运用正难则反的补集思想解题

运用正难则反的补集思想解题

例1 已知A={x|x2+(k+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+= ，求k的取值范围。

解析：若从正面直接求k的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。因为方程

x2+(k+2)x+1=0

的根不可能为零，且两根必定同号，故A∩R+≠的条件是

⊿=(k+2)2-4≥0，

x1+x2=-(k+2)>0，

解得k≤-4。

所以，当A∩R+= 时，k的取值范围是k>-4。

例2.若关于方程a x2-4x+a+1=0至多有一个非负实数根，求实数a的取值范围。

解析：(1)先求问题的反面，再求其补集。

(i)a=0时,方程-4x+1=0,x=1/4,符合题意.

(ii)a不=0时,判别式=16 -4a(a+1)>=0,得-1/2-根号17 /2<=a<=-1/ 2+根号17 /2

即全集U={a|-1/2-根号17 /2<=a<=-1/2+根号17 /2,a不=0} 如果二个根都是非负根,则有:

x1+x2=4/a>=0,得a>0

x1x2=(a+1)/a>=0,得a>0或a=<-1

即:a>0,设为A={a|a>0}

故:至多有一个非负实数根,a的取值范围是:

A在U中的补集={a|-1/2-根号17/2<=a<0}

综合(i)(ii)得:-1/2-根号17/2<=a<=0

“否命题”与“命题的否定形式”区别

格式：

原命题是“若p则q”

否命题是“若非p，则非q”，

命题的否定形式是“若p则非q”。

区别：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。注意：对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样，不是“不一定”，而是“一定不”

例1. 原命题：

（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；

（2）菱形的对角线互相垂直；

（3）面积相等的三角形是全等三角形。

写出原命题的否定形式和否命题。

解：（1）原命题的否定形式：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。原命题的否命题为：若一个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。

（2）原命题的否定形式：菱形的对角线不互相垂直。原命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。

（3）原命题的否定形式：面积相等的三角形不是全等三角形。原命题的否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形。

五道关于集合的高考题（一定要做）

1.（2009上海卷文）已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且

A∪B=R，则实数a的取值范围是__________________.

2.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于

k€A，如果k-1不属于A,且k-1不属于A，那么K是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的

所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

3.（2009年上海理）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，

且A∪B=R，则实数a的取值范围是_______________.

4.（2003上海春）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，

B={x|x≥a}，且A是B的真子集，则实数a的取值范围是_____.

5.（2002上海春，3）若全集U=R，f（x）、g（x）均为x的

二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，则不等

式f(x)g(x) ＜0的解集可用P、Q表示为_____.

10.12上传不等式的几个较难的性质

1．取倒数性质

1）若或，则。

2）若或，则。

2．取绝对值的性质

1）。

2）若，且，①当时，有；

②当时，有。

3．有关分数的性质

若，且，则

1）真分数的性质：

①；

②。

2）假分数的性质：

①；

②。

评注：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。2）是假分数的性质，可简述为：假分数越加越小，越减越大。

以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。

10.12上传比较两个实数大小的典型方法

比较两个实数大小通常用作差法，其步骤为：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论.概括为“三步一结论”，其中变形是比较两个实数大小的关键，下面给出变形的基本手段。 一、因式分解

例1， 若0q >，且1q ≠，比较31q +与2q q +大小. 解

：

32222(1)()(1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q +-+=+-+-+=+-+=+- 201(1)(1)0q q q q >≠∴+-> 且 故31q +>2q q +

点评：通过因式分解可得到若干个因式连乘积，有助于我们利用性质判断出符号. 二、配方

例2， 已知,a b R ∈，比较44a b +与33a b ab +的大小.

解：443333()()()()a b a b ab a a b b b a +-+=-+-

332222223

()()()()()[()]024

b a b a b a b a ab b a b a b =--=-++=-++≥

当且仅当a b =时等号成立.4433a b a b ab ∴+≥+

点评：二次三项式往往很难看出与0的大小，配方后转化成含有完全平方式的形式，有助于我们判断出符号. 三、判别式

例3，设,m R x R ∈∈，比较21x x -+与222m mx --的大小.

解： 2222(1)(22)(21)(21)x x m mx x m x m -+---=+-++ 二次三项式22(21)(21)x m x m +-++的判别式