双曲面

3．单叶双曲回转面
由一直母线绕一条与它交叉的直导线回转而形成的曲面。

如一直母线AB绕与其交叉的直导线OO为轴回转，则形成了单叶双曲回转面。

其投影如图9-15所示。

4．双曲抛物面
由一直母线沿两条交叉的两直导线运动，运动中所有素线始终平行某一导平面而形成的曲面，如图9-16所示。

交叉两直线AB和CD为导线，P 为导平面，AC为直母线，它与导平面P平行，CP为铅垂面。

当
直母线AC运动到A1 C1 位置时，仍保持与交叉两直线相交，且与导平面P平行，这样连续运动所形成的曲面即为一双曲抛物面。

该曲面用水平面截切得截交线为双曲线，如果正平面或侧平面截切得截交线为抛物线，故因此得名双曲抛物面。

图9-14锥状面
图 9-15单叶双曲回转面的投影
曲纹面
以任意的平面曲线为母线绕回转轴旋转而形成的曲面称为曲纹面。

常见曲纹面有回转椭球面、回转抛物面等。

1．回转椭球面
回转椭球面是椭圆绕其自身的长轴或短轴旋转而形成的曲面。

图 9-17所示的回转椭球面的投影，是绕长轴旋转形成的，正面投影是椭圆本身大小，而水平投影是以短轴为直径的圆。

2．回转抛物面
回转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转而形成的曲面。

回转抛物面的正面投影就是抛物线本身，而水平投影是圆，如图 9-18所示。

图 9-16 双曲抛物面
图 9-17回转椭圆面 图9-18回转抛物面
4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程： （1）
（2）
解：（1）从原方程得：
x y z +-=axy z =2
22y z x -=-
即：
亦即：
为了避免取极限，将上方程写成：
（1）
若将原方程变形为：，则可得到：
（2）
若令，，则（2）便是（1）
原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。

（2）原方程变形为：
亦即：
（1）
y y z x z x ⋅-=-+))((⎩⎨⎧-=-=+⇔=--=+y t z x ty z x t z x y
y z x )(⎩⎨
⎧-=-=+sy t z x ty
z x s )()(222x z y -=-⎩⎨
⎧-=-=+ux z y v vx
z y u )()()(2
1s t u -=)
(2
1s t v +=∴t s ,ay x z
=t
ay x z
==⎩⎨
⎧==∴t ay xt z
由
得： （2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。

2、 求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）
（1）； （2） 解：（1）原方程等价于
从此式中消去，得：
此即为直母线（1）所形成的曲面。

（2）从原方程中消去得：此即为（2）的直母线族所形成的曲
面。

3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。

解：双曲抛物面的两族直母线为：
ax y z
=⎩⎨
⎧==s ax sy z λ011
2λ
λ-=
-=-z y x ⎩⎨⎧=--=++442442z y x z y x λλλλ⎩⎨
⎧=-=-λ
λz y
x 2λy x z +=2
λ1
41622
2=-+z y x z y x =-4162
20423=-+z y x z
y x =-41622
及
第一族直母线的方向矢量为： 第二族直母线的方向矢量为： 据题意，要求的直母线应满足：
要求的直母线方程为：
及
4、试证单叶双曲面的任意一条直母线在面上的射影，一定
是其腰圆的比线。

证明：单叶双曲面的腰圆为
两直母线为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+z y x u u
y x )24
(24⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=-z y
x v v y
x )24(24},1,2{u -},1,2{v 204232104232=⇒=-+⨯=⇒=--⨯v v u u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x y x
24
12
4⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=-224
224z y x y
x
122
222
2=-+c z b y a x xoy ⎪⎩
⎪⎨⎧==+01
22
22z b y a x
它在面内的射影为 ： （2）
将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
即：
上述方程的判别式为：
（2）与（1）相比，证毕。

