ch1运动学2011例题

2
y 6 x /2
2
x 2t [例 5 ]已知运动方程 2 y 6 2t
求
an ,at
y x ,
1
y 1
y

(1 y4t
2
1 (1 x )
2 3 2

1 (1 4 t )
2 3 2
an
v
他立即刹车，使客车以加速度 a 作匀减速运动。
问 a 应满足什么条件才能使两车不相撞？ [解]
客车
•
v1
d
货车
•
v2
••
设客车与货车在行驶 t 时间后将碰上
首先，客车行驶的距离与货车行驶的距离的关系：
v1 t
1 2
at v2t d
2
其次，在两车碰到前客车速度降为 v 2 即可保证 后面一直不碰上：
2 i 4 tj
4 j
a 16
2
at
dv dt

4
8t 1 4t
2
an
a a
2
2 t

1 4t
2
[例6] 一列以速率v 1
沿直线行驶着的客车上的司
机看见前面与他相距 d 处，有一列货车在同一轨 道上以速率 v 2 ( v 2 v1 ) 沿相同方向行驶，于是
v1 a t v 2 t
v1 v 2 a
a
( v1 v 2 ) 2d
2
[例7]一质点以初速度v。作一维运动，所 受阻力与其速度成正比，试求当质点速度 为v0/n (n>1)时，质点经过的距离与质点 所能行经的总距离之比。
[例7]一质点以初速度v。作一维运动，所 受阻力与其速度成正比，试求当质点速度 为v0/n (n>1)时，质点经过的距离与质点 所能行经的总距离之比。
2

v( 2) an ( 2)
25 1.2
20.8 m
[例3]如图示小船在绳子的 牵引下运动，求船靠岸的速 率(人拉绳子的速度大小为v0)
v0
l
h

v
s
[例3]如图示小船在绳子的 牵引下运动，求船靠岸的速 率(人拉绳子的速度大小为v0) 解： 或：
v0
l
h

v
s
由： 和
得到船的靠岸速率：
[例2]质点作平面曲线运动，x=3t m，y=1-t2 m, 求：(1)质点运动的轨道方程； (2)t=3s时的位矢； (3)第2s内的位移和平均速度； (4)t=2s时的速度和加速度； (5)时刻t的切向加速度和法向加速度； (6)t=2s时质点所在处轨道的曲率半径．
解 (1)由运动方程消去t, 得轨道方程为
[解]质点运动是一维的，故取一维坐标OX， 原点(x=0)为质点在t=0 时刻以初速度vo开始 运动的位置。质点的加速度可表示为 a=-kv (1) 式中k为大于零的常数。 由加速度的定义，作变量替换有
(2)
[例8]已知质点作直线运动，其速度v=3t-t2 (m／s)，求质点在0-4s时间内的路程
[例1]质点的运动方程为 讨论质点的运动性质。
[例1]质点的运动方程为 讨论质点的运动性质。 解： 位置矢量： y ω o x
速度：
速度大小
y ω o 匀速圆周运动！ x
速度沿切线方向！
[例2]质点作平面曲线运动，x=3t m，y=1-t2 m, 求：(1)质点运动的轨道方程； (2)t=3s时的位矢； (3)第2s内的位移和平均速度； (4)t=2s时的速度和加速度； (5)时刻t的切向加速度和法向加速度； (6)t=2s时质点所在处轨道的曲率半径．
r (3) 81 64 12m
y (3) x(3) 4138 表示；
方向由r(3)与x轴的夹角 arctan
(3): 第2 s内的位移为Δr =[x(2)-x(1)]i+[y(2)-y(1)]j=3i-3j 大小 r 9 9 3 2m 方向与x轴成 arctan y 45
S x (3) x (0) x (3) x (4) 3 2 3
2
1 3
3
3
3 2
3
2
1
3 ( 4 4 ) 6 ( m) 3 2 3 2 6 3
3 2 3
3
1
9
11
1
例9
例9
[例4] 一质点以初速度v 0 作直线运动，所受 阻力与其速度的三次方成正比，试求质点速 度随时间的变化规律及速度随位置的变化规 律。
[例4] 一质点以初速度v 0 作直线运动，所受 阻力与其速度的三次方成正比，试求质点速 度随时间的变化规律及速度随位置的变化规 律。 [解] 根据牛顿定律：
a f m b m v kv
已知质点作直线运动，其速度v=3t-t2(m／s)，求质点在 0-4s时间内的路程
需先确定t=?时，v=0；由v=3t-t2=0，解得t=3s； 再求出位移x，由于v=dx/dt , 有

