最新人大版微积分第三版课件9-1教学讲义ppt课件

例2 列 车 在 平 直 的 线 路 上 以20米 /秒 的 速 度 行 驶 ,
当 制 动 时 列 车 获 得 加 速 度 0.4米 /秒2,问 开 始 制 动
后 多 少 时 间 列 车 才 能 停 住 ？ 以 及 列 车 在 这 段 时 间 内 行 驶 了 多 少 路 程 ？
解 设制 t秒 动 钟 s米 后 ,s行 s(t)驶
长 的 时 间 隧 道，袅
人大版微积分第三版课件9-1
一、问题的提出
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
解 设所求曲y线 y为 (x)
dy 2 x dx
其x 中 1 时 ,y2
y 2xdx 即yx2C, 求C 得 1,
所求曲线方y程x2为 1.
转化
解已分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
g (y)d yf(x )dx
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx 分离变量法
设 函 数 G (y)和 F(x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)的 原 函
数 , G (y) F (x ) C 为微分方程的通解.
典型例题
例1 求解微分方程 dy y 的通解. dx x
解
分离变量
dy dx , yx
两端积分
dy y
dx , x
l n y l n x C 1 c 1 为 任 意 常 数
xyec1或 xyec1
xycc为 任 意 常 数
解 分离变量 d y d x , yx
两端积分
dy y
dx , x
0的特解.
解 d d x tk1C sikn tk2 C co k,st
d d22 xtk2C 1co k stk2C 2sikn ,t 将dd2t2x和x的表达式代入,原方程
k 2 ( C 1 c k C o 2 s t k ) s i k 2 ( C n t 1 c k C o 2 s t k ) s i 0 .
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
例yy, 通解 yCxe; yy0, 通 y C 解 1 sx i C n 2 cx o ; s
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
例3 验证:函数xC1cosktC2sinkt是微分
方程dd2t2xk2x0的解. 并求满足初始条件
xt0
A,
dx dtt0
3、 d sin2 是______阶微分方程； d
4、一个二阶微分方程的通解应含有____个独立任意常数 .
第二节：一阶微分方程
一阶方程的几种常见形式：
（1） Fx,y,y0 隐式
（2) y f x, y
显式
（3) P x,yd x Q x,yd y 0对称式
一、可分离变量的微分方程
定义：若方程可以化为形如 g (y)d yf(x )dx
故 xC 1co k stC 2sikn 是 t 原方 . 程
x A, dx 0,
t0
dtt0
C 1 A , C 2 0 .
所求特解为 xA ck o.ts
四、小结
本节基本概念：
微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解；
思考题
函 数 y3e2x是 微 分 方 程 y4y0
的形式，则称该方程为可分离变量方程
比如
dy dx
f1(x)
f2(y)
可分离变 量方程
M 1 ( x ) M 2 (y ) d x N 1 ( x ) N 2 (y ) d y 0
g (y)d yf(x )dx 已分离变量方程
可分离变量方程
dy dx
f1(x)
f2(y)ห้องสมุดไป่ตู้
M 1 ( x ) M 2 (y ) d x N 1 ( x ) N 2 (y ) d y 0
的 什 么 解 ?
思考题解答
y6e2x, y1e22x, y4y1e2 2 x 43 e2x0 , y3e2x中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
练习题
一、 填空题:
1、 xy 2 y x 2 y 0是______阶微分方程；
2、 L
d 2Q dt 2
R
dQ dt
Q c
0是______阶微分方程；
d2s dt2 0.4
t0时 ,s0,vd s2,0 dt
vddst0.4tC1
s 0 .2 t2 C 1 t C 2
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.