个零点。f 2lna = a2 − 2alna = a a − 2lna > 0,(注：我们可以证明 a −
2lna > 0 恒成立)，∴ f x 在区间 lna,2lna 存在一个零点。
能够直接找，显然是最快捷的，而直接找点一般是要想办法消灭指对。 ②进行“有效的”放缩 何谓有效的放缩？我认为第一放缩以后可以直接找出放缩以后的函数的零点，第 二找到的点要符合所找寻的范围。
1 当 a = 0 时，证明：f x > 0t
2 当 a > 0 时，讨论 f x 的零点个数。
解析：(2)令 f x = 0 ⇒ xex−1 − ax + 1,x = 0 显然不是方程的解， ⇒ ex−1 − a + 1 = 0, x
令g x
= ex−1 − a + 1 ,g' x x
= ex−1
例：若函数 f x = ex − ax a > 0 有两个零点，求实数 a 的取值范围。
我们很容易经过求导得到 f(lna)<0,得到 a>e,然而 在没有论证之前，a>e 显然只是一必要条件，我们还 需要证明它的充分性，而证明的方法无疑一般使用零 点存在定理，在 x=lna 的两边找到两个函数值为正的 点，简称“找点”。 问题 2：如何找点？
们如果采取直线放缩，则无论如何也难成功，所以采取曲线放缩。由于ex > x2,
（很容易证明），∴ f x = ex − ax > x2 − ax，令x2 − ax = 0 得 x = a > lna,
∴ f a > 0, ∴ f x 在区间 lna,a 存在一个零点,成功。
小结：通过刚刚这个例子，我们可以看到取点的常用两种方法：一是直接法，根据函 数的解析式直接取特殊的自变量，这种方法虽然很快捷，对于简单函数还行，但对于 复杂函数很多时候依赖于江湖上盛传的“上帝之眼”；二是放缩法，我们一方面要注意 “有效的放缩”，二是要掌握一些常用来放缩的不等式，比如：