x
0
dx (3t t )dt
2 0
t
x
3 2
t
2
1 3
t ( m)
3
设质点在0 - 4s时间内的路程为S．由v=3t-t2知，t<3s时， v>0 , t=3s时，v=0；而t>3s时，v<0．如图所示．
[例] x=3t m，y=1-t2 m,求：(1)质点运动的轨道方程；(2)t=3s时 的位矢；(3)第2s内的位移和平均速度；(4)t=2s时的速度和加速度； (5)时刻t的切向加速度和法向加速度；(6)t=2s时质点所在处轨道的 曲率半径．
解 (6) : 由，
an
v
2

, t 2s
时所求的曲率半径为
2
vx v y
2 2
9 4t
2 2
2
得切向加
6 9 4t
2
法向加速度
dv dt
an
a a
注意： 率，而
dv dt
dv dt
dv dt
因为
表示速度大小随时间的变化
表示速度对时间变化率的模．
切向加速度 a 是质点的(总)加速度 a 的一部分，即切向 分量，其物理意义是描述速度大小的变化；法向加速 度 a ，则描述速度方向的变化．
y 1 x
2
9
[例] x=3t m，y=1-t2 m,求：(1)质点运动的轨道方程；(2)t=3s时 的位矢；(3)第2s内的位移和平均速度；(4)t=2s时的速度和加速度； (5)时刻t的切向加速度和法向加速度；(6)t=2s时质点所在处轨道的 曲率半径．
解 (2) : t=3s时的位矢，r(3)=x(3)i+y(3)j=9i-8j, 大小为
2 1/ 2
(2)
dv dt
kv
3

x
dv dx / v
kv
3

1 v
v v0
dv v
2
k dx
0
v
kx
v0
1 v0

1 v
kx
v v 0 k xv 0 v
(1 k xv 0 ) v v 0
v
v0 1 k v0 x
x 2t [例 5 ]已知运动方程 2 y 6 2t
求
an ,at
[解法一]
已知： r 2 t i ( 6 2 t 2 ) j dr 2 i 4 tj v dt
v 2 1 4t
2
at
an
dv dt
v
2

d dt
(2 1 4t )
2
8t 1 4t
2

v
2
4 16 t
2

d dt

(因为 x 2 t )
2
at
an
dv dt
v
2

(2 1 4t )
8t 1 4t
2

v
2
4 16 t
2
y 6 x /2
2
[解法二]
a a a
2 n 2 t
2
a
dv dt
v
dr dt
2 r 2 ti (6 2 t ) j dr 2 i 4 tj v dt
[例] x=3t m，y=1-t2 m,求：(1)质点运动的轨道方程；(2)t=3s时 的位矢；(3)第2s内的位移和平均速度；(4)t=2s时的速度和加速度； (5)时刻t的切向加速度和法向加速度；(6)t=2s时质点所在处轨道的 曲率半径．
解 (5) :由质点在t时刻的速度 v
速度
a dv dt 4t 9 4t
x
平均速度的大小不能用 v 表示，但它的x,y分量可表示 为 x y
vx t , vy t
[例] x=3t m，y=1-t2 m,求：(1)质点运动的轨道方程；(2)t=3s时 的位矢；(3)第2s内的位移和平均速度；(4)t=2s时的速度和加速度； (5)时刻t的切向加速度和法向加速度；(6)t=2s时质点所在处轨道的 曲率半径．
3 3
dv dt
kv
3
(1)


v v0
dv v
3
k dt
0
t
1 2
v
v
2 v0
kt
2 2 2
v
2
v 0 2 kt