物理第三章刚体力学

原则上，由以上基本方程，就可以求解刚体动力 学问题，还可用动能定理或机械能守恒定律代替其 中任一个方程。
n
F (i) i
dri
0
i 1
n
动能定理：
dT
F (e) i
dri
③
i 1
对保守力系，刚体机械能守恒
T V E
④
三、刚体的平衡方程
1、平衡条件：刚体的平衡条件是受的主矢和主矩同时为
零, 若主矢 F 0 ,而主矩 M 0 则刚体有转动；若主
1、力的可传性原理 力可沿它的作用线向前或向后移动，刚体运动不因力 沿力的作用前后移动而改变。即：作用在刚体上的力 是滑移矢量，而不是自由矢量。
F F
作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线
2、力系的简化 ⑴ 共点力系：采用平行四边形法则简化为一个单 力—合力 ⑵ 共面非平行力的简化： 利用力的可传性原理，将两力沿力的作用线滑 移汇集于一点，再用平行四边形法则简化为一个单 力—合力。
第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析
一、什么是刚体 特殊的质点组
Jz ri mii miri2 I
i
i
ri
i
mi
形状和大小都不发生变化(任意
两质点间的距离不发生变化) 二、研究刚体运动的方法
M
e
z
dJ z dt
Izz
d
dt
Izz
运用质点组的基本定理及守恒定律， 再考虑到刚体的特殊性加以修正。
矢 F 0，而主矩 M 0 , 则刚体有平动, 故刚体的平衡
条件为：F 0, M 0。
2、平衡方程
空间力系
F
0
Fx Fy
0 0
Fz 0
M
0
M M
x y
M z
0 0 0
平面力系
Fx Fy
0 0
M z 0
一矩式
Fx 0
M
Az
0
M Bz 0
二矩式
适用条件：两个取矩点A、B的 连线不得与投影轴垂直
系数 。
解: (1) 对棍子受力分析，建坐标系
F2
(3) 平行力的简化
➢力偶：等大反向的一对平行力 不在同一直线上）
F2
d
F1
➢力偶臂:力偶中两个力的作用线之间的距离。
➢力偶矩:力偶中任何一个力的大小与力偶臂d 的乘
积，方向可用右手螺旋定则确定。
➢力偶矩的特点：
力学效果：引起物体的转动。
①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量 和，故力偶矩的量值与取矩点无关。
说明：该力和力偶矩对刚体的作用与原力等效。
(5) 空间力系向一点简化
力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩， 这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单 力偶矩，其作用与原力系等效。
结论：作用在刚体上的任意空间力系（F1, F2......Fn )
可向简化中心简化得：一个单力—主矢和一个
力偶矩—主矩。
M Az 0 M Bz 0 M Cz 0
三矩式
AB
适用条件：三个取矩点不得共线
A Bx
C
例1：一根均匀的棍子，重为P，长为 2l ，今将其一端
置于粗糙地面上，又以其上的C点靠在墙上，墙离地面
的高度为h，当棍子与地面的角度 为最小值 0 时，棍
子在上述位置仍能处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦
4、定点转动：自由度(s＝3）,用描述轴的方向
的 , 角和刚体绕轴线的转角 描述。
O
5、一 般运动：自由度6，用描述质心位置的坐
标 xc, yc, zc 和对质心“定点”转动的三个角
,, 描述。
§3.2 刚体运动方程与平衡方程
一、空间力系的简化
力系：作用在刚体上的一组力的集合 零力系：作用在刚体上的若干对平衡力的集合
合内力做功之和为零 以定轴转动为例：①刚体上各点有相同的角量。 ②转轴一定，则有不变的转动惯量。
三、刚体的自由度
1、定义：确定刚体位置所需独立坐标的数目
. 2、刚体自由度的确定
z
B
. . 确定刚体不共线三点ABC的位置，
AC
刚体的位置就确定了，需3x3=9个坐
标，但AB,AC, BC距离一定，所以总
F1
F1
F2
F2
如果刚体上有n个力偶作用，可将其力偶矩向任一点 平移，按平行四边形法则合成为一个力偶矩，也就是说， 诸力偶矩的矢量和就是合力偶矩。
Mo Moi
(4) 一力向一点简化
F
FF
Mo F
o A
oA
oA
F
一力 F 向一点o简化，得一个力和一个力偶矩，该力等
于原力，该力偶矩等于原力对o点之矩。
共需要9-3=6个独立坐标。
x
o
y
或者确定刚体上一个点A的位置需要三个独立坐标， 确定过点A一直线需要2个独立坐标(用三个方向余弦)， 刚体相对定轴（直线）的位置，需要1个独立坐标。
结论：自由刚体有6个自由度。 欧拉角：,,
四、坐标系的选取 在描述刚体运动的时候，通常采用两种坐标系：
➢ 固定在空间的坐标系 Oxyz
➢ 固定在刚体上并随刚体一起运动的坐标系Cxyz
五、刚体运动的分类
刚体坐标系
1、平动：自由度(s=3)，可用其中任一点的坐标 x、y、z描述；
刚体平动动画
2、定轴转动：自由度(s=1)，用对轴的转角 描述；
3、平面平行运动：自由度(s=3)，用基点的坐标及 其对垂直平面过基点轴的转角描述(平动＋转动)。
证明：o点任取
Mo rA F1 rB F2 (rA rB ) F1 rAB F 1 Mo 结论：力偶矩是自由矢量
力的作用面不能随意移动。
F2
rAB
B
A rA rB rB
F1 rA o
o
作用于刚体的力偶的三要素：大小、方向和作用面
②只要不改变力偶矩的大小和方向，力偶可在其作用 面内任意旋转、平移，也可移到与作用面平行的任 意平面内，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂 的长短，对刚体的作用效果不变。
主矢：
n
F Fi i 1
主矩：
n
M (ri Fi ) i 1
[例]如下图,将力系F1和F2简化为主矢F 和主矩 M
简化步骤：选取O为简化中心，则
①将 F1 和 F2 平移至O, 合成后得主矢;
F F1 F2
②在O点作F1 的力矩 M1 rOA F1
F2 的力矩 M2 rOB F2 ,合成得到主矩： M
M M1 M2
M1
二、自由刚体的运动微分方程
由质心运动定律(惯性系中)
m
d 2rc dt 2
F
即：mmxycc
Fx Fy
mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)：
dJc dt
M c
即：
dJcx
dt
M cx
dJ cy dt
M cy
②
dJcz
dt
M cz
①、②即为刚体的基本微分方程