5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。

解：设动直线与二已知直线分别交于，则
，
又动直线与平面平行，所以，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b y v c z
a x xoy ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=0
)
1(12z v v b y v v a
x
4
4)]1(1[222
=+-++b y v v b y v v 0)1()1(2])1(1[222222=-+-++v v y v v b y v v b 0)1()1(4)1(4222
2
222=-+--=
∆v v v v b v v b ∴1123
6-==-z y x 214
283-+=-=z y x 0532=-+y x ),,(),,,(111000z y x z y x 11236000-==-z y x 214283111-+=-=z y x 0532=-+y x 0)(3)(21010=-+-y y x x
对动直线上任一点，有：
从（1）——（4）消去，得到：
6、求与下列三条直线
， 与都共面的直线所构成的曲面。

解：动直线不可能同时平行于直线及直线 不妨设其与第一条直线交于
注与第二条直线的平面为：
过与直线
的平面为
动直线的方程为：
从上式中消去参数，得：
此为所要求的轨迹方程。

7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的
一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。

),,(z y x M 010
010010z z z z y y y y x x x x --=
--=--111000,,,,,z y x z y x z
y x 4492
2=-⎩⎨⎧==z y x 1⎩⎨⎧-=-=z y x 152
4132+=+=--z y x ⎩⎨⎧==z y x 1⎩⎨⎧-=-=z y x 1
),,1(λλp ),,1(λλp 0)()1(=+-+z y x λp 52
4132+=
+=--z y x 0)]()1(3[)](3)1[(=++----+z y x z y x λ⎩⎨
⎧=++----+=+-+0)]()1(3[)](3)1[(0
)()1(z y x z y x z y x λλλ1222=-+z y x
证明：单叶双曲面的一族直母线为： 过该族中一条直母线的平面为：
即：
（1）
另一族直母线为：
过该族中一条直母线的平面为：
即
（2）
对照（1）、（2）得，只要令，得（2）便是（1）了 亦即过族每一直母线的任一平面都经过族中的一条直母线， 同理，对族的直母线也有类似性质。

对双曲抛物面：
1222222=-+c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=+)1()()1()(b y u c z a x v b y v c z
a x u 0
)]1()([)]1()([=---++-+b y
u c z a x v t b y v c z a x u s 0)1()()1()(=---++-+b y
tu c z a x tv b y sv c z a x su ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+)1()()1()(b y m c
z a x n b y n c z
a x m 0
)]1()([)]1()([=+--+--+b y
m c z a x n l b y n c z a x m k 0
)1()()1()(=+--+--+b y
ml c z a x nl b y kn c z a x km v l t n u k s m ====,,,u v v z b y a x 222
22=-
其族直母线为：
（*）
取其中的一条（即取定），显然平面通过直母线（*），但该平面
不通过族直母线中的任何一条，这是因为：
族直母线
的方向矢量为
而
平面不能通过族中的任何直母线。

8、试求单叶双曲面上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+z b y a x u u b y
a x )(2u u
b y
a x 2=+v v ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=-z v b y a x w b y
a x )(}
2,1,1{ab v
a b 0
2201111≠=⋅+⋅+⋅ab ab v a b b a ∴u b y
a x 2=+v 122
222
2=-+c z b y a x
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条母线和一条母线，
所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
将两方程化为标准式，得:
由此求出二直线的交点坐标为：
又二直线垂直，
u v ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=+)1()()1()(b y w c
z a x u b y u c z
a x w ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+)1()()1()(b y t c
z a x v b y v c z a x t )(2)(2)(2)(22222222t v c vt t v a z bvt y t v a vt v t a x +--
=-=-+-ut vw wt uv c z ut vw ut vw b y ut vw wt uv a x +-=
+-=++=
)(,)(,)(0))((4))((22222222222=+++---∴t v w u c uvwt b t v w u a
即
又交点在单叶双曲面上，所以：
故交点的轨迹为
9、试证明双曲抛物面上的一两条直母线直交时，其交点必
在一双曲线上。

