2018届高三最新考试数学文科试题平面向量专题及详细答案

2018届高三最新考试数学文科试题
平面向量专题
2017.10
一．选择题
1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →
＝3CD →
，则( )
A.AD →
＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－1
3AC →
1.答案：A
解析：AD →
＝AC →
＋CD →
＝AC →
＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋4
3
AC →
.故选A.
2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →
＋FC →
＝( ) A.AD →
B.12AD →
C.BC →
D.1
2
BC →
2．答案：A 解析：EB →
＋FC →
＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝1
2(AB →＋AC →)＝AD →
，故选A.
3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 3.答案：D
解析：由向量的坐标运算，得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b ) ⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.
4．[2015·四川卷]设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4.答案：B
解析：∵ a ∥b ，∴ 2×6－4x ＝0，解得x ＝3.
5．[2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 5.答案：B
解析：解法一：若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2
－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出
来，故选B.
解法二：因为a ＝(3,2)，若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1
＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝2，
μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.
6．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量BA →
＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →
＝⎝⎛⎭⎫32，1
2，则∠ABC ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 6.答案：A
解析：由两向量的夹角公式，可得
cos ∠ABC ＝BA →·BC →
|BA →||BC →|
＝12×32＋32×
1
21×1
＝3
2，则∠ABC ＝30°.
7．[2016·北京卷]设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.答案：D
解析：取a ＝－b ≠0，则|a|＝|b|≠0，|a ＋b |＝|0|＝0.|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b|≠|a －b |，故由|a|＝|b|推不出|a ＋b|＝|a －b|.
由|a ＋b|＝|a －b|，得|a ＋b|2＝|a －b|2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a ＋b|＝|a －b|推不出|a|＝|b|.
故“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D. 8．[2015·重庆卷]若非零向量a ，b 满足|a |＝
22
3
|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π
4 D ．π 8.答案：A
解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵ |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0，
∴ 83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴ cos θ＝22.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝π4
. 9．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 9.答案：A
解析：由条件可得，(a ＋b )2 ＝10，(a －b )2 ＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a·b ＝1.
10．[2016·天津卷]已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE
并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →
的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.118
10.答案：B
解析：如图，设AC →
＝m ，AB →
＝n .
根据已知得，DF →
＝34m ，所以AF →＝AD →＋DF →＝34m ＋1
2n ，BC →
＝m －n ，
AF →·BC →
＝⎝⎛⎭⎫34m ＋12n ·(m －n )＝34m 2－12n 2－14m·n ＝34－12－18＝1
8
. 11.（泰安市2017高三第一轮检测（一模））在△ABC 中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则CB CA ⋅的值为（ ） A ．3
B ．3-
C ．9
2
-
D ．
92
11.答案：D
12.（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））平面向量a 与b 的夹角为
23
π
，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．4
12.答案： B
二．填空题
13．[2015·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →
＝AB →|AB →|
＋4AC
→
|AC →
|
，
则PB →·PC →
的最大值等于( )
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21 13.答案：A
解析：∵ AB →
⊥AC →
，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝⎛⎭
⎫0，1
t ，C (t,0)，则AP →
＝
⎝⎛⎭⎫
0，1t 1t
＋
4(t ，0)
t
＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．
PB →·PC →
＝⎝⎛⎭⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1
t ＋17＝－⎝⎛⎭⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝1
2
时(负值舍去)取得最大值13.
14．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →
＝1
2(AB →＋AC →)，则AB →与AC →
的夹角为
________．
14.答案：90°
解析：∵AO →
＝1
2
(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 边BC 的中点，
∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.
15. 已知P 是△ABC 内一点，且AP →
＝13AB →
＋7
18AC →
，△PBC 的面积是2 015，则△P AB 的面积是________．
[思路分析] △PBC ，△P AB 分别与△ABC 共底边于BC ，AB ，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△P AB 的面积．
15.[解析] ：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解) 由AP →
＝13AB →＋7
18
AC →，可得5P A →＋6PB →＋7PC →
＝0.
令P A ′→
＝5P A →
，PB ′→
＝6PB →
，PC ′→
＝7PC →
， 连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，如图所示，
于是P A ′→＋PB ′→＋PC ′→
＝0. 即P 是△A ′B ′C ′的重心，
S △P A ′B ′＝S △PB ′C ′，根据已知条件，得S 1＝12|PB →||PC →|sin ∠BPC ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪16PB ′→⎪⎪⎪⎪⎪⎪
17PC ′→sin ∠BPC
＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PB ′→
||PC ′→|sin ∠BPC ＝142
S △PB ′C ′， 所以S △PB ′C ′＝42S 1，同理可得S △P A ′B ′＝30S 2.于是S 2＝42
30S 1＝2 821.故填2 821.
[答案] 2 821
16．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 16.答案：1
2
解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，
1＝2t ，解得
⎩⎨⎧
λ＝12
，t ＝12.
17．[2015·北京卷]在△ABC 中，点M ，N 满足AM →
＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________，
y ＝________.
17.答案：12 －1
6
解析：∵ AM →＝2MC →，∴ AM →＝23AC →.∵ BN →＝NC →，∴ AN →＝1
2(AB →＋AC →
)，
∴ MN →
＝AN →
－AM →
＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－1
6AC →
.
又MN →
＝xAB →
＋yAC →
，∴ x ＝12，y ＝－1
6.
三、解答题
1、（德州市2017届高三第一次模拟考试）已知向量(2cos ,2cos )44x x m =，(2cos )44
x x
n =，设()f x m n =⋅．
（Ⅰ）若()2f α=，求cos()3
π
α+
的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a b C c B -=，求()f A 的
取值范围．
1．【解答】（Ⅰ）2()2cos cos 444x x x f x =+cos 122x x =++2sin()126
x π
=++． ∵()2f α=，∴sin()26απ+1
2
=，
∴21
cos()12sin ()3262
παπα+=-+=．
（Ⅱ）∵(2)cos cos a b C c B -=， ∴(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，
2sin cos sin cos cos sin sin()A C B C B C B C =+=+，
∴2sin cos sin A C A =， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3
C π
=． ∴203A π<<
，6262
A πππ
<+<， ∴1sin()1226
A π
<+<， ∵()2sin()126
A f A π
=++，
∴()f A 的取值范围为(2,3)．
2、（菏泽市2017年高考一模）已知向量=（sinx ，mcosx ），=（3，﹣1）．
（1）若∥，且m=1，求2sin 2x ﹣3cos 2x 的值； （2）若函数f （x ）=•的图象关于直线x=
对称，求函数f （2x ）在[
，
]上的值域．
2．【解答】解：（1）当m=1时， =（sinx ，cosx ），=（3，﹣1）．
∵，∴sinx=﹣3cosx ．
又sin 2x +cos 2x=1， ∴sin 2x=
，cos 2x=
． ∴2sin 2x ﹣3cos 2x=2×﹣3×
=．
（2）f （x ）=
=3sinx ﹣mcosx=
sin （x ﹣φ），其中tanφ=． ∵函数f （x ）=•的图象关于直线x=
对称，
∴sin（﹣φ）=1或sin（﹣φ）=﹣1．
∴φ=+2kπ，或φ=﹣+2kπ．
∴m=．
∴f（x）=2sin（x﹣）或f（x）=﹣2sin（x﹣）．
∴f（2x）=2（2x﹣）或f（2x）=﹣2sin（2x﹣）．
∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．
∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣，2]或[﹣2，]．。