空间群与晶体

本书系统地介绍了晶体 学中、平移群 点群 空 间群和色群及其在晶体 学中的应用。内容深刻 易懂，虽然出版于 1991年但仍不失为一 本经典的教材。

以晶体的一个三次对称轴或 者三次倒转轴为c轴，三个水 平轴正端120°且与c轴正交 。通常采用四轴定向。 α=β=90°；γ=120°； a≠b≠c。但是也有部分三方 晶系的宝玉石采用三轴定向 。在这种情况下c轴不是三次 对称轴。三个结晶轴和三次对称轴均呈斜交状态 并且角度相同。彼此绕三次对称轴分布 α′=β′=γ′≠90°，a′=b′=c′
旋转对称操 对称轴 作



总的来说，对称操作分为两大类:点式对称操作和 非点式对对称操作. 在进行操作时，至少有一个点保持不动的称为点式 对称操作，如前述的反映对称和旋转对称. 没有不动点的对称操作称为非点式对称操作，如平 移对称。

顾名思义点对称操作组成的群 点对称操作分为两类： 1、第一类点对称操作 旋转对称操作 2、第二类点对称操作 象转操作（反演操作与旋转操作相结合的操作）
晶体在微观上的空间点阵结构是其平移对称性的表现 由此导出了14种平移群（即我们所熟知的14种布 拉菲点阵：简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单 正交、底心正交、体心正交、面心正交、三角、简 单四方、体心四方、六角、简单立方、体心立方、 面心立方）
对称操作
对称元素
平移对称操 空间点阵 作 反映对称操 反映面 作
沿着立方轴转π/2,π，3π/2，有 3个立方轴，共9种 沿着面对角线转π，有6条面对角线，共6种 沿着体对角线转2π/3，4π/3，有4条体对角线， 共8种 不动算1种，共9+6+8+1=24种。 这24种转动加上中心反演也有24种，故共48种， 记为Oh，其中24 种纯转动记为O。


点式操作

1次旋转对称操作（恒等操作相当于转了360度） 2次旋转对称操作 （旋转轴上的点不动）

同理有 3、4、6次旋转对称操作 表示方法：1（C1）、2（C2）、3（C3）、4 （C4）、6（C6）

参见《晶体结构的对称群》P33——俞文海

一次象转操作 如图
相当于反演操作-m

其矩阵形式如下：

由于α-石英属于原子晶体三方晶系、无对称中心的 32点群空间群P312或P322

由于在结构中存在六 次旋转轴，点群 622。空间群P642 或P622，围绕对称 轴的硅离子，在（ 0001）投影图上可 连成正六边形。所以 即使应力产生应变正 负电荷中心仍然重合 ，不会产生静电偶极 矩

《晶体结构的对称群》（平移群 、点群、 空间群 、色群），俞文海，中国科技大学出版社，1991

应该注意，与点阵、螺旋轴、滑移面对应的对称操 作，空间上的每一点都移动了，具有这种性质的操 作称空间操作。因为空间操作直接与晶体微观结构 的周期性相联系，故也称微观对称操作，其阶为∞ 。与空间操作相对应的对称操作要素只能存在于无 限的结构中，而不能存在于有限的晶体中。 包括了这些与平移有关的操作之后，晶体的对称运 动可以全部分类成230个对称操作群，称晶体空间 群，也称空间群。
——管清华

群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群 的元素可以是字母、数字、对称操作、点阵等。 群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、 有逆元的二元运算的代数结构。



平移是将物件的每点向同一方向移动相同距离 它可以视为将同一个矢量加到每点上，或将坐标系 统的中心移动所得的结果。即是说，若v是一个已 知的矢量，p是空间中一点,平移T(p)=p+v 将同一点平移两次，结果可用一次平移表示，即 V=V1+V2，因此所有平移的集是一个群，称为平 移群

滑移面。相应的操作是镜映和平移组成的复合操作 。操作进行时，先通过某一平面进行镜映，然后在 与平面平行的方向上平移一定距离，该平面就称滑 移面。

我们再看一个n滑移的例子.如图6,1所示，滑移面 垂直于c方向，轨迹为(x，y，s）滑移量为(a+b)/2 ，则其对’(x，y,z)点的操作为





与平移有关的对称要素有三个： 点阵，与其相应的操作是平移； 螺旋轴，相应的操作是转动和平 移组成的复合对称操作。操作进 行时，先绕一轴转动一定角度， 然后再沿与此轴平行的方向进行 平移（或先平移再转动），
该轴就称螺旋轴。螺旋轴的轴次也只有1，2，3，4，6。对 于n重螺旋轴，沿轴向的平移，因晶体的周期性要求，由公 式决定。其中，为轴向上的点阵周期，m是整数，并且 m<n。
如上依此类推，三斜晶系有Ix2=2种，单斜晶系有 3x26种，等等，7种晶系共计66种点式空间操作 理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三 个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无 限的点阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对 称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个 面，而是整个点阵。

二次象转操作可分为反演操作+2次旋转操作，如 下图：（ 可以看出其就是反映操作）




与旋转操作类似象转操作也有五种分别为1、2、3、 4、6 次象转操作。 其中由于3、6次象转操作可分解为反演操作（m） +旋转操作（3、6） 所以点式操作只有8个独立操 作，1,2,3,4,6 和 。 。




β-石英属于六方晶系，图2-121为其在（0001） 面上的投影。在结构中存在六次旋转轴，围绕对 称轴的硅离子，在（0001）投影图上可连成正六 边形。 α-石英与β-石英不同的是，α-石英的Si-O-Si键 角不是150°而是 137°。由于这一角度的变化 ，使α-石英结构变为三方晶系。围绕三次旋转对 称轴的离子已不再形成正六边形，而是复三方形( 见下图）
现在，我们来介绍点对称操作的集合所构成的点群 晶体学点群共有32种，称为32种晶体学点群，简 称32种点群。

为什么晶体学点群有32种而不是更多或更 少?
《晶体结构的对称群》3.7--会给以严格的数学推 导 在此不一一赘述
Байду номын сангаас



我们从正方点阵出发介绍.点群与晶体结构 比如正方体有 48个对称操作： 对称性的关系



如果考虑实际晶体的某些物理性质，则不仅有空间 位置上的对称特征，而且会有物理性质上的对称特 征.例如，磁性有南北两极，电荷有正负两类，自旋 有上下两态等等.这些具有相反两种状态的性质，可 以用反对称操作来描述. 以磁体的南北极为例：
SiO2, 为α-石英和β-石英的总称。两者相 转变温度在570℃。常含不同数量的气态、 液态和固态物质的机械混入物。 α-石英具有压电性而β-石英不具有压电性