全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等

姚全刚

在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点•下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.

一、截长补短

般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以

考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等;

与长线段相等.

例1 .如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60AC=AE+CD .

,AD、CE分别平分/ BAC、/ ACB .求证:

B D 图i C

分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明

CF=CD .

证明：在AC上截取AF=AE，连接OF.

•/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 °

•••/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° .

显然，△ AEO ◎△ AFO，•/ 5= / 4=60 ° ,•/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 °

在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC

•••△DOC ◎△ FOC, CF=CD

• AC=AF+CF=AE+CD .

截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2:如图甲，AD// BC，点E在线段AB上，/ ADE=Z CDE / DC巨/ ECB 求证：CDAD F BC。

口图甲

或将短线段延长使其

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CDAD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在CD上截取CF=BC，如图乙

CF = CB

CE=CE

£

•••△ FCE^A BCE(SAS，

•••/ 2=Z 1。

又••• AD// BC，

•••/ ADC■/BCD：180°，

•••/ DC&Z CD=90°，

•••/ 2+Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°,

/•Z 3=/ 4。

在厶FDE与厶ADE中,

f AFDE = AADE

< DE = DE

Z3 = Z4

■-

•••△ FDE^AADE（ASA ,

••• DF=DA

•••CD=DF+CF,

/. CD=AD F BC。

解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

二、中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.

例3 •已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长X的取值范围是（）. 分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形

中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.

解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x • 延长AD 至E，使DE = AD=x •

•/ AD是BC边上的中线，••• BD=CD

/ ADC= / EDB （对顶角）•△ ADC ◎△ EDB

• BE=AC=5

•••在△ ABE 中AB-BE v AE v AB+BE

即7-5 v 2x v 7+5 • 1 v x v 6

例4：已知在△ ABC 中，AD 是

BC 边上的中线，

E 是AD 上一点，且 BE 二AC ，延长BE 交AC 于

F ,求证：AF=EF

提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA

三角形BEG 是等腰三角形

例5:已知：如图，在 UABC 中，AB = AC , D 、E 在BC 上, 交 AE 于点 F , DF=AC.

求证：AE 平分.BAC

提示：

方法1倍长AE 至G ,连结DG

方法2:倍长FE 至H ，连结CH

例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中

线，求证：/ C= / BAE 倍长AE 至F ,连结DF

证明△ ABE ^ A FDE( SAS 进而证明 A ADF^A

ADC(SAS

如图金AD 为的中线，求证：AB+AC>2AD n

图了

6、如图6所示，AD 是AABC 的中线，BE 交盘C 于忑 交AD 于F,且AE=EK 求证；AC=BF.

角你热爱生命吗辛那么别浪费时间，因为时间是組成生

I V 命的材料 --富兰克林

过 D 作 DF // BA 提示: A B

B D E 第1题图