双曲面

3．单叶双曲回转面

由一直母线绕一条与它交叉的直导线回转而形成的曲面。如一直母线AB绕与其交叉的直导线OO为轴回转，则形成了单叶双曲回转面。其投影如图9-15所示。

4．双曲抛物面

由一直母线沿两条交叉的两直导线运动，运动中所有素线始终平行某一导平面而形成的曲面，如图9-16所示。交叉两直线AB和CD为导线，P 为导平面，AC为直母线，它与导平面P平行，CP为铅垂面。当

直母线AC运动到A1 C1 位置时，仍保持与交叉两直线相交，且与导平面P平行，这样连续运动所形成的曲面即为一双曲抛物面。该曲面用水平面截切得截交线为双曲线，如果正平面或侧平面截切得截交线为抛物线，故因此得名双曲抛物面。图9-14锥状面

图 9-15单叶双曲回转面的投影

曲纹面

以任意的平面曲线为母线绕回转轴旋转而形成的曲面称为曲纹面。常见曲纹面有回转椭球面、回转抛物面等。

1．回转椭球面

回转椭球面是椭圆绕其自身的长轴或短轴旋转而形成的曲面。图 9-17所示的回转椭球面的投影，是绕长轴旋转形成的，正面投影是椭圆本身大小，而水平投影是以短轴为直径的圆。

2．回转抛物面

回转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转而形成的曲面。回转抛物面的正面投影就是抛物线本身，而水平投影是圆，如图 9-18所示。

图 9-16 双曲抛物面

图 9-17回转椭圆面 图9-18回转抛物面

4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线

1、 求下列直纹面的直母线族方程： （1）

（2）

解：（1）从原方程得：

x y z +-=axy z =2

22y z x -=-

即：

亦即：

为了避免取极限，将上方程写成：

（1）

若将原方程变形为：，则可得到：

（2）

若令，，则（2）便是（1）

原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。

（2）原方程变形为：

亦即：

（1）

y y z x z x ⋅-=-+))((⎩⎨⎧-=-=+⇔=--=+y t z x ty z x t z x y

y z x )(⎩⎨

⎧-=-=+sy t z x ty

z x s )()(222x z y -=-⎩⎨

⎧-=-=+ux z y v vx

z y u )()()(2

1s t u -=)

(2

1s t v +=∴t s ,ay x z

=t

ay x z

==⎩⎨

⎧==∴t ay xt z

由

得： （2）

（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）

（1）； （2） 解：（1）原方程等价于

从此式中消去，得：

此即为直母线（1）所形成的曲面。

（2）从原方程中消去得：此即为（2）的直母线族所形成的曲

面。

3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。 解：双曲抛物面的两族直母线为：

ax y z

=⎩⎨

⎧==s ax sy z λ011

2λ

λ-=

-=-z y x ⎩⎨⎧=--=++442442z y x z y x λλλλ⎩⎨

⎧=-=-λ

λz y

x 2λy x z +=2

λ1

41622

2=-+z y x z y x =-4162

20423=-+z y x z

y x =-41622

及

第一族直母线的方向矢量为： 第二族直母线的方向矢量为： 据题意，要求的直母线应满足：

要求的直母线方程为：

及

4、试证单叶双曲面的任意一条直母线在面上的射影，一定

是其腰圆的比线。

证明：单叶双曲面的腰圆为

两直母线为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-=+z y x u u

y x )24

(24⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+=-z y

x v v y

x )24(24},1,2{u -},1,2{v 204232104232=⇒=-+⨯=⇒=--⨯v v u u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x y x

24

12

4⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+=-224

224z y x y

x

122

222

2=-+c z b y a x xoy ⎪⎩

⎪⎨⎧==+01

22

22z b y a x

它在面内的射影为 ： （2）

将（2）的第一式代入（1）的第一式得：

即：

上述方程的判别式为：

（2）与（1）相比，证毕。

5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。

解：设动直线与二已知直线分别交于，则

，

又动直线与平面平行，所以，

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=--=+)1(1)1(b y v

c z a x b y v c z

a x xoy ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=0

)

1(12z v v b y v v a

x

4

4)]1(1[222

=+-++b y v v b y v v 0)1()1(2])1(1[222222=-+-++v v y v v b y v v b 0)1()1(4)1(4222

2

222=-+--=

∆v v v v b v v b ∴1123

6-==-z y x 214

283-+=-=z y x 0532=-+y x ),,(),,,(111000z y x z y x 11236000-==-z y x 214283111-+=-=z y x 0532=-+y x 0)(3)(21010=-+-y y x x