2222222222222222222222222
2222222222222222222222222222222222
2
222222
2
2
)()2)(()(4)(2)())(()()(2)())(()()(2)()()()()()()(ut vw uvwt t u v w c b a ut vw uvwt b uvwt c b a t u w v b t u v w c a ut vw uvwt c b a t u w v b c a t w v u ut vw uvwt c b a t w v u c t u w v b t w v u a ut vw wt uv c ut vw b wt uv a z y x +++-+=
++--++++-=
+--+++++=
+--++++++=
+-+-++=
++∴222c b a -+=222222c b a z y x -+=++122
2222=-+c z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=-+c
b a z y x
c z b y a
x 2222222
22221
)(222
2
2b a z b y a x ≠=-
证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条族直母线，也仅有一条族直母线，所以同族的直母线不能相交。

设两相交的直母线为:
其方向矢量为与 其方向矢量为 由二直线直交，所以：
（*）
二直母线的交点坐标为：
但由（*）式有： (* *）（* *）为一双曲线方程，交点在一双曲线上。

10、已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。

u v ⎩⎨
⎧=--=-+002abz uay ubx abu ay bx }
2,,{u b a -⎩⎨
⎧=-+=--002abz uay ubx abu ay bx }2,,{v b a )(410422
22a b uv uv b a -=
⇒=+-⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()
(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-2222
22
222a b z a b b y a x ∴a 2α2
解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为轴，公垂线的中点为原点，让
轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为：
与
过这两直线的平面为：
二平面的交线为：
（1）
（2）
当二异面直线不直交时，
，从（1）（2）中消去，得：
——单叶双曲面
此为要求的轨迹方程。

当二异面直线直交时，则，此时，（1）（2）变为：
z O x ⎩⎨⎧==⋅+a z x tg y 0α⎩⎨⎧-==⋅-a z x tg y 0α0)()(:1=⋅++-x tg y u a z αλπ0)()(:2=⋅-++x tg y m a z l απ⎩⎨
⎧=⋅-++=⋅++-0)()(0
)()(x tg y m a z l x tg y u a z ααλ21ππ⊥ 0)1(2=-+∴αλtg um l 1
≠αtg m l u ,,,λ1)1()1(22
2
22222=+---a z tg a y ctg a x αα1=αtg
当时，为
它的轨迹为平面。

当时，为
它的轨迹为平面
从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：
与
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
一、直纹曲面：
柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构
成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.
二、直母线：
1． 单叶双曲面
+
－
＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为
⎩⎨
⎧=-++=++-0)()(0)()(x y m a z l x y u a z λ)1('0=l λ)2('0=λ)1('⎩⎨⎧=-++=+0)()(0x y m a z l x y 0=+x y 0=l )1('⎩⎨⎧=-=++-00)()(x y x y u a z λ0=-x y 0=+x y 0=-x y
(λ, μ为参数, 且不全为零)
与
(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.
2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为
(λ为参数) 与 (λ'为参数)
3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.
4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.
三、性质：
1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.
2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.
3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.
例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.
解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为
与
将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,
代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为
与
即
与
例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.
解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为
它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有
3×+2×+(－4)×＝0,
解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为
同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为
例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,
一定是其腰椭圆的切线.
证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为
l：
则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线
l'：
现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有
代入腰椭圆方程
得
该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.
例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5
＝0平行的直线的轨迹.
解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有
＝0,
＝0.
即有
(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,
(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.
又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,
由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得
＝0,
化简整理得
－＝z.
这是一双曲抛物面.
例5. 求与下列三条直线
与＝＝
都共面的直线所构成的曲面.
解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有
＝0, ＝0,＝0.
或
由于X, Y, Z不全为零, 从而有
＝0,
化简整理得
x2+y2－z2＝1.
这是一单叶双曲面.
作业题：
1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.
